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TD 4: Matrices

Institut Galilée. L1, algèbre linéaire

Année 2013-2014, 2ème semestre

Exercice 1.On donne les matrices suivantes :

M=1 2 4

2 6 0 ;N=a1c 2 1 0 ;P=1 2p31 ;T=0 @3i 5

2 + 2i1

A etU=p2 5 5 oùaetcsont des nombres complexes. a)Donner les coefficients suivants de la matrice M :m2;3,m1;2. b)Calculer, lorsque c"est possible, les sommes suivantes :M+N;N+P;M+tN c)Calculer, lorsque c"est possible, les produits suivants :MN;MtN;MP;PM;UT;TU;iN;p2T d)A quelles conditions sur les dimensions des matricesAetBpeut-on calculer la sommeA+tB? e)A quelles conditions sur les dimensions des matricesAetBpeut-on calculer le produitAtB?

Exercice 2.Soient les matrices :

-A=1 2 1; -Bn= [bij]1i;jnoùbi;j= 0sii < j,bi;j=i+jsinon; -Cn= [cij]1i;jnoùci;j= 0sijijj>1,bi;j= 1sinon, -Dn= [di1]1inoùdi1=xi1

1. Ecrire la matriceB4et la matriceC4

2. Calculer les produitsAC3ettC3C3

3. Calculer les produits

tCnCnetCntCn

Exercice 3.Soient les matricesC=1 2

14 ,D=31 4 2 etX=a b c d a)Résoudre l"équationXC=D, d"inconnueX. b)Résoudre l"équationCX=D, d"inconnueX. Exercice 4.Déterminer en fonction deaetbréels toutes les matrices deM2;2(R)qui commutent avec la matricea0 0b

Exercice 5.Soit la matriceA=2 1

02 , En utilisant l"égalitéA=2I2+0 1 0 0 et en vérifiant que l"on peut utiliser la formule du binôme de Newton, calculerAn. Exercice 6.Dire si les matrices suivantes sont inversibles. Si oui, donner leur inverse : A=0 B

B@3 0 0 0

0 2i0 0

0 0 3 + 4i0

0 0 021

C CAB=0 B

B@1 21 0

0 0 01

0 0i0

0 0 0 21

C CAC=0 B

B@i21 0

02 41 2 0i0

0 12 0;51

C

CAD=23

1 2 E=2 3 46

F=2 31

46 3
G=x3 2 1 en fonction du paramètrex2C: 1

Exercice 7.On considére les matricesA=46

2 3 etB=33 22
Effectuer le produitAB.AetBsont-elles inversibles?

Exercice 8.Soit pour2Rla matrice33R=0

@cos() sin() 0 sin() cos() 0

0 0 11

A a)CalculerRRpour;2R. b)La matriceRest-elle inversible? Si oui calculer son inverse.

Exercice 9.En utilisant la méthode du pivot, dire si les matrices suivantes sont inversibles et donner

leur inverse A=0 @1 24 0 1 3 1 311 A B=0 @1813 1 4 2

0 1 31

A C=0 B

B@1 211

25 31
13 21

1 22 11

C CA Exercice 10.Résoudre dansR3en fonction du paramètremle système linéaire suivant : 8< :mx+y+z= 0

3xy+ 2z= 2m

mxy2z= 4 Discuter en fonction du paramètreml"inversibilité de la matriceM=0 @m1 1 31 2
m121 A

Déterminer l"inverse deMdans le cas oùm= 2.

Exercice 11.Déterminer les inverses des matricesA=1 0;99

1;01 1

etB=1 0;99 1 1

A votre avis, quel problème se pose si on calcule l"inverse d"une matrice en remplaçant chacun de ses

coefficients par une valeur approchée?

Exercice 12.On considère les matricesA=7 5

64

1. Calculer la matriceA23A+ 2I2.

2. Soitnun entier supérieur ou égal à 2. Expliquer pourquoi il existe des nombres réelsanetbnet

un polynômeQn(X)tels que X n= (X23X+ 2)Qn(X) +anX+bn A l"aide des racines du polynômeX23X+ 2, calculeranetbn.

On ne cherchera pas à calculerQn(X).

3. en déduire le calcul de la matriceAn.

2 Exercices à préparer pour le contrôle continu

Exercice 13.SoientAetBdeux matrices,A=21

1 4 etAB=12 56

1 1 10

DéterminerB.

Exercice 14.Déterminer en fonction dea2Retb2Rtoutes les matrices22qui commutent aveca b 0 0

Exercice 15.Les matrices suivantes :

M=0 @21 3 3 2 2

611 11

A ;N=0 @111 2 22 22 21
A ;P=0 B

B@2 5 6 0

2 3 1;5 0;5

122 0

0 1 2;5 01

C CA sont-elles inversibles? Donner l"inverse des matrices qui le sont. Exercice 16.Pour quelles valeurs du paramètremla matriceE=0 @11 2 m1m2m2

2m3m11

A est-elle inversible? Calculer l"inverse de la matrice dans le cas oùm= 0puis dans le cas oùm= 1.

Exercice 17.

a)Calculer l"inverse de la matriceA=0 @1=4 3=2 1=4 1 0 0

1 2 11

A , en réduisant la matrice augmentée(AjI3)

à la forme écheloné simplifiée.

b)EcrireA1sous la forme d"un produitE1E2:::En, oùE1;E2, ...Ensont des matrices élémentaires que

vous préciserez.

Exercice 18.Résoudre dansR3en fonction des paramètres rélsa,betcle système linéaire suivant :

8< :x+yz=a

3x+z=b

x+y=c

En déduire que la matriceS=0

@1 11 3 0 1

1 1 01

A est inversible et donner son inverse. 3quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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