[PDF] Variations de fonctions associées





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Tableau de variation :

La fonction racine carrée est définie pour x. 0. Tableau de variation : sur [ 0 ; + [ f est croissante. f '(x) = 1.



Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = ? b. 2a . Factorisation : Pour tout x ax2 +bx+c = a(x?x1)2. Signe : ax2 +bx+c est toujours du signe de a 



Variations de fonctions associées

fonction carrée est une parabole. Tableau de variation à faire ! ... (a) Montrer que la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +?[.



La fonction racine carrée : ensemble de définition variations

On ne peut calculer une racine carrée que pour des nombres positifs. Avec g(x)= ?-4x+8 ? ? le tableau de signes de - 4x + 8 ( fonction affine ) est :.



I La fonction carrée

Dressons ici le tableau de variations et de signe de la fonc- On appelle fonction racine carrée la fonction f définie sur [0; +?[ par f(x) =.



FONCTIONS DE REFERENCE

Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle 0;+????? . Démonstration : Soit a et b deux nombres réels positifs 



Fonctions carrée et inverse. Autres fonctions élémentaires

6 févr. 2010 3.1 Étude de la fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ... On obtient donc le tableau de variation suivant :.



LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Remarque : La fonction racine carrée n'est pas définie pour des valeurs négatives. Résoudre une inéquation avec la fonction racine carrée : Vidéo https://youtu.



CONVEXITÉ

La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I



VARIATIONS DUNE FONCTION

Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur ...



[PDF] Première S - Fonction racine carrée - Parfenoff org

On appelle fonction racine carrée la fonction définie sur l'intervalle d'où – possède le même signe que – ( car ? ? ? 0 par définition )



[PDF] Seconde - Fonction racine carrée - Parfenoff org

La fonction racine carrée est la fonction définie sur [0 ; +?[ qui à tout réel associe sa racine carrée ? : : ? ? II) Sens de variation 



[PDF] La fonction racine carrée : ensemble de définition variations

Pour cela il faudra réaliser le tableau de signes de l'expression (se trouvant à l'intérieur de la valeur absolue) afin de savoir sur quels intervalles elle 



[PDF] FONCTION RACINE CARRÉE ET VALEUR ABSOLUE I - Blogpeda

Un tableau de valeurs permet de tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée x 0 1 2 4 9 f (x) C) SENS DE VARIATION



Fonctions racine carrée et inverse x

Pour tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée on établit le tableau de valeurs ci-dessous pour des points d'abscisse positive ou nulle



[PDF] FRACTIONS PUISSANCES RACINES CARRÉES - maths et tiques

La racine carrée de ?5 est le nombre dont le carré est ?5 ! Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes) donc la racine carrée d'un nombre



[PDF] RACINES CARREES (Partie 1) - maths et tiques

La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5 Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes) donc la racine carrée d'un nombre



[PDF] Domaine et racines dune fonction

Définition: La racine d'une fonction est la valeur de x qui annule la fonction Une fonction peut ne pas avoir de racine ou bien peut en avoir une ou 



[PDF] 2 Factorisation racines et signe du trinôme - Xm1 Math

Méthode générale : On isole la racine carrée et on utilise le fait que si A = B alors A2 = B2 On obtient une deuxiéme équation du second degré que l'on résoud 

  • Comment Etudier le signe d'une fonction racine carrée ?

    L'équation de la fonction racine carrée peut s'écrire f(x)=a?bx f ( x ) = a b x où a et b sont tous deux non nuls. Remarque : Lorsque a=1 et b=1 , on obtient l'équation f(x)=?x f ( x ) = x qui correspond à la forme de base de la fonction racine carrée.

  • Quel est le symbole de la racine carré ?

    ???Le symbole ? se nomme radical, ou racine. Par ailleurs, son appellation peut varier en fonction du nombre qui lui est associé. ?x ou 2?x est la racine carrée du nombre x. x .

  • Où trouver le signe racine carré ?

    Allez à votre clavier et enfoncez la touche Alt. Tout en la maintenant, cliquez sur les touches 2, 5 et 1, dans cet ordre, qui se trouvent tout en haut de votre clavier, c'est alors que vous verrez se dessiner le symbole de racine carrée sur votre document de traitement de texte.
  • Sur le graphe de la fonction, les racines sont les intersections du graphe avec l'axe des x. Comment trouver les racines d'une fonction ? Il suffit d'annuler le numérateur de la fonction. On est donc ramené à résoudre une équation.

Variations de fonctions associées

I. Rappels :

1. Sens de variations :

a. Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

- On dit que f est croissante sur l'intervalle I si : Pour tout a, b I, si a ∈> b alors f (a)>f (b)

Ce qui signifie que f " conserve l'ordre »

- On dit que f est décroissante sur l'intervalle I si : Pour tout a, b I, si a ∈> b alors f (a) Ce qui signifie que f " inverse l'ordre »

Remarque : Avec des inégalités strictes, on dit que f est strictement croissante ou strictement décroissante

Si une fonction f est soit toujours (strictement) croissante, soit toujours (strictement) décroissante sur un

intervalle I, on dit que f est (strictement) montone sur l'intervalle I.

2. Cas particuliers :

a. Fonctions affines : Propriété : Soit f (x) = mx + p une fonction affine. - Si m > 0 alors la fonction f est strictement croissante - Si m = 0 alors la fonction f est constante - Si m < 0 alors la fonction f est strictement décroissante b. Fonction carrée

Propriété :

La fonction carrée est strictement décroissante sur ]-∞;0] , strictement croissante sur ]0;+∞[et son minimum est 0 atteint en 0 La courbe représentative de la fonction carrée est une parabole

Tableau de variation à faire !

c. Fonction inverse

Propriété :

La fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞;0[et strictement décroissante sur

]0;+∞[La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole Remarques : 1. La courbe représentative de la fonction inverse ne touche aucun des axes de coordonnées. Par contre, elle s'en rapproche indéfiniment...

2. Il est faux de dire que la fonction inverse est décroissante sur R\ {0}.

Par exemple, -3 < 2 et -1/3 < 1/2

L'ordre n'est ici en aucun cas inversé...

On ne peut de toute façon étudier les variations d'une fonction que sur un intervalle.

II. La fonction racine carrée :

1. Définition : Soit x un nombre réel positif. Il existe un unique nombre positif dont le carré est x. Ce

nombre est appelé racine carré de x et est noté

2. Sens de variation - Courbe représentative

(b) Compléter le tableau de valeurs suivant puis tracer une allure de la courbe représentative de la

fonction racine carrée dans le repère orthonormé ci-contre.: x01/4149

Bilan : ...................................................................................................................................................

III. Sens de variation des fonctions associées :

1. Variations de x u ( x ) + k :

Théorème : Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k un nombre réel fixé. On note v la fonction

définie sur I par v (x) = u (x) + k. Les fonctions u et v ont le même sens de variations sur I

Démonstration :

1er cas : On suppose que u est croissante sur l'intervalle I.

La fonction v est donc croissante sur l'intervalle I. Exercice : Reprendre la démonstration dans le cas où u est décroissante sur l'intervalle I.

Remarque : La courbe représentative de v se déduit de celle de u par une translation verticale de vecteur

⃗w (0 k) . Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x² + 3.

La fonction f a les mêmes variations (forme x → u(x) + k ) que la fonction carrée. On obtient ainsi le tableau

de variations : x-∞ 0+∞ variationsdelafonctioncarrée0 variationsdef3 La courbe représentative de f se déduit de celle de la fonction carrée par une translation de vecteur ⃗w (0

3). Construire l'allure de la courbe

représentative de la fonction f à partir de celle la fonction représentée ci-contre.

2. Variations de x λ u (x) :

Théorème : Soit u une fonction définie sur un intervalle I et λ un nombre réel fixé non nul. On note v la

fonction définie sur I par v(x) = λ u(x). Si λ > 0, les fonctions u et v ont le même sens de variations sur I. Si λ < 0, les fonctions u et v ont des sens de variations contraires sur I.

Démonstration :

1er cas : On suppose que u est croissante sur l'intervalle I et λ < 0.

Soit a, b

∈I, avec aλu(b), d'où v(a)Exercice : Reprendre la démonstration dans les trois cas restants, après les avoir énumérés.

Remarque : La courbe représentative de v se déduit de celle de u en multipliant toutes les ordonnées par λ.

Exemples : Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)= 3

4 x². Comme

3

4 > 0, la fonction f a le même sens de

variations (forme λuavec λ>0) que la fonction carrée. On obtient ainsi le tableau de variations : x-∞0+∞ variationsdelafonctioncarrée0 variationsdef0

Construire l'allure de la courbe

représentative de la fonction f à partir de celle la fonction représentée ci-contre. Vous pouvez vous aider du tableau de valeurs : x- 3- 2- 10123 3

4x²27

43
43
4 27

4 - Soit f la fonction définie sur ℝ par g(x)= - 2 x². Comme - 2 < 0, la fonction g a un sens de variations

contraire (forme λuavec λ<0) à la fonction carrée. On obtient ainsi le tableau de variations : x-∞0+∞ variationsdelafonctioncarrée0 variationsdeg0

Construire l'allure de la courbe

représentative de la fonction f à partir de celle la fonction représentée ci-contre. Vous pouvez vous aider du tableau de valeurs : x- 2- 1012 - 2 x²- 8 - 2 0 - 2 - 8

Bilan :

3.Variations de x 1

u(x) :

Théorème : Soit u une fonction définie sur un intervalle I telle que, pour tout x R I, u (x) g 0 et le signe de u

est constant sur I. On note v la fonction définie sur I par v (x) = 1 u(x) Les fonctions u et v ont des sens de variations contraires sur I.

Démonstration :

1er cas : On suppose que u est croissante et strictement négative sur l'intervalle I.

0[, on a

1 u(a) ≥ 1 u(b) soit v(a) ≥ v(b), la fonction v est décroissante sur I.

Exercice : Reprendre la démonstration dans les trois cas restants, après les avoir énumérés.

Exemple : Étude des variations de la fonction définie sur ℝ\ {2} par f (x) = 1 -2x+4.

Soit u la fonction définie par u (x) = -2x + 4. u est une fonction affine strictement décroissante dont le tableau

de signes est : x- ∞ 2+ ∞ signedeu(x)+0-

•Sur ]- ∞ ; 2[, u est strictement décroissante et strictement négative et f a un sens de variations

contraire à u.

•Sur ]2 ; + ∞[, u est strictement décroissante et strictement positive et f a un sens de variations

contraire à u. On obtient le tableau de variations suivant à compléter: x-∞2+∞ variationsdelafonctionu0 variationsdef La courbe représentative de la fonction f est tracée ci-contre :

4.Variations de x

Théorème : Soit u une fonction définie sur un intervalle I telle que, pour tout x ∈ I, u (x) ≥ 0.

sur I.

Démonstration :

On suppose que u est croissante sur l'intervalle I.

Soit a, b

+∞ [, on a Exercice : Reprendre la démonstration dans le cas où u est décroissante. Exemple : Étude des variations de la fonction définie par f (x) =

Soit u la fonction définie par u (x) = -2x + 4. On connaît déjà le tableau de signe de cette fonction !

La fonction f est donc définie sur l'intervalle ]- ∞; 2].

- Sur ]- ∞ ; 2], u est strictement décroissante et f a les mêmes variations que la fonction u.

On obtient le tableau de variations suivant à compléter: x-∞2 variationsdelafonctionu0 variationsdef0 La courbe représentative de la fonction f est tracée ci-dessous : Bilan : ....................................................................quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40