[PDF] scénario complet - les lapins de Fibonacci

View - Download scénario complet - les lapins de Fibonacci

Previous PDF

Next PDF

© - Stéphane PERCOT - collège Haxo - 85000 La Roche sur Yon

Académie de Nantes - Mai 2008

Groupe national de travaux

collaboratifs

Maths et TICE

Stéphane PERCOT

Mai 2008

Académie de NANTES Scénario indexé dans Introduction du calcul littéral - Utilisation du tableur " Les lapins de Fibonacci»

Le tableur pour étudier et compléter des suites de Fibonacci. Intérêt de l"utilisation de la lettre pour

compléter les suites dont les termes ne sont pas entiers. Travail en salle multimédia et/ou en salle de classe. Classe de 4

ème

Enoncé de l"exercice________________________________________________________ 2 Enoncé donné aux élèves :__________________________________________________ 2 Consigne donnée aux élèves ________________________________________________ 2 Objectifs__________________________________________________________________ 2 Textes de référence :______________________________________________________ 3 Connaissances et compétences du socle commun développées dans cette activité : 3 Scénario__________________________________________________________________ 4 Ce qui a été fait avant ___________________________________________________ 4 Le jour de la séance_____________________________________________________ 4 Ce qui a été fait après ___________________________________________________ 6 Les outils nécessaires ou utiles _______________________________________________ 6 © - Stéphane PERCOT - collège Haxo - 85000 La Roche sur Yon

Académie de Nantes - Mai 2008

Enoncé de l"exercice

Enoncé donné aux élèves

L"activité débute avec le problème de Fibonacci : " Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ? » La suite trouvée est : 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 - 144

On explique alors qu"on appelle suite de Fibonacci toute suite de nombre dans laquelle chaque terme est

la somme des deux termes précédents. Par exemple, la suite suivante est une suite de Fibonacci

7 2 9 11 20 31 51 82 133 215

Consignes données aux élèves

On demande ensuite aux élèves de compléter certaines suites de Fibonacci. Ils peuvent faire des calculs " à la main », utiliser une calculatrice ou un tableur. 2 5

9 241

8 134

4 101

(Voir fiche élève pour plus de précision)

Objectifs

- Proposer un problème dont la résolution peut se faire par tâtonnement.

- Montrer que la programmation des suites de Fibonacci sur tableur permet de faire des essais

rapidement en conservant une résolution arithmétique des problèmes. - Créer le besoin de l"introduction de la lettre pour la dernière suite :

4 101

dont le second terme est une fraction (7/3) - Développer la prise d"initiatives, l"anticipation, la curiosité, la créativité © - Stéphane PERCOT - collège Haxo - 85000 La Roche sur Yon

Académie de Nantes - Mai 2008

Textes de référence :

Programmes de la classe de quatrième (B.O. n°5 du 25 août 2005) Document d"accompagnement à la mise en oeuvre des programmes " Du numérique au littéral » : Compétences B2i développées dans cette activité : Domaine 3 - Créer, produire, traiter, exploiter des données : Compétence 3.4 : Je sais créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule Mais aussi en fonction de votre salle multimédia : Domaine 1 - S"approprier un environnement informatique de travail :

Compétence 1.1 : Je sais m"identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification.

Compétence 1.2 : Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de

travail. Connaissances et compétences du socle commun développées dans cette activité :

Pilier 3 - Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique

Capacité à utiliser des outils (..., calculatrices, logiciels).

Capacité à saisir quand une situation de la vie courante se prête à un traitement mathématique.

Capacité à contrôler la vraisemblance d"un résultat. Capacité à utiliser les techniques et les technologies pour surmonter des obstacles. Pilier 4 - La maîtrise des techniques usuelles de l"information et de la communication Capacité à s"approprier un environnement informatique de travail. Capacité à créer, traiter, s"approprier des données.

Pilier 7 - L"autonomie et l"initiative

Capacité à identifier un problème et mettre au point une démarche de résolution. Capacité à mettre à l"essai plusieurs pistes de solution. © - Stéphane PERCOT - collège Haxo - 85000 La Roche sur Yon

Académie de Nantes - Mai 2008

Scénario

Classe de 4e : 27 élèves en classe entière.

2 élèves par poste.

Ce qui a été fait avant

Au niveau informatique :

Les élèves de cette classe ont déjà utiliser un tableur pour gérer des données, ou résoudre des petits

problèmes numériques.

Ils ont depuis longtemps vu l"usage du tableur en classe lorsque l"enseignant l"utilisait avec un vidéo

projecteur (saisie de formules simples...)

Le jour de la séance

1ère partie : 10 minutes en salle de classe :

La séance débute en salle de classe avec le problème de Fibonacci

L"enseignant explique :

" Le mathématicien italien Leonardo Pisano, plus connu sous le pseudonyme de Fibonacci (1175 - 1250) pose le problème suivant : Possédant initialement un couple de lapins, combien de

couples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter

du second mois de son existence ? » Le problème fait sourire les élèves, mais la recherche est active.

On remarque plusieurs stratégies. Des suites de nombres. Des " arbres » qui tentent de dénombrer les

naissances mois après mois.

Rapidement, on en vient à la solution (l"enseignant accélère la recherche car l"essentiel est la seconde

partie de la séance...) Du 1 er eu 12ème mois, le nombre de couples de lapins est :

1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 - 144

Et pour conclure cette première partie, on explique aux élèves qu"on appelle suite de Fibonacci toute

suite de nombre dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes précédents. Par exemple, la

suite suivante est une suite de Fibonacci

7 2 9 11 20 31 51 82 133 215

2nde partie : 45 minutes en salle de classe ou en salle multimédia :

On propose aux élèves de remplir plusieurs suites de Fibonacci dans lesquelles il manque certains

termes. Ils peuvent le faire " à la main », avec une calculatrice ou en utilisant un tableur. 1 ère suite : Remplir la suite de Fibonacci suivante 2 5 Objectif : vérifier que chaque élève a compris le principe des suites de Fibonacci

Réponse :

2 5 7 12 19 31 50 81 131 212 343 555

Tous les élèves trouvent facilement les termes de cette suite. © - Stéphane PERCOT - collège Haxo - 85000 La Roche sur Yon

Académie de Nantes - Mai 2008

2 ème suite : Complète la suite de Fibonacci suivante

9 241

Objectif : proposer une première recherche par tâtonnement. Le nombre recherché est un nombre entier.

Réponse :

9 13 22 35 57 92 149 241

Les élèves adoptent rapidement un principe d"essai-erreur.

Il essaye par exemple de mettre 10 en 2

nd terme ce qui donne :

9 10 19 29 48 77 125

Et concluent : " 10 est trop petit... je vais essayer 20.... » etc...

Le taux de réussite est très fort : la plupart des élèves trouvent rapidement. Tous ont trouvé avec une

aide éventuelle de l"enseignant pour les aider des leurs essais. 3 ème suite : Trouve la suite de Fibonacci commençant par 8 et dont le 7ème terme est 134

8 134

Objectif : proposer une suite dont le second terme est décimal (11,75).

Réponse :

8,00 11,75 19,75 31,50 51,25 82,75 134,00

Les élèves reprennent le principe d"essai-erreur. Il arrive rapidement à trouver que le second terme est compris entre 11 et 12 car ils trouvent :

8 11 19 30 49 79 128

Et

8 12 20 32 52 84 136

Certains élèves restent bloqués à ce niveau, mais le coup est facile pour l"enseignant : un élève

demande : " Est-ce que le nombre peut être décimal ? » C"est gagné ! La recherche repart et abouti rapidement à 11,75 4 ème suite : Trouve la suite de Fibonacci commençant par 4 et dont le 9ème terme est 101

4 101

Objectif : proposer une suite dont la valeur exacte du second terme est une fraction (7/3) et créer le

besoin d"une autre méthode. Les élèves arrivent en général à un encadrement : " c"est entre 2 et 3 » car

4 2 6 8 14 22 36 58 94

Et

4 3 7 10 17 27 44 71 115

Les plus courageux à " c"est entre 2,3 et 2, 4 » ou " environ 2,33 » car

4 2,3 6,3 8,6 14,9

23,5 38,4 61,9 100,3

Et

4 2,4 6,4 8,8 15,2

24,0 39,2 63,2 102,4

© - Stéphane PERCOT - collège Haxo - 85000 La Roche sur Yon

Académie de Nantes - Mai 2008

Face au blocage, et après discussion sur l"efficacité de notre stratégie, l"enseignant reprend la main pour

proposer une autre méthode aux élèves : " désigner le second terme par une lettre »

On écrit :

4 a Et on demande aux élèves d"exprimer les termes suivants en fonction de a.

Collectivement, on obtient :

4 a 4+a 4+2a 8+3a 12+5a 20+8a 32+13a 52+21a

Ce qui signifie qu"on cherche a tel que 52+21a = 101

La notion d"équation arrive...

Les souvenirs des élèves ressurgissent... " équations ah oui... » La résolution peut permettre de trouver que 21a = 49

Donc a = 49 /21 c"est-à-dire 7/3

Le 5 ème défi : a été cherché par les élèves les plus rapides. Essaye de trouver une suite de Fibonacci dont le 10 ème terme est 178. Y a t-il une solution? Si oui, une seule ? Il peut être un prolongement intéressant sur l"unicité des solutions de nos problèmes...

Ce qui a été fait après

Les séances suivantes sont données l"occasion de proposer des problèmes dont la résolution pouvaient

se faire avec et sans le calcul littéral. Avec et sans le tableur. Il est intéressant de voir que certains

élèves, identifiés comme " en difficulté » parviennent à utiliser le tableur pour résoudre certaines

situation type " problème du premier degré »

Les outils nécessaires ou utiles

Matériel :

Un poste informatique par binôme.

Fichiers disponibles :

Fiche élève les lapins de Fibonacci.pdf

Logiciel :

Un tableur.

Logiciel utilisé : Open Office Calc

http://www.openoffice.orgquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] les lapins de fibonacci dm

[PDF] les lapins de fibonacci solution

[PDF] les lapins et les poules

[PDF] les lapins himalayens exercice type bac

[PDF] les larmes de psyché avis

[PDF] les larmes de psyché pdf

[PDF] les larmes de psyché résumé

[PDF] les larmes de psyché wikipedia

[PDF] Les Larves SVT help

[PDF] les lavabos de la ségrégation analyse

[PDF] Les lavabos de la ségrégation dossier d'histoire des arts

[PDF] Les légionnaires romains

[PDF] les lentilles

[PDF] Les lentilles : J'ai rienn compris mais alors rien compris du tout !!! Aidez moi svp ;)

[PDF] Les lentilles du téléphone portable