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mathématiques - S1

TD 8 : Matrices : corrigé

département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble exercices théoriques

1. Calculer, quand c'est possible, les sommes+et les produits:

(a)=1 1 11 11 2 1 3 0 1 3 (b)=11 5 2 21 4 3 1 (c)=11 5 2 21 ,=43 1. (d)= 0 21 2 0 1 11 1 11 1 121
1 1 0 corrigé succinct : (a) On ne peut calculer+, et le produitvaut=6 44-2 (b) On ne peut calculer+, et le produitvaut=41 (c) On ne peut calculer ni+, ni(le nombre de colonnes den'est pas égal au nombre de lignes de). (d) On calcule+=1 1 0 -3-2 0 -2 0 1 et=-1-5-2 -3 3-2 -1 4 0

2. Soit=

5 63

1819 9

3030 14

(a) Calculer2et vérifier que22= 0. (b) En déduire queest inversible, et calculer-1. (c) Résoudre les équations= 1 1 1 et= 2 1 4 (d) Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de. (e) On pose() =22. Déterminer le reste de la division selon les puissances décrois- santes de5par. En déduire l'expression de5. corrigé succinct :(a)2==7 6-3 -18-17 9 -30-30 16 et donc2-=2 0 00 2 00 0 2 = 2. (b) On a donc 2-

2=, donc-

2=-

2=, l'inverse deest la matrice

2, que l'on calcule directement :-1=2 3-32

-9-10 92 -15-15 132 (c)est inversible donc=111

équivaut à-1=-1111

donc== 72
-292 -472 . De même,=-2 1 4

équivaut à=-1-2

1 4 , soit=-7 26
41
(d) Première méthode : on cherchetel que=ait une solution non nulle. On doit donc résoudre un système avec un paramètre...c'est possible mais long.

Deuxième méthode : si=,2=2donc(2--2)=

(2--2)= 0, et donc2--2 = 0. Ainsi, les seuls candidats pour être valeur propre sont=-1et= 2. Il suffit alors de résoudre les systèmes=-et= 2. Si on note() les coordonnées de, le premier système est donc6+ 6-3= 0 -18-18+ 9= 0 -30-30+ 15= 0et on remarque que les 3 lignes sont des multiples de l'unique équation2+ 2-= 0. On a donc une infinité de solutions, de la forme 2+ 2 soit encore102 012 , pour tousréels.

Le second système est3+ 6-3= 0

-18-21+ 9= 0 -30-30+ 12= 0qui équivaut à + 2-= 0

6+ 7-3= 0

5+ 5-2= 0, donc en enlevant la première ligne à la deuxième :

+ 2-= 0

5+ 5-2= 0

5+ 5-2= 0et on obtient un système de deux équations à deux in-

connues, que l'on résoud en prenantpour paramètre :+ 2=

5+ 5= 2, donc

+ 2= -5=-4,= 45et=-2+=-85 +=-35, donc =-85 45
=-85 45
1 : les vecteurs propres associés à la valeur propre 2 sont les vecteurs de la forme-8 4 5 pourréel. (e) On calcule un quotient3+2+ 3+ 5et un reste11+ 10. Par conséquent,

5= (2--2)(3+2+3+5)+11+10, et on peut évaluer cette égalité

en, pour obtenir5= (2--2)(3+2+ 3+ 5) + 11+ 10. Comme2--2= 0, on en déduit que5= 11+ 10, soit5=65 76-23 -188-199 109 -290-290 164

3. On fixe un repère()orthonormé direct, et().

Vérifier que

:est linéaire, et déterminer sa matrice. On a bien, pour tout réelet tous vecteursetles égalités()?=(?), et (+)?=?+?, donc l'application est linéaire. et on peut la représenterpar une matrice. Pour déterminer sa matrice dans la base(), il suffit de calculer en fonction deet l'image de ,et. On calcule donc100 =0 ,010 0 et 001 0

La matrice est donc

0- -0 -0 , elle est antisymétrique (opposée de sa transposée).

4. On fixe un repère()orthonormé direct, et on considère :

- la rotationd'axe()et d'angle, - la symétrie orthogonalede plan+ 2= 0. On admet que ces applications sont des applications linéaires. (a) i. Déterminer les coordonnées des images des vecteurs ,et. ii. En déduire celles(++)puis la matricede. (b) Déterminer l'image de etpar. En déduire la matricede (c) i. Déterminer les valeurs propres de=. ii. Déterminernon nul tel que() =puis deux vecteurs etnon colinéaires et orthogonaux à. iii. Ecrire la matrice dedans la base().

En déduire la nature géométrique de.

corrigé succinct :(a) i. En revenant aux définitions des cosinus et sinus, on voit que() = cos+sin,

() =-sin+ cos(faire un dessin dans le plan()...)

D'autre part,

est invariant :() =. ii. On en déduit la matrice=cos-sin0 sincos0 0 0 1 Et par conséquent, les coordonnées de(++)sont données par le calcul , soitcos-sin sin+cos (b) Le vecteur(12-1)est un vecteur normal au plan, de norme⎷

6. Par conséquent

l'image d'un vecteurparest-2 ||||2. Ainsi,() =-2(+ 2-)6. On calcule de même()et(), et finalement, =1 3 2-2 1 -2-1 2 1 2 2 (c) Je taperais la correction de la suite de l'exercice si l'un d'entre vous cherche... exercices pratiques 2

1.GoogleOn souhaiteévaluerl'importancedesites interneten utilisant

les liens entrant vers ce site. Plus précisément, on utilise une matrice constituée de 0 et de 1 : le coefficienti,jvaut 1 si le sitecontient un lien vers le site, 0 sinon.

On prend un exemple très simple avec=0 1 0 0 1 01 0 0 0 1 00 0 0 1 0 01 0 1 0 1 11 1 1 0 0 11 1 0 0 1 0

(a) Si l'on évalue l'importance d'un site par le nombre de sites poin- tant vers lui, quel est le site le plus important dans cet exemple? (b) Si l'on choisit d'évaluer l'importance d'un site par un nombre po- sitifiproportionnel à la somme des importances des sites poin- tant vers lui, quelle équation vérifie le vecteurde coordonnées i? Quelle est, dans le cas ci-dessus, le site le plus important? corrigé succinct : 3quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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