Quelques rappels sur les intervalles de confiance
Quand la variance est connue l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l'espérance d'une loi normale s'écrit donc au niveau 1?? sous la forme
Estimations et intervalles de confiance
tervalle de confiance et donc de préciser l'incertitude sur ces esti- mations : intervalle de confiance d'une proportion d'une moyenne si la variance est
STATISTIQUES IUT DEUXIEME PARTIE
Sa variance doit tendre vers 0 : V(t) ? 0 lorsque n ? ? t1 et t2 sont les limites de l'intervalle de confiance ? est le seuil de risque de ...
MODULE 2 : Estimation par intervalle de confiance
Les paramètres inconnus à estimer seront successivement la moyenne la variance
Intervalles de confiance et tests dans le cas de changement de
Intervalle de confiance de la variance (de l'écart-type). Les limites de l'intervalle de confiance de 03C32y sont : x203B1/2 étant le quantile d'ordre a/2 de la
STATISTIQUE : ESTIMATION
Estimation de la variance quand la moyenne est inconnue. 18. 4. Comparaison de moyennes et de variances. 18. 4.a. Intervalle de confiance de la différence
Résumé Intervalle de confiance.pdf
Intervalle de confiance de la variance 2 ? ? est connu ? est inconnu m est connue m est inconnu. La statistique est : )10(. Normle.
Intervalles de confiance
— section 2 : c'est un catalogue des IdC pour moyenne et variance dans le cas gaussien. Il faut retenir que dans ce cadre
Estimation et intervalle de confiance
08?/10?/2007 = variance de cette viscosité. Fréquence allélique : p = probabilité qu'un all`ele pris au hasard dans la popula- tion soit un A.
Procdure de tlchargement du logiciel R
la variance échantillonnale S2). a) Test bilatéral et intervalle de confiance. L'intervalle de confiance et le test bilatéral pour l'étendue moyenne ?
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Quand la variance est connue l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l'espérance d'une loi normale s'écrit donc au niveau 1?? sous la forme
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Résumé Cette vignette introduit la notion d'estimateur et ses propriétés : convergence biais erreur quadratique avant d'aborder l'estimation
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Intervalle de confiance pour une proportion Estimation et intervalle de confiance dans le cas d'une population d'effectif fini
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Cet essai a pour objectif de calculer un intervalle de confiance pour la moyenne µ `a 100(1??) dans un plan de sondage aléatoire simple ainsi que dans
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Intervalles de confiance Les probabilités s'attachent `a décrire le comportement (souvent asymptotique) de fonction- nelles de variables aléatoires dont on
[PDF] : tdr27 ————— Intervalles de Confiance —————
b) Calculer la moyenne et la variance estimées de la distance entre les domiciles des époux au moment du mariage c) Donner l'intervalle de confiance de la
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3 2 Intervalles de confiance d'une proportion 3 3 Précision dans l'estimation quantitative variance ?2 ?l'intervalle de confiance au niveau (1??)
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C'est par exemple le cas d'une loi binomiale de paramètres (n p) qui peut être approximée par une loi normale de moyenne m = np et de variance ?2 = np(1-p) si
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2 1 Intervalles de confiance de niveau 95 pour la moyenne (panneau gauche) et la variance (panneau droit) dpune population normale standard
[PDF] Intervalles de confiance
1 août 2017 · Pierre Duchesne Intervalles de confiance Page 8 Échantillons Estimateurs Variance Ecart-type Borne inf Borne sup Inclus?
Comment calculer l'intervalle de confiance de variance ?
Quand la variance est connue, l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l'espérance d'une loi normale s'écrit donc au niveau 1?? sous la forme suivante : xn est la réalisation de Xn sur l'échantillon. Remarque : si ? = 5% , le fractile d'ordre 0,975 de la loi normale centrée réduite correspond à 1,96.Comment calculer l'intervalle de confiance ?
Pour un sondage de N personnes ayant pour résultat la fréquence f et la probabilité pp alors l'intervalle de confiance à 95% se calcule de la façon suivant : [p?1.96?f(1?p)/?n,p+1.96?p(1?p)/?n]. Avec 1.96 la valeur du 2.5 percentile de la distribution normale (pour 99%, la valeur serait 2.58).Comment expliquer l'intervalle de confiance ?
En mathématiques, plus précisément en théorie des probabilités et en statistiques, un intervalle de confiance encadre une valeur réelle que l'on cherche à estimer à l'aide de mesures prises par un procédé aléatoire.- L'Intervalle de Confiance à 95% est l'intervalle de valeur qui a 95% de chance de contenir la vraie valeur du paramètre estimé. Le seuil de 95% signifie qu'on admet un risque d'erreur de 5%: on peut réduire ce risque (par exemple à 1%), mais alors l'Intervalle de Confiance sera plus large, donc moins précis.
Sylvie Rousseau 1
Quelques rappels sur les intervalles de confiance
I/ Généralités
Soient : X une variable aléatoire de loi paramétrée par et X ,...,X n1 n variables i.i.d selon la loi de X.1) Principe d'un intervalle de confiance
Plutôt que d'estimer ponctuellement la vraie valeur inconnue du paramètre , on recherche un intervalle
recouvrant "très vraisemblablement » cette vraie valeur.Définition
: On appelle intervalle de confiance de niveau de confiance 1 du paramètre tout intervalleIC tel que :
PIC1 pour
01, fixé.
Les bornes de l'intervalle de confiance IC dépendent de l'échantillon, elles sont donc aléatoires.
Par abus de langage, on note souvent
PIC1.Remarquons que si
augmente (ou que si n augmente), l'amplitude de l'intervalle de confiance diminue.2) Vocabulaire
La probabilité
pour que l'intervalle de confiance ne contienne pas la vraie valeur peut être répartie différemment de part et d'autre des bornes de l'intervalle de confiance. Ecrivons donc 1 2 où 1 et 2mesurent respectivement les risques à gauche et à droite de dépasser un seuil plancher ou plafond.
L'intervalle de confiance est dit bilatéral quand 1200 et . Si
D 12 2= , l'intervalle est dit symétrique. Il est dissymétrique sinon. L'intervalle de confiance est dit unilatéral si 12 0 : - quand on veut assurer une valeur minimale au paramètre à estimer, on considère 120= et , l'intervalle de confiance est alors de la forme :
IC a - quand on ne veut absolument pas dépasser un seuil maximal, on prend 120= et et
on obtient alors un intervalle de confiance de la forme :IC b,.
3) Construction
Pour construire un intervalle de confiance, on utilise une variable aléatoire dont on connaît la distribution
de probabilité.Définition : une fonction pivotale pour le paramètre est une fonction des observations ),...,(1nXXet du
paramètre dont la loi ne dépend pas du paramètre .On recherche dans la suite des fonctions pivotales particulières adaptées aux cas étudiés.
Sylvie Rousseau 2
II/ Intervalles de confiance pour l'espérance
On envisage deux cas :
la variable aléatoire mesurée est normale et le nombre de réalisations est quelconque,la variable aléatoire mesurée n'est pas normale et le nombre de réalisations est important. Dans
ce cas, la distribution de la moyenne empirique tend vers une loi normale d'après le théorème
central limite. On parlera d'intervalle de confiance asymptotique.Dans la suite on considère
X ~ N(m, ) X ,...,X
n 21et n variables i.i.d selon la loi de X.
On définit la moyenne empirique
XnX ni in 1 1 et la variance empirique modifiée SnXX nin in ' 2 1 1 2 11) Cas où la variance est connue
Après centrage et réduction de la moyenne empirique, on obtient : nXm n N01,On a :
Pu nXmu
n1 où u est le fractile d'ordre 12
D de la loi N01,.Ce qui revient à :
PX unmX unnn
1.Quand la variance est connue, l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l'espérance d'une loi
normale s'écrit donc au niveau1D sous la forme suivante :
x n est la réalisation de X n sur l'échantillon.Remarque
: si 5%, le fractile d'ordre 0,975 de la loi normale centrée réduite correspond à 1,96. si10%, le fractile d'ordre 0,95 de la loi normale centrée réduite vaut environ 1,64.
2) Cas où la variance est inconnue
On a :
nXm SSt n n n1 (loi de Student à n-1 degrés de libertés).
d'oùPt nXm
St n n1 où t est le fractile d'ordre 12
D de la loi St n()1 et donc PX tS nmX tS nnnnn 1.Quand la variance est inconnue, l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l'espérance d'une loi
normale s'écrit donc au niveau1D sous la forme suivante :
x n et s n' sont les réalisations respectives de X n et S n' sur l'échantillon.Remarque
: quand n, on approxime la loi de Student par la loi normale centrée réduite. On retrouve alors le cas précédent. IC ( m) = xunxun nnIC (m) = xts
nxts n nn nnSylvie Rousseau 3
3) Cas particulier : intervalle de confiance pour une proportion
Soient
X ,...,X
n1 i.i.d. selon pB et pnBXX n i i 1 . Notons FX n n estimateur sans biais de p. - Dans le cas de grands échantillons : En approchant une loi binomiale vers une loi normale, on a : nFp ppN n (),101 loi nCe qui permet d'écrire :
1)1(upppFnuP
n où u est le fractile d'ordre 12 D de la loi N01,. Et donc l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour une proportion p au niveau1D s'obtient en
résolvant l'inéquation : upppFn n )1(Ce qui donne en notant
fn la réalisation de F n sur l'échantillon: nuffnu nu nuf n uffnu nu nuf IC(p) nnnnnn²11
4² 2²²11
4² 2² Pour une taille d'échantillon importante, on considère l'approximation suivante : nffufnffufpIC nnnnnn1 , 1)(
Cette approximation est parfaitement justifiée sur le plan théorique. En effet, d'après le théorème de Slutsky, on a : FF pp nnp 11.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] intervalle de confiance d'une moyenne
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