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Déterminer les paramètres de la série statistique : Valeurs Accès au mode statistique ... Instruction LIST (touches 2nd et STAT ) puis MATH 8:variance ;.
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Si les valeurs de la série possèdent une unité l'écart type s'exprime dans la même unité. Autre formule pour calculer la variance : V = ?. ?.
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Comment calculer la variance d'une série statistique ?
Soustrayez de chaque observation la moyenne. Calculez le carré de chacune des autres observations. Additionnez ces résultats au carré. Divisez ce total par le nombre d'observations (la variance, S2).Qu'est-ce que la variance d'une série statistique ?
La variance est l'écart carré moyen entre chaque donnée et le centre de la distribution représenté par la moyenne.2 sept. 2021Comment interpréter la variance d'une série statistique ?
Il est possible de l'interpréter comme la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne. Concrètement, la variance est définie comme la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. La considération du carré de ces écarts évite que s'annulent des écarts positifs et négatifs.- Interprétation. Plus la variance est élevée, plus les données sont dispersées. Etant donné que la variance (? 2) représente une quantité élevée au carré, ses unités sont également élevées au carré. C'est pourquoi la variance est difficile à utiliser dans la pratique.
Descriptive
Yves Tille
15 decembre 2010
2Objectif et moyens
Objectifs du cours
- Apprendre les principales techniques de statistique descriptive univari´ee et bivari´ee. -ˆEtre capable de mettre en oeuvre ces techniques de mani`ere appropri´ee dans un contexte donn´e. -ˆEtre capable d'utiliser les commandes de base du Language R. Pouvoir appliquer les techniques de statistiques descriptives au moyen du language R. - R´ef´erences Dodge Y.(2003),Premiers pas en statistique, Springer. Droesbeke J.-J. (1997),´El´ements de statistique, Editions de l'Universit´e libre de Bruxelles/Ellipses.Moyens
- 2 heures de cours par semaine. - 2 heures de TP par semaine, r´epartis en TP th´eoriques et applications enLanguage R.
Le language R
- Shareware : gratuit et install´e en 10 minutes. - Open source (on sait ce qui est r´eellement calcul´e). - D´evelopp´e par la communaut´e des chercheurs, contient ´enorm´ement de fonctionnalit´es. - Possibilit´e de programmer. - D´esavantage : pas tr`es convivial. - Manuel : 3 4Table des mati`eres
1 Variables, donn´ees statistiques, tableaux, effectifs9
1.1 D´efinitions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 La science statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Mesure et variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Typologie des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 S´erie statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Variable qualitative nominale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Effectifs, fr´equences et tableau statistique . . . . . . . . . 11
1.2.2 Diagramme en secteurs et diagramme en barres . . . . . . 12
1.3 Variable qualitative ordinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Le tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Diagramme en secteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Diagramme en barres des effectifs . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4 Diagramme en barres des effectifs cumul´es . . . . . . . . . 16
1.4 Variable quantitative discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Le tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Diagramme en bˆatonnets des effectifs . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Variable quantitative continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Le tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.2 Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.3 La fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Statistique descriptive univari´ee27
2.1 Param`etres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Le mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 La moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Remarques sur le signe de sommation∑. . . . . . . . . 29
2.1.4 Moyenne g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.5 Moyenne harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.6 Moyenne pond´er´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.7 La m´ediane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.8 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Param`etres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
56TABLE DES MATIERES
2.2.1 L'´etendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 La distance interquartile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3 La variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.4 L'´ecart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.5 L'´ecart moyen absolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.6 L'´ecart m´edian absolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Param`etres de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.1 Coefficient d'asym´etrie de Fisher (skewness) . . . . . . . . 41
2.4.2 Coefficient d'asym´etrie de Yule . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.3 Coefficient d'asym´etrie de Pearson . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Param`etre d'aplatissement (kurtosis) . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 Changement d'origine et d'unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Moyennes et variances dans des groupes . . . . . . . . . . . . . . 44
2.8 Diagramme en tiges et feuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.9 La boˆıte `a moustaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Statistique descriptive bivari´ee53
3.1 S´erie statistique bivari´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Deux variables quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1 Repr´esentation graphique de deux variables . . . . . . . . 53
3.2.2 Analyse des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.4 Corr´elation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.5 Droite de r´egression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.6 R´esidus et valeurs ajust´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.7 Sommes de carr´es et variances . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.8 D´ecomposition de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Deux variables qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.1 Donn´ees observ´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.2 Tableau de contingence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.3 Tableau des fr´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.4 Profils lignes et profils colonnes . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.5 Effectifs th´eoriques et khi-carr´e . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Th´eorie des indices, mesures d'in´egalit´e77
4.1 Nombres indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.1 Propri´et´es des indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Indices synth´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.3 Indice de Laspeyres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.4 Indice de Paasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.5 L'indice de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.6 L'indice de Sidgwick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.7 Indices chaˆınes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Mesures de l'in´egalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
TABLE DES MATI
ERES74.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.2 Courbe de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.3 Indice de Gini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.4 Indice de Hoover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.5 Quintile et Decile share ratio . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.6 Indice de pauvret´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.7 Indices selon les pays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Calcul des probabilit´es et variables al´eatoires87
5.1 Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.1´Ev´enement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.2 Op´erations sur les ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.3 Relations entre les ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1.4 Ensemble des parties d'un ensemble et syst`eme complet . 89
5.1.5 Axiomatique des Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.6 Probabilit´es conditionnelles et ind´ependance . . . . . . . 92
5.1.7 Th´eor`eme des probabilit´es totales et th´eor`eme de Bayes . 93
5.2 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.2 Permutations (sans r´ep´etition) . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.3 Permutations avec r´ep´etition . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.4 Arrangements (sans r´ep´etition) . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.5 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4.1 D´efinition, esp´erance et variance . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4.2 Variable indicatrice ou bernoullienne . . . . . . . . . . . . 97
5.4.3 Variable binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4.4 Variable de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5 Variable al´eatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5.1 D´efinition, esp´erance et variance . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5.2 Variable uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5.3 Variable normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5.4 Variable normale centr´ee r´eduite . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5.5 Distribution exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.6 Distribution bivari´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.6.1 Cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.6.2 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.6.3 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.6.4 Ind´ependance de deux variables al´eatoires . . . . . . . . . 113
5.7 Propri´et´es des esp´erances et des variances . . . . . . . . . . . . . 114
5.8 Autres variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.8.1 Variable khi-carr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.8.2 Variable de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.8.3 Variable de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8TABLE DES MATIERES
5.8.4 Loi normale bivari´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6 S´eries temporelles, filtres, moyennes mobiles et d´esaisonnalisation127
6.1 D´efinitions g´en´erales et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.2 Traitement des s´eries temporelles . . . . . . . . . . . . . . 128
6.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.2 Description de la tendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2.1 Les principaux mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2.2 Tendance lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.3 Tendance quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.4 Tendance polynomiale d'ordreq. . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.5 Tendance logistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.3 Op´erateurs de d´ecalage et de diff´erence . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.3.1 Op´erateurs de d´ecalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.3.2 Op´erateur diff´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.3.3 Diff´erence saisonni`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.4 Filtres lin´eaires et moyennes mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.4.1 Filtres lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.4.2 Moyennes mobiles : d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.4.3 Moyenne mobile et composante saisonni`ere . . . . . . . . 141
6.5 Moyennes mobiles particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.5.1 Moyenne mobile de Van Hann . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.5.2 Moyenne mobile de Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.5.3 Moyenne mobile de Henderson . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.5.4 M´edianes mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.6 D´esaisonnalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.6.1 M´ethode additive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.6.2 M´ethode multiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.7 Lissage exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.7.1 Lissage exponentiel simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.7.2 Lissage exponentiel double . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7 Tables statistiques157
Chapitre 1
Variables, donn´ees
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