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MOHAMED RIDHA TEKAYA

Calcul d'un intervalle de con¯ance pour la moyenne dans le cadre du programme de ma^³trise en statistique pour l'obtention du grade de Ma^³tre µes sciences (M.Sc.)

FACULT

Avril 2006

c

°Mohamed Ridha Tekaya, 2006

Cet essai a pour objectif de calculer un intervalle de con¯ance pour la moyenne¹µa d'un intervalle de con¯ance.

Avant-propos

Je tiens µa remercier Monsieur Louis-Paul Rivest, mon directeur de recherche, pro- direction, et ses conseils judicieux tout au long de cette recherche. Finalement, je voudrais exprimer la profonde gratitude que j'ai envers mes parents, mes deux s¾urs et mon frµere pour leurs encouragements et leur soutien.

Table des matiµeres

ii

Avant-Propos

iii

Table des matiµeres

v

Liste des tableaux

vi

Table des ¯gures

vii

1 Introduction

1

2 Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne

2

2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3

2.3 Approche modµele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 12

3 La vraisemblance empirique

13 13

3.2 Intervalle de con¯ance pour¹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 19 3.4 22

3.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
26
26
29

4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

5 Conclusion

32

Bibliographie

33
v simple 34

B Macro SAS

36

C Le programme R pour l'exemple 2.1

40

D Le programme R pour l'exemple 2.2

41

E Le programme R pour l'exemple 3.1

44
46

Liste des tableaux

con¯ance ( 2:2 2:3 ) avec ¹= 1 etn= 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 non couverture de l'intervalle de con¯ance ( 2:5 de l'exemple 2.2 avecn= 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 con¯ance ( 3:7 23
24
m= 60 etn= 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Table des ¯gures

5 du quantile deÂ20:95;1pour l'exemple 2:2:avecn= 40 etp= 3=4 = 1=¸ 11

Chapitre 1

Introduction

L'objectif principal de ce travail de recherche est le calcul d'un intervalle de con¯ance µa propos des paramµetres d'un modµele statistique. L'annexe A donne une fonction R qui calcule les bornes d'un intervalle de con¯ance centrale. seulement µa des variables prenant des valeurs positives ou nulles.

Chapitre 2

Calcul d'intervalle de con¯ance

pour une moyenne

2.1 Notation

moyenne¹et de variance¾2 IC : est un acronyme pour Intervalle de Con¯ance. IC IC IC IC empirique. X=1 n P n s 2=1 n¡1P n i=1(Xi¡ T=p n( pour¹. t z Elle augmente le niveau d'information par rapport µa une estimation ponctuelle. Elle permet d'avoir un aper»cu des valeurs possibles pour¹. Un intervalle de con¯ance si pour chacun on calcule l'intervalle de con¯ance, alors dans 100(1¡®)% des cas le paramµetre¹devrait ^etre dans l'intervalle de con¯ance. Nous envisageons ici deux cas de calcul d'intervalle de con¯ance pour¹, nest quelconque. Si issu de la loiN(¹;¾2), une distribution normale de moyenne¹et de variance¾2, alors T=

X¡¹

s= p n bornes de l'intervalle de con¯ance µa 100(1¡®)% pour¹sont obtenues µa partir de

1¡®=Ph

¡tn¡1;®=2·

X¡¹

s= p n

·tn¡1;®=2i

=Ph

X¡tn¡1;®=2s

p n

X+tn¡1;®=2s

p n i IC ts=h

X¡tn¡1;®=2s

p n

X+tn¡1;®=2s

p n i on obtient

X¡¹

p n

»N(0;1):

montre que la distribution asymptotique lorsquentends vers1est T=

X¡¹

s= p n

»N(0;1):

(2.1)

1¡®=Ph

¡z®=2·

X¡¹

s= p n

·z®=2i

=Ph

X¡z®=2s

p n

X+z®=2s

p n i

On obtient l'intervalle de con¯ance suivant

IC tlc=h

X¡z®=2s

p n

X+z®=2s

p n i (2.2) Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne5€€

Quantiles of Standard Normal

valeur de t -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -2 0 2

Fig.2.1 {

Exemple 2.1.(Distribution deT)

f(x) =( pexp(¡x=¸) six >0

1¡psix= 0:

(2.3) Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne6

Y»Bernoulli(p))(

P[Y= 1] =p

E[Y] =p:

Z»Exponentielle(1=¸))n

E[Z] =¸:

2:1 ), nous faisons 2:3

A la lumiµere de la ¯gure

2.1 2:1 ) n'est dans le tableau 2.1 2:2 2:2 ) par P jTj< z0:025´ deTen ( 2:1 2:2 c

Le nombre de simulations

d

Le nombre de simulations

Taux de non

Taux de non

Taux de

P(Y= 1)

µa gauche en (%)

µa droite en (%)

0.25 0.2 12.8 87.0
0.50 0.8 9.0 90.2
0.75 0.8 6.6 92.6
0.85 1.0 5.2 93.8
0.95 0.2 5.6 94.2

Tab.2.1 {

con¯ance ( 2:2 2:3 ) avec¹= 1 et n= 40 e t=r

¿(1¡¿)

500
oµu¿est le taux de couverture ou de non couverture. Si¿= 95% alorset= 0:0097 et pour¿= 2:5% nous obtenonset= 0:0069.

En vertu du tableau

2.1 Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne82.3 Approche modµele intervalle de con¯ance pour¹. Appelons f(x;µ1;:::;µm)

¹=g(µ1;:::;µm)

A¯n de pouvoir estimer¹, en premier lieu, nous calculons (bµ1;:::;cµm) les estima- teurs du maximum de vraisemblance des paramµetres. En second lieu, nous utilisons la b¹=g(bµ1;:::;cµm); est l'estimateur du maximum de vraisemblance de¹. Pour calculer un intervalle de con¯ance pour¹, on estime tout d'abord les pa-

L=L(µ1;:::;µm)

nY i=1f(Xi;µ1;:::;µm): Dans la pratique pour simpli¯er les calculs des estimateurs, nous utilisons le loga- l(µ1;:::;µm) = log³

L(µ1;:::;µm)´

nX i=1log³ f(Xi;µ1;:::;µm)´ jl(µ1;:::;µm) = 0;pourj= 1;:::;m: Ensuite, nous ¯xons¹et maximisons la vraisemblance sous la contrainte¹= l p(¹) = maxµ

1;:::;µm; ¹=g(µ1;:::;µm)l(µ1;:::;µm):

Le calcul delp(¹) utilise pour chaque valeur de¹des estimateurs desµj,bµj(¹) pour j= 1;:::;m:Notons quelp(¹) est maximale µa¹=b¹l'estimateur du maximum de vraisemblance de¹. montre que

½(¹0) = 2³

l p(b¹)¡lp(¹0)´

»Â21:

(2.4)

Si¹0est la vraie valeur du paramµetre¹, l'intervalle de con¯ance pro¯l pour¹µa un

IC mv=n

0: 2³

l p(b¹)¡lp(¹0)´

21¡®;1o

(2.5) intervalle de con¯ance pour¹. Exemple 2.2.(Modµele exponentiel avec masse µa 0) 2:3 qui suivent la loi exponentielle de moyenne¸. A partir du modµele ( 2:3 ) nous voyons

¹=p¸=g(p;¸):

½(¹0) =¡2 log8

1¡¹0=b¸0´

k³

0=b¸0´

n¡k³

1=b¸0´

n¡kexp³

¡Pn¡k

i=1xi=b¸0´

1¡b¹=b¸´

k³ b¹=b¸´ n¡k³

1=b¸´

n¡kexp³

¡Pn¡k

i=1xi=b¸´9 (2.6) oµu, bp=n¡k n ;b¸=P n i=1xi n¡k;b¹=bpb¸=P n i=1xi n et b

¸0=A+p

A

2¡4AB

2 avec,

A=³2n¹0+Pn

i=1xi¡k¹0

2(n¡k)´

etB=³¹0Pn i=1xi

2(n¡k)´

2:6 ) et les autres estimateurs des paramµetres inconnuesp,¸et¹sont Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne111.0 1.5 2.0

0 2 4 6 8

mu rhomu

Fig.2.2 {

quantile deÂ20:95;1pour l'exemple 2:2:avecn= 40 etp= 3=4 = 1=¸ Lsous aucune contrainte. Mais on obtientb¸0en maximisant la vraisemblance pro¯l sous la contrainte¹0=p¸0. Avant de chercher l'intervalle de con¯ance pour¹, nous tra»cons dans la ¯gure 2.2

A la lumiµere de la ¯gure

2.2 , nous voyons que la droite horizontale coupe la courbe de½(¹) en deux points distincts. Soientbietbsles abscisses respectifs de ces deux points. l'intervalle de con¯ance µa 95% pour¹est l'ensemble de valeurs comprises entre bietbs. 2.2 , le 2:5 Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne12

Taux de non

Taux de non

Taux de

P(Y= 1)

µa gauche en (%)

µa droite en (%)

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