[PDF] [PDF] Estimation par intervalle de confiance

View - Download [PDF] Estimation par intervalle de confiance

Previous PDF

Next PDF

THÉORIE D"ESTIMATION

ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE

Benchikh Tawfik

Faculté de Médecine, UDL, SBA

1

èreannée Médecine

16 Février 2022

BENCHIKHTAWFIK(UNIVERSITÈDJILLALILIABÈS)BIOSTATISTIQUE1 / 58 PLAN DE COURS1ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCEDéfinition d"un intervalle de confiance

Construction d"un intervalle de confiance

2EXEMPLES D"INTERVALLES DE CONFIANCEIntervalle de confiance pour les paramètres d"une loi normale

Intervalle de confiance pour la moyenne d"une loi quelconque

Intervalle de confiance pour une proportion

Estimation et intervalle de confiance dans le cas d"une population d"effectif fini3EXERCICEBENCHIKHTAWFIK(UNIVERSITÈDJILLALILIABÈS)BIOSTATISTIQUE2 / 58 PLAN DE COURS1ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCEDéfinition d"un intervalle de confiance

Construction d"un intervalle de confiance

2EXEMPLES D"INTERVALLES DE CONFIANCEIntervalle de confiance pour les paramètres d"une loi normale

Intervalle de confiance pour la moyenne d"une loi quelconque

Intervalle de confiance pour une proportion

Estimation et intervalle de confiance dans le cas d"une population d"effectif fini3EXERCICEBENCHIKHTAWFIK(UNIVERSITÈDJILLALILIABÈS)BIOSTATISTIQUE2 / 58 PLAN DE COURS1ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCEDéfinition d"un intervalle de confiance

Construction d"un intervalle de confiance

2EXEMPLES D"INTERVALLES DE CONFIANCEIntervalle de confiance pour les paramètres d"une loi normale

Intervalle de confiance pour la moyenne d"une loi quelconque

Intervalle de confiance pour une proportion

Estimation et intervalle de confiance dans le cas d"une population d"effectif fini3EXERCICEBENCHIKHTAWFIK(UNIVERSITÈDJILLALILIABÈS)BIOSTATISTIQUE2 / 58

ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCEDÉFINITION D"UN INTERVALLE DE CONFIANCEPLAN DE COURS1ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCEDéfinition d"un intervalle de confiance

Construction d"un intervalle de confiance

2EXEMPLES D"INTERVALLES DE CONFIANCE3EXERCICEBENCHIKHTAWFIK(UNIVERSITÈDJILLALILIABÈS)BIOSTATISTIQUE3 / 58

ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCEDÉFINITION D"UN INTERVALLE DE CONFIANCEINTRODUCTIONL"estimation ponctuelle d"un paramètredonne une valeur

numérique unique à ce paramètre, mais n"apporte aucune information sur la précision des résultats, c"est-à-dire qu"elle ne tient pas compte des erreurs dues aux fluctuations d"échantillonnage, par exemple.Pour évaluer la confiance que l"on peut avoir en une estimation, il est nécessaire de lui associer un intervalle qui contient, avec une certaine probabilité, la vraie valeur du

paramètre, c"est l"estimation par intervalle de confiance.BENCHIKHTAWFIK(UNIVERSITÈDJILLALILIABÈS)BIOSTATISTIQUE4 / 58

DÉFINITION D"UN INTERVALLE DE CONFIANCEL"estimation par intervalle de confiance d"un paramètre consiste donc à associer à un échantillon, un intervalle aléatoireI, choisi de telle façon que la probabilité pour qu"il contienne la valeur inconnue du paramètre soit égale à un nombre fixé à l"avance, aussi grand que l"on veut.On écrit:

Pr(2I) =1

1est la probabilité associée à l"intervalle d"encadrer la

vraie valeur du paramètre, c"est leseuil de confianceou la quasi-certitude. INTERVALLE DE PROBABILITÉ:RAPPELSoitXune variable aléatoire,fla densité de sa loi de probabilité.Étant donnée une probabilité, on choisit deux nombres1 et2ayant pour somme(1+2=) et on définit deux valeursx1etx2de la variableXtelles que: Pr(Xx2) =2:L"intervalleI= [x1;x2]a une probabilité égale à(1)de

contenir une valeur observée de la variableX.En négligeant la probabilité, on résume la distribution de

la variableXen ne considérant que les valeurs appartenant à l"intervalleI, on définit un intervalle de probabilité au seuil (1)pour la variableX, la valeurest leseuil critique. INTERVALLE DE PROBABILITÉ:PRINCIPEPour construire un intervalle de probabilité, deux questions se posent:quel est le seuil de probabilitésusceptible d"être valablement

considéré comme négligeable?pour une loi de probabilité et pour un seuildonnés, il existe une

infinité d"intervalles[x1;x2]qui dépendent du choix de1et2. Comment choisir ces deux valeurs ?Les réponses à ces deux questions dépendent des problèmes traités. INTERVALLE DE PROBABILITÉ:EXEMPLEOn suppose qu"un dosage sanguin est une variable aléatoireXsuivant la loi normaleN(100;20). On considère commenormalesles valeurs deXcomprises entre deux limitesaetbtelles quePr(avaleurs étant considérées commepathologiques.La donnée du seuil critique=0;05sans précision

supplémentaire ne permet pas de calculer les limitesaetb; une infinité d"intervalles de probabilité répondent à la question. En revanche, la probabilité de mesurer une valeur pathologique est égale à=0;05, quel que soit l"intervalle. INTERVALLE DE PROBABILITÉ:EXEMPLEOn suppose maintenant que les valeursaetbsont

symétriques par rapport à la moyennem=100.En introduisant la variable aléatoire centrée réduite

U=X10020

, on sait que:

Pr(1:96 b=100+1:9620=139:2et l"intervalle de probabilité correspondant estPr(60;80Pr(X<139;20) =0;975:

ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCECONSTRUCTION D"UN INTERVALLE DE CONFIANCEPLAN DE COURS1ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCEDéfinition d"un intervalle de confiance

Construction d"un intervalle de confiance

2EXEMPLES D"INTERVALLES DE CONFIANCE3EXERCICEBENCHIKHTAWFIK(UNIVERSITÈDJILLALILIABÈS)BIOSTATISTIQUE10 / 58

ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCECONSTRUCTION D"UN INTERVALLE DE CONFIANCECONSTRUCTION D"UN INTERVALLE DE CONFIANCEXest une v.a. dont la densité,f(x;), dépend du paramètre

etX= (X1;:::;Xn)est un échantillon de taillende cette variable.SoitT='(X)un estimateur du paramètreetg(t;)la loi

de probabilité de cet estimateur.Étant donnée une probabilité, on peut, à partir de cette loi

et si on suppose le paramètreconnu, construire un intervalle de probabilité pour la variable aléatoireT: Pr(h1PROPRIÉTÉS DES INTERVALLES DE CONFIANCEUn intervalle de confiance est un intervalle aléatoire car les

bornes de cet intervalle sont des variables aléatoires, fonctions des observations.Le seuilétant donné, il faut définir les nombres1et2. Leur choix dépend des problèmes à traiter, des risques encourus à négliger les petites ou les grandes valeurs du paramètre. Si on choisit1=2=2 , on construit un intervalle de confiance bilatéral à risques symétriques. On peut construire des intervalles de confiance unilatéraux, soit avec1=0, soit avec2=0.

PROPRIÉTÉS DES INTERVALLES DE CONFIANCELe seuil, les nombres1et2et la taillende l"échantillon

étant fixés, on peut construire un intervalle de confiance associé à chaque échantillon. Cependant, parmi ces intervalles, une proportion égale à%ne contiendra pas la valeur exacte du paramètre. Ce seuilreprésente donc le risque que l"intervalle de confiance ne contienne pas la vraie valeur du paramètre. La situation la plus favorable correspond à choisir un risquepetit, associé à un intervalle de faible étendue.

PROPRIÉTÉS DES INTERVALLES DE CONFIANCEOn peut diminuer la valeur du seuil, et même à la limite,

choisir=0pour avoir la certitude absolue. Dans ce cas, l"intervalle de confiance s"étend a tout le domaine de definition du paramètre,] 1;+1[pour l"espérance mathématique ou[0;+1[pour l"écart-type, par exemple! Donc: diminuer la valeur de)augmenter l"étendue de l"intervalle.Dans la pratique, on donne àune valeur acceptable, de l"ordre de5%puis, quand cela est possible, on augmente la taille de l"échantillon.La probabilité(1)représente leniveau de confiancede l"intervalle; ce niveau de confiance est associé à l"intervalle

et non à la valeur inconnue du paramètre.Pour définir un intervalle de confiance, il faut connaître un

estimateur ponctuel du paramètre ainsi que sa loi de distribution.

EXEMPLES D"INTERVALLES DE CONFIANCEINTERVALLE DE CONFIANCE POUR LES PARAMÈTRES D"UNE LOINORMALEPLAN DE COURS1ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE2EXEMPLES D"INTERVALLES DE CONFIANCEIntervalle de confiance pour les paramètres d"une loi normale

Intervalle de confiance pour la moyenne d"une loi quelconque

Intervalle de confiance pour une proportion

Estimation et intervalle de confiance dans le cas d"une population d"effectif fini3EXERCICEBENCHIKHTAWFIK(UNIVERSITÈDJILLALILIABÈS)BIOSTATISTIQUE15 / 58

EXEMPLES D"INTERVALLES DE CONFIANCEESTIMATION ET INTERVALLE DE CONFIANCE DE LA MOYENNEESTIMATION ET INTERVALLE DE CONFIANCE DE LA

MOYENNELa variable aléatoireXsuit une loi normaleN(m;). Les

paramètres à estimer sont la moyennemet l"écart-type.L"estimateur sans biais de la moyennemest la statistiqueX=1n

n X i=1X iqui suit la loi normale,N(m;pn ).Deux cas sont à distinguer, selon que l"écart-type est connu ou estimé. BENCHIKHTAWFIK(UNIVERSITÈDJILLALILIABÈS)BIOSTATISTIQUE16 / 58 CAS1:L"ÉCART-TYPEEST CONNUÉtant donné un seuil, on construit, pour la moyenneXde l"échantillon, un intervalle de probabilité:

Pr(mu2

pn Pr(Zu2 ) =12 ; oùZ N(0;1).On en déduit l"intervalle de confiance pour la moyennem:

Pr(xu2

pn INTERVALLE DE CONFIANCE POUR LA MOYENNE, CONNU:EXEMPLEAprès des essais antérieurs, on peut supposer que la résistance à l"éclatement d"un certain type de réservoirs est une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne m inconnue et d"écart-type égal à4kg=cm2. Des essais sur un échantillon de 9 réservoirs donnent une résistance

moyenne à l"éclatement égale à215kg=cm2.Estimation ponctuelle de la moyenne donnée par

l"échantillon:m'X n=215kg=cm2.Loi suivie par la moyenne d"un échantillon de taillen=9 (avec l"hypothèse admise sur la loi suivie par la résistance):X nsuit la loi normaleN(215;4=3).Niveau de confiance:1=0;95.

INTERVALLE DE CONFIANCE POUR LA MOYENNE,

CONNU:EXEMPLEIntervalle de confiance:

Pr

1:96 =0:95x=215

D"oùPr(xu2

pn Pr(2151:964=3 =Pr(212:3860;95de contenir la vraie valeur de la résistance à

l"éclatement de ce type de réservoirs.

INTERVALLE DE CONFIANCE POUR LA MOYENNE,

CONNU:EXEMPLERemarque:Cet exemple montre que si la taillende l"échantillon augmente,etrestant constants, l"étendue de l"intervalle diminue; en revanche, si le seuil a diminue l"étendue de l"intervalle augmente. CAS2:L"ÉCART-TYPEN"EST PAS CONNUL"estimateur sans biais de la variance est la statistique S

2=1n1n

X i=1 XiX

2= ^2La variable aléatoire:

T (n1)=XmS =pn =XmS=pn1

suit une loi de Student à(n1)degrés de libertéLe seuilétant donné, on lit sur la table (loi de Student) le

nombret(n1;1=2)=t(1=2)(n1)tel que: Pr

T(n1) CAS2:L"ÉCART-TYPEN"EST PAS CONNUD"où l"intervalle de confiance pour la moyennem: Pr xspn t(n1;1=2);x+spn t(n1;1=2) =1 : que l"on peut écrire en considérant la statistiqueS2: Pr xspn1t(n1;1=2);x+spn1t(n1;1=2) =1: i.e. IC (m) =xspn1t(n1;1=2);x+spn1t(n1;1=2)]

CAS2:L"ÉCART-TYPEN"EST PAS CONNU: REMARQUEQuandnest grand (n30), on peut considérer que la loi de

Student est proche de la normale et prendre

t(1=2) =U=2dans la table de la loi normale.

INTERVALLE DE CONFIANCE POUR LA MOYENNE,

ESTIMÉ:EXEMPLEAfin d"étudier le salaire journalier (par 1h), en DA, des ouvriers d"un secteur d"activité, on procède à un tirage non exhaustif, d"un échantillon de taillen=16. On a obtenu les résultats suivants: 41
40
45
50
41
41
49
43
45
52
40
48
50
49
47

46 On suppose que la loi suivie par la variable aléatoire "salaire

journalier" est une loi normale de moyenne m et d"écart-type inconnus.Estimation ponctuelle de la moyenne, la moyenne arithmétique:X n=45:4375.Estimation ponctuelle de la variance : S

2=15:2460= (3:907)2(estimateur biaise).S2=16:2625= (4:0326)2(estimateur non biaise).

INTERVALLE DE CONFIANCE POUR LA MOYENNE,

ESTIMÉ:EXEMPLEIntervalle de confiance pour la moyenne, avec seuil de

confiance0:95(intervalle bilatéral à risques symétriques).La variable aléatoireXmS=pn1suit une loi de Student à(n1)

degrés de liberté.D"où la suite des calculs en tenant compte des résultats donnés par l"échantillon:

Pr(T(15)<2:131) =10:052

quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

[PDF] intervalle de confiance de la variance

[PDF] intervalle de confiance de l'écart type

[PDF] intervalle de confiance d'une moyenne

[PDF] intervalle de confiance loi normale centrée réduite

[PDF] intervalle de confiance student

[PDF] intervalle de confiance d'une moyenne excel

[PDF] unité commerciale définition

[PDF] climat définition cycle 3

[PDF] definition de meteorologie

[PDF] unité commerciale physique et virtuelle complémentaire

[PDF] definition meteo

[PDF] dispense cap petite enfance

[PDF] deaes

[PDF] formule variance

[PDF] problème du second degré seconde