Estimation
comme estimation ponctuelle de l'écart-type de la population afin d'estimer la moyenne par intervalle de confiance. Estimation par intervalle de confiance.
Estimateurs et intervalles de confiance de lécart-type dune loi
Estimateurs et intervalles de confiance de l'écart-type d'une loi normale et de la moyenne d'une loi exponentielle. Revue de statistique appliquée tome 9
Estimations et intervalles de confiance
mations : intervalle de confiance d'une proportion d'une moyenne l'écart-type
Intervalles de confiance
Donner une estimation et un intervalle de confiance pour m. 2.2 Estimation de l'écart-type. 2.2.1 si la moyenne est connue. La statistique T = 1.
Chapitre 5 - Estimation par intervalles de confiance
2.5 Variable normale d'écart-type inconnu. 3. Intervalles 3.2 Intervalles de confiance d'une proportion ... normal de moyenne µ et d'écart-type ? / ?n.
Estimations
Le nombre ? n n ? 1 ?? est une estimation ponctuelle de l'écart-type ?. III. Estimation par intervalle de confiance. 1) Moyenne. On consid`ere une population
Cours de Statistiques inférentielles
µ et d'écart type ? (nombre strictement positif car il s'agit de la racine L'intervalle de confiance pour la moyenne d'une population de variance ?2 ...
ESTIMATION DE PARAMÈTRES
Dans le cas d'un caractère quantitatif la moyenne m et l'écart-type ?pop d'une population. par un intervalle (estimation par intervalle de confiance).
CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle et estimation
la variance du temps des individus âgés de 20 à 30 ans est estimée à 10 3455 et son écart-type à 101
[PDF] Estimations et intervalles de confiance
Estimations et intervalles de confiance Résumé Cette vignette introduit la notion d'estimateur et ses propriétés : convergence biais erreur quadratique
[PDF] Quelques rappels sur les intervalles de confiance - Cedric-Cnam
Quand la variance est connue l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l'espérance d'une loi normale s'écrit donc au niveau 1?? sous la forme
[PDF] Intervalles de confiance - Université de Rennes
Donner `a Cruella un intervalle de confiance pour le poids de Pamela de probabilité de confiance 095 2 1 2 si l'écart-type est inconnu On utilise le fait que
[PDF] Calcul dun intervalle de confiance pour la moyenne dans une
Cet essai a pour objectif de calculer un intervalle de confiance pour la moyenne µ `a 100(1??) dans un plan de sondage aléatoire simple ainsi que dans
[PDF] Chapitre 5 - Estimation par intervalles de confiance - UFR SEGMI
Intervalles de confiance d'une moyenne 2 1 Variable normale d'écart-type connu 2 2 Variable quantitative quelconque d'écart-type connu
[PDF] Estimateurs et intervalles de confiance de lécart-type dune loi
Estimateurs et intervalles de confiance de l'écart-type d'une loi normale et de la moyenne d'une loi exponentielle Revue de statistique appliquée tome 9
[PDF] Estimation par intervalle de confiance
La variable aléatoire X suit une loi normale N(m;?) Les paramètres à estimer sont la moyenne m et l'écart-type ? L'estimateur sans biais de la moyenne m est
[PDF] Intervalle de confiance dune moyenne
L'écart type est de 13 heures On veut connaitre la moyenne générale du temps de sommeil chez tous les enfants du département
[PDF] Les statistiques descriptives et les intervalles de confiance - divatfr
Intervalle de confiance v a continues v a discrètes Quelques conventions • Grands échantillons : 1 moyenne (± écart-type) 2 moyenne (minimum-maximum)
Estimation PDF PDF Intervalle de confiance Écart type - Scribd
2 Estimer la moyenne et l'écart-type pour le taux de cholestérol dans toute l'entreprise 3 Déterminer un intervalle de confiance pour la moyenne
Comment calculer l'intervalle de confiance de l'écart-type ?
Elle se calcule sur la base de cette formule : Za/2 x ?/?(n). Za/2 est le coefficient de confiance, avec a = degré de confiance, ? = écart type et n = taille de l'échantillon. En plus court, il faut multiplier la valeur critique par l'erreur type.Comment calculer l'intervalle de confiance ?
Pour un sondage de N personnes ayant pour résultat la fréquence f et la probabilité pp alors l'intervalle de confiance à 95% se calcule de la façon suivant : [p?1.96?f(1?p)/?n,p+1.96?p(1?p)/?n]. Avec 1.96 la valeur du 2.5 percentile de la distribution normale (pour 99%, la valeur serait 2.58).Comment expliquer l'intervalle de confiance ?
En mathématiques, plus précisément en théorie des probabilités et en statistiques, un intervalle de confiance encadre une valeur réelle que l'on cherche à estimer à l'aide de mesures prises par un procédé aléatoire.- L'Intervalle de Confiance à 95% est l'intervalle de valeur qui a 95% de chance de contenir la vraie valeur du paramètre estimé. Le seuil de 95% signifie qu'on admet un risque d'erreur de 5%: on peut réduire ce risque (par exemple à 1%), mais alors l'Intervalle de Confiance sera plus large, donc moins précis.
Licence 2-S4 SI-MASS
Année 2018Cours de Statistiques inférentiellesPierre DUSART
2Chapitre1Lois statistiques
1.1 Introduction
Nous allons voir que si une variable aléatoire suit une certaine loi, alors ses réalisations (sous forme
d"échantillons) sont encadrées avec des probabilités de réalisation. Par exemple, lorsque l"on a une énorme
urne avec une proportionpde boules blanches alors le nombre de boules blanches tirées sur un échan-
tillon de taillenest parfaitement défini. En pratique, la fréquence observée varie autour depavec des
probabilités fortes autour depet plus faibles lorsqu"on s"éloigne dep.Nous allons chercher à faire l"inverse : l"inférence statistique consiste à induire les caractéristiques in-
connues d"une population à partir d"un échantillon issu de cette population. Les caractéristiques de
l"échantillon, une fois connues, reflètent avec une certaine marge d"erreur possible celles de la population.
1.1.1 Fonction de répartition
La densité de probabilitép(x)ou la fonction de répartitionF(x)définissent la loi de probabilité d"une
variable aléatoire continueX. Elles donnent lieu aux représentations graphiques suivantes :Figure1.1 - fonction répartition
La fonction de distribution cumuléeF(x)exprime la probabilité queXn"excède pas la valeurx:F(x) =P(Xx):
De même, la probabilité que X soit entreaetb(b > a) vautP(a < X < b) =F(b)F(a):
4CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUES1.1.2 Grandeurs observées sur les échantillons
L"espéranceE(X)d"une variable aléatoire discrèteXest donnée par la formuleE(X) =X
ix iP(xi): L"espérance est également appelée moyenne et notée dans ce casX. Sa variance2Xest l"espérance des carrés des écarts avec la moyenne :2X=E[(XX)2] =X
i(xiX)2P(xi) =X ix2iP(xi)2X:
Son écart-typeXest la racine positive de la variance.1.2 Lois usuelles
1.2.1 Loi normale ou loi de Gauss
Une variable aléatoire réelleXsuit une loi normale (ou loi gaussienne, loi de Laplace-Gauss) d"espérance
et d"écart type(nombre strictement positif, car il s"agit de la racine carrée de la variance2) si cette
variable aléatoire réelleXadmet pour densité de probabilité la fonctionp(x)définie, pour tout nombre
réelx, par : p(x) =1 p2e12 (x )2: Une telle variable aléatoire est alors dite variable gaussienne.Une loi normale sera notée de la manière suivanteN(;)car elle dépend de deux paramètres(la
moyenne) et(l"écart-type). Ainsi si une variable aléatoireXsuitN(;)alorsE(X) =etV(X) =2:
Lorsque la moyennevaut 0, et l"écart-type vaut 1, la loi sera notéeN(0;1)et sera appelée loi normale
standard. Sa fonction caractéristique vautet2=2. Seule la loiN(0;1)est tabulée car les autres lois (c"est-
à-dire avec d"autres paramètres) se déduise de celle-ci à l"aide du théorème suivant : SiYsuitN(;)
alorsZ=Y suitN(0;1). On notela fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : (x) =P(Z < x) avecZune variable aléatoire suivantN(0;1).Propriétés et Exemples :(x) = 1(x),
(0) = 0:5;(1:645)0:95;(1:960)0:9750Pourjxj<2, une approximation depeut être utilisée; il s"agit de son développement de Taylor à
l"ordre 5 au voisinage de 0 : (x)0:5 +1p2 xx36 +x540Inversement, à partir d"une probabilité, on peut chercher la borne pour laquelle cette probabilité est
effective. Cours Proba-Stat / Pierre DUSART5Notation : on noteraz=2le nombre pour lequelP(Z > z=2) ==2
lorsque la variable aléatoire suit la loi normale standard.risque0:010:020:050:10valeur critiquez=22:582:331:961:645coefficient de sécuritéc99%98%95%90%
A l"aide des propriétés de la loi normale standard, on remarque que le nombrez=2vérifie également
P(Z < z=2) =
P(Z P(z=2< Z < z=2) =
P(jZj> z=2) =
La somme de deux variables gaussiennes indépendantes est elle-même une variable gaussienne (stabilité) :
SoientXetYdeux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les loisN(1;1)et N(2;2). Alors, la variable aléatoireX+Ysuit la loi normaleN(1+2;p 21+22).
1.2.2 Loi du2(khi-deux)
Définition 1SoitZ1;Z2;:::;Zune suite de variables aléatoires indépendantes de même loiN(0;1).
Alors la variable aléatoireP
i=1Z2isuit une loi appeléeloi du Khi-deuxàdegrés de liberté, notée 2(). Proposition 1.2.11. Sa fonction caractéristique est(12it)=2. 2. La densité de la loi du2()est
f (x) = 12 =2(=2)x=21ex=2pourx >0 0sinon.
oùest la fonction Gamma d"Euler définie par(r) =R1 0xr1exdx.
3. L"espérance de la loi du2()est égale au nombrede degrés de liberté et sa variance est2.
4. La somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement2(1)et2(2)suit
aussi une loi du2avec1+2degrés de liberté. PreuveCalculons la fonction caractéristique deZ2lorsqueZsuitN(0;1). '(t) =E(eitZ2) =Z 1 1 eitz21p2ez2=2dz 1p2Z 1 1 e12 (12it)z2dz 1p2Z 1 1e 12 u2(12it)1=2dten posantu= (12it)1=2z '(t) = (12it)1=2 Maintenant pour la somme devariablesZ2iindépendantes, on a '(t) = (12it)=2: 6CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUESMontrons maintenant que la fonction de densité est correcte. Pour cela, calculons la fonction caractéris-
tique à partir de la densité : '(t) =E(eitx) =Z +1 0 eitx12 =2(=2)x=21ex=2dx 12 =2(=2)Z +1 0 x(1=2it)xdx 12 =2(=2)1(1=2it)(1=2it)=21Z +1 0 u=21euduen posantu= (1=2it)x 12 =2(=2)1(1=2it)=2Z +1 0 u=21eudu |{z} =(=2) '(t) =1(12it)=2 Calculons maintenant l"espérance et la variance. Selon la définition de la loi du2, chaque variable
Z isuit la loi normale centrée réduite. AinsiE(Z2i) =V ar(Zi) = 1etE(P i=1Z2i) =. De même, V(Zir) =E(Z4i)(E(Z2i))2=41:On sait que pour une loi normale centrée réduite4= 3donc V ar(Z2i) = 2etV ar(P
i=1Z2i) = 2: La dernière proposition est évidente de par la définition de la loi du2. Fonction inverse: on peut trouver une tabulation de la fonction réciproque de la fonction de répartition
de cette loi dans une table (en annexe) ou sur un logiciel tableur : 7!2;(FonctionKHIDEUX.inverse(;));
c"est-à-dire la valeur de2;telle queP(2()> 2;) =. Exemple : Pour= 0:990et= 5,2= 0:554 =20:99;5.Figure1.2 - fonction2inverse 1.2.3 Loi de Student
Définition 2SoientZetQdeux variables aléatoires indépendantes telles queZsuitN(0;1)etQsuit 2(). Alors la variable aléatoire
T=ZpQ=
suit une loi appeléeloi de Studentàdegrés de liberté, notéeSt(). Cours Proba-Stat / Pierre DUSART7Proposition 1.2.21. La densité de la loi de la loi de Student àdegrés de liberté est
f(x) =1p +12 )(=2)1(1 +x2=)+12 2. L"espérance n"est pas définie pour= 1et vaut 0 si2. Sa variance n"existe pas pour2et
vaut=(2)pour3. 3. La loi de Student converge en loi vers la loi normale centrée réduite.
Remarque : pour= 1, la loi de Student s"appelle loi de Cauchy, ou loi de Lorentz. 1.2.4 Loi de Fisher-Snedecor
Définition 3SoientQ1etQ2deux variables aléatoires indépendantes telles queQ1suit2(1)etQ2 suit2(2)alors la variable aléatoire F=Q1=1Q
2=2 suit une loi de Fisher-Snedecor à(1;2)degrés de liberté, notéeF(1;2). Proposition 1.2.3La densité de la loiF(1;2)est
f(x) =(1+22 )(1=2)(2=2) 1 2 1=2x1=21(1 +
1 2x) 1+22 six >0 (0sinon): Son espérance n"existe que si23et vaut2
22. Sa variance n"existe que si25et vaut22
2(1+22)
1(22)2(24).
Proposition 1.2.41. SiFsuit une loi de FisherF(1;2)alors1F suit une loi de FisherF(2;1). 2. SiTsuit une loi de Student àdegrés de liberté alorsT2suit une loi de FisherF(1;).
1.2.5 Fonctions inverses et TableurLoiNotationVariableFct RépartitionV. critiqueFonction inverse
GaussN(0;1)Zloi.normale.standard(z)z
loi.normale.standard.inverse(1)Khi-Deux 2()K 2khideux(k;;1)
;1;2inverse.Loi.f(;1;2)) 8CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUES
Chapitre2Convergences
2.1 Convergence en probabilité
2.1.1 Inégalités utiles
Inégalité de Markov simplifiée
SoitYune v.a.r.,gune fonction croissante et positive ou nulle sur l"ensemble des réels, vérifiantg(a)>0,
alors 8a >0;P(Ya)E(g(Y))g(a):
Preuve
E(g(Y)) =Z
g(y)f(y)dy=Z Y Yag(y)f(y)dy
Z P(z=2< Z < z=2) =
P(jZj> z=2) =
La somme de deux variables gaussiennes indépendantes est elle-même une variable gaussienne (stabilité) :
SoientXetYdeux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les loisN(1;1)et N(2;2). Alors, la variable aléatoireX+Ysuit la loi normaleN(1+2;p21+22).
1.2.2 Loi du2(khi-deux)
Définition 1SoitZ1;Z2;:::;Zune suite de variables aléatoires indépendantes de même loiN(0;1).
Alors la variable aléatoireP
i=1Z2isuit une loi appeléeloi du Khi-deuxàdegrés de liberté, notée 2(). Proposition 1.2.11. Sa fonction caractéristique est(12it)=2.2. La densité de la loi du2()est
f (x) = 12 =2(=2)x=21ex=2pourx >00sinon.
oùest la fonction Gamma d"Euler définie par(r) =R10xr1exdx.
3. L"espérance de la loi du2()est égale au nombrede degrés de liberté et sa variance est2.
4. La somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement2(1)et2(2)suit
aussi une loi du2avec1+2degrés de liberté. PreuveCalculons la fonction caractéristique deZ2lorsqueZsuitN(0;1). '(t) =E(eitZ2) =Z 1 1 eitz21p2ez2=2dz 1p2Z 1 1 e12 (12it)z2dz 1p2Z 1 1e 12 u2(12it)1=2dten posantu= (12it)1=2z '(t) = (12it)1=2 Maintenant pour la somme devariablesZ2iindépendantes, on a '(t) = (12it)=2:6CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUESMontrons maintenant que la fonction de densité est correcte. Pour cela, calculons la fonction caractéris-
tique à partir de la densité : '(t) =E(eitx) =Z +1 0 eitx12 =2(=2)x=21ex=2dx 12 =2(=2)Z +1 0 x(1=2it)xdx 12 =2(=2)1(1=2it)(1=2it)=21Z +1 0 u=21euduen posantu= (1=2it)x 12 =2(=2)1(1=2it)=2Z +1 0 u=21eudu |{z} =(=2) '(t) =1(12it)=2Calculons maintenant l"espérance et la variance. Selon la définition de la loi du2, chaque variable
Z isuit la loi normale centrée réduite. AinsiE(Z2i) =V ar(Zi) = 1etE(P i=1Z2i) =. De même, V(Zir) =E(Z4i)(E(Z2i))2=41:On sait que pour une loi normale centrée réduite4= 3doncV ar(Z2i) = 2etV ar(P
i=1Z2i) = 2: La dernière proposition est évidente de par la définition de la loi du2.Fonction inverse: on peut trouver une tabulation de la fonction réciproque de la fonction de répartition
de cette loi dans une table (en annexe) ou sur un logiciel tableur :7!2;(FonctionKHIDEUX.inverse(;));
c"est-à-dire la valeur de2;telle queP(2()> 2;) =. Exemple : Pour= 0:990et= 5,2= 0:554 =20:99;5.Figure1.2 - fonction2inverse1.2.3 Loi de Student
Définition 2SoientZetQdeux variables aléatoires indépendantes telles queZsuitN(0;1)etQsuit2(). Alors la variable aléatoire
T=ZpQ=
suit une loi appeléeloi de Studentàdegrés de liberté, notéeSt().Cours Proba-Stat / Pierre DUSART7Proposition 1.2.21. La densité de la loi de la loi de Student àdegrés de liberté est
f(x) =1p +12 )(=2)1(1 +x2=)+122. L"espérance n"est pas définie pour= 1et vaut 0 si2. Sa variance n"existe pas pour2et
vaut=(2)pour3.3. La loi de Student converge en loi vers la loi normale centrée réduite.
Remarque : pour= 1, la loi de Student s"appelle loi de Cauchy, ou loi de Lorentz.1.2.4 Loi de Fisher-Snedecor
Définition 3SoientQ1etQ2deux variables aléatoires indépendantes telles queQ1suit2(1)etQ2 suit2(2)alors la variable aléatoireF=Q1=1Q
2=2 suit une loi de Fisher-Snedecor à(1;2)degrés de liberté, notéeF(1;2).Proposition 1.2.3La densité de la loiF(1;2)est
f(x) =(1+22 )(1=2)(2=2) 1 21=2x1=21(1 +
1 2x) 1+22 six >0 (0sinon):Son espérance n"existe que si23et vaut2
22. Sa variance n"existe que si25et vaut22
2(1+22)
1(22)2(24).
Proposition 1.2.41. SiFsuit une loi de FisherF(1;2)alors1F suit une loi de FisherF(2;1).2. SiTsuit une loi de Student àdegrés de liberté alorsT2suit une loi de FisherF(1;).
1.2.5 Fonctions inverses et TableurLoiNotationVariableFct RépartitionV. critiqueFonction inverse
GaussN(0;1)Zloi.normale.standard(z)z
loi.normale.standard.inverse(1)Khi-Deux 2()K2khideux(k;;1)
;1;2inverse.Loi.f(;1;2))8CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUES
Chapitre2Convergences
2.1 Convergence en probabilité
2.1.1 Inégalités utiles
Inégalité de Markov simplifiée
SoitYune v.a.r.,gune fonction croissante et positive ou nulle sur l"ensemble des réels, vérifiantg(a)>0,
alors8a >0;P(Ya)E(g(Y))g(a):
Preuve
E(g(Y)) =Z
g(y)f(y)dy=Z Y Yag(y)f(y)dyYag(y)f(y)dycargest positive ou nulle
g(a)ZYaf(y)dycargest croissante
=g(a)P(Ya)AinsiE(g(Y))g(a)P(Ya).
Rappel : Inégalité de Bienaymé-Chebyshev
SoitXune variable aléatoire admettant une espéranceE(X)et de variance finie2(l"hypothèse de variance finie garantit l"existence de l"espérance).L"inégalité de Bienaymé-Chebychev s"énonce de la façon suivante : pour tout réel"strictement positif,
P(jXE(X)j ")2"
2: PreuveVoir Cours S3 ou prendreY=jXE(X)j,a="etg(t) =t2dans l"inégalité de Markov.10CHAPITRE 2. CONVERGENCES2.1.2 Convergence en probabilité
Définition 4 (Convergence en probabilité)On considère une suite(Xn)d"une v.a. définie sur
Xune autre v.a. définie sur
On dit que la suite(Xn)converge en probabilité vers une constante réelle`si8" >0;limn!1P(jXn`j> ") = 0:
On dit que la suite(Xn)converge en probabilité versXsi8" >0;limn!1P(jXnXj> ") = 0:
Exemple de la loi binomiale :On réalisenexpériences indépendantes et on suppose que lors dechacune de ces expériences, la probabilité d"un événement appelé "succès" estp. SoitSnle nombre de
succès obtenus lors de cesnexpériences. La variance aléatoireSn, somme denvariables de Bernoulli
indépendantes, de même paramètrep, suit une loi binomiale :Sn,! B(n;p).quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] intervalle de confiance loi normale centrée réduite
[PDF] intervalle de confiance student
[PDF] intervalle de confiance d'une moyenne excel
[PDF] unité commerciale définition
[PDF] climat définition cycle 3
[PDF] definition de meteorologie
[PDF] unité commerciale physique et virtuelle complémentaire
[PDF] definition meteo
[PDF] dispense cap petite enfance
[PDF] deaes
[PDF] formule variance
[PDF] problème du second degré seconde
[PDF] bpjeps
[PDF] moyenne nationale bac francais 2017