[PDF] Fonctions carrée et inverse. Autres fonctions élémentaires





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Tableau de variation :

La fonction racine carrée est définie pour x. 0. Tableau de variation : sur [ 0 ; + [ f est croissante. f '(x) = 1.



Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = ? b. 2a . Factorisation : Pour tout x ax2 +bx+c = a(x?x1)2. Signe : ax2 +bx+c est toujours du signe de a 



Variations de fonctions associées

fonction carrée est une parabole. Tableau de variation à faire ! ... (a) Montrer que la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +?[.



La fonction racine carrée : ensemble de définition variations

On ne peut calculer une racine carrée que pour des nombres positifs. Avec g(x)= ?-4x+8 ? ? le tableau de signes de - 4x + 8 ( fonction affine ) est :.



I La fonction carrée

Dressons ici le tableau de variations et de signe de la fonc- On appelle fonction racine carrée la fonction f définie sur [0; +?[ par f(x) =.



FONCTIONS DE REFERENCE

Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle 0;+????? . Démonstration : Soit a et b deux nombres réels positifs 



Fonctions carrée et inverse. Autres fonctions élémentaires

6 févr. 2010 3.1 Étude de la fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ... On obtient donc le tableau de variation suivant :.



LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Remarque : La fonction racine carrée n'est pas définie pour des valeurs négatives. Résoudre une inéquation avec la fonction racine carrée : Vidéo https://youtu.



CONVEXITÉ

La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I



VARIATIONS DUNE FONCTION

Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur ...



[PDF] Première S - Fonction racine carrée - Parfenoff org

On appelle fonction racine carrée la fonction définie sur l'intervalle d'où – possède le même signe que – ( car ? ? ? 0 par définition )



[PDF] Seconde - Fonction racine carrée - Parfenoff org

La fonction racine carrée est la fonction définie sur [0 ; +?[ qui à tout réel associe sa racine carrée ? : : ? ? II) Sens de variation 



[PDF] La fonction racine carrée : ensemble de définition variations

Pour cela il faudra réaliser le tableau de signes de l'expression (se trouvant à l'intérieur de la valeur absolue) afin de savoir sur quels intervalles elle 



[PDF] FONCTION RACINE CARRÉE ET VALEUR ABSOLUE I - Blogpeda

Un tableau de valeurs permet de tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée x 0 1 2 4 9 f (x) C) SENS DE VARIATION



Fonctions racine carrée et inverse x

Pour tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée on établit le tableau de valeurs ci-dessous pour des points d'abscisse positive ou nulle



[PDF] FRACTIONS PUISSANCES RACINES CARRÉES - maths et tiques

La racine carrée de ?5 est le nombre dont le carré est ?5 ! Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes) donc la racine carrée d'un nombre



[PDF] RACINES CARREES (Partie 1) - maths et tiques

La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5 Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes) donc la racine carrée d'un nombre



[PDF] Domaine et racines dune fonction

Définition: La racine d'une fonction est la valeur de x qui annule la fonction Une fonction peut ne pas avoir de racine ou bien peut en avoir une ou 



[PDF] 2 Factorisation racines et signe du trinôme - Xm1 Math

Méthode générale : On isole la racine carrée et on utilise le fait que si A = B alors A2 = B2 On obtient une deuxiéme équation du second degré que l'on résoud 

  • Comment Etudier le signe d'une fonction racine carrée ?

    L'équation de la fonction racine carrée peut s'écrire f(x)=a?bx f ( x ) = a b x où a et b sont tous deux non nuls. Remarque : Lorsque a=1 et b=1 , on obtient l'équation f(x)=?x f ( x ) = x qui correspond à la forme de base de la fonction racine carrée.

  • Quel est le symbole de la racine carré ?

    ???Le symbole ? se nomme radical, ou racine. Par ailleurs, son appellation peut varier en fonction du nombre qui lui est associé. ?x ou 2?x est la racine carrée du nombre x. x .

  • Où trouver le signe racine carré ?

    Allez à votre clavier et enfoncez la touche Alt. Tout en la maintenant, cliquez sur les touches 2, 5 et 1, dans cet ordre, qui se trouvent tout en haut de votre clavier, c'est alors que vous verrez se dessiner le symbole de racine carrée sur votre document de traitement de texte.
  • Sur le graphe de la fonction, les racines sont les intersections du graphe avec l'axe des x. Comment trouver les racines d'une fonction ? Il suffit d'annuler le numérateur de la fonction. On est donc ramené à résoudre une équation.

TABLE DES MATIÈRES 1

Fonctions carrée et inverse.

Autres fonctions élémentairesPaul Milan

LMA Seconde le 6 février 2010

Table des matières

1 La fonction carrée

2

1.1 Fonction paire

2

1.2 Étude de la fonction carrée

3

1.3 Représentation de la fonction carrée

3

1.4 Fonctions se ramenant à la fonction carrée

4

1.5 Application

5

2 La fonction inverse

6

2.1 Fonction impaire

6

2.2 Étude de la fonction inverse

8

2.3 Représentation de la fonction inverse

8

2.4 Fonctions se ramenant à la fonction inverse

9

2.5 Application

10

3 La fonction racine carrée

11

3.1 Étude de la fonction racine carrée

11

3.2 Représentation

12

4 La fonction cube

13

4.1 Étude de la fonction cube

13

4.2 Représentation

14

4.3 Application

15 2

1 La fonction carrée

1.1 Fonction paireDéfinition 1On dit qu"une fonction f définie dans l"ensemble de définition Dfest

une fonction paire si et seulement si : 1) l"ensemble D fest symétrique par rapport à "zéro»

2)8x2Dfon a f(x)=f(x)Remarque :Dfdoit être symétrique par rapport à l"origine.

C"est à dire que six2Dfalorsx2Df.

Rf2gn"est pas symétrique. On ne peut pas comparerf(2) àf(2) (qui n"existe pas).

Par contreRf2;2gest symétrique.

Exemples :

2La fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=x2est paire. En eet on a :

f(x)=(x)2=x2=f(x) etRest bien évidemment symétrique

2Soit les fonctionf1etf2les fonctions définies par :

f

1(x)=2x4+x21 etf2(x)=1x

21
Montrer que les fonctionsf1etf2sont paires sur leur ensemble de définition. f

1est définie surRdonc symétrique et :

f

1(x)=2(x)4+(x)21=2x4+x21=f1(x)

Doncf1est paire.

f

2est définie surRf1;1gdonc symétrique et :

f

2(x)=1(x)21=f2(x)

Doncf2est paire.

2Montrons que la fonctiongdéfinie surRparg(x)=x23xn"est pas paire. Pour

montrer que la proposition est fausse, trouvons un contre-exemple : g(2)=(2)23(2)=4+6=10 etg(2)=223(2)=46=2

Commeg(2),g(2), la fonctiongn"est pas paire.

D"autres fonctions que l"on a pas encore vues sont paires. C"est par exemple le cas de la fonction cosx

de puissances paires possèdent cette propriété.Propriété 1La courbe représentativeCfd"une fonction fonction paire f est symé-

trique par rapport à l"axe des ordonnée.paul milan6 février 2010lma seconde

1.2 Étude de la fonction carr´ee3Tout pointM(x;f(x)) de la courbeCfpossède un point symétrique

M

0(x;f(x)=f(x)) sur la courbe.

1.2 Étude de la fonction carréeDéfinition 2On appelle fonction carrée, la fonction définie surRpar :

f(x)=x2Propriétés :La fonction carrée est une fonction paire, donc sa représentation est symétrique par rapport à l"axe des ordonnées. Variation :Soit deux réelsx1etx2tels quex2>x1. Calculons alors la quantité : f(x2)f(x1)=x2 2x2 1 =(x2x1)(x2+x1) On sait quex2>x1doncx2x1>0. Le signe def(x2)f(x1) est du signe dex2+x1. Six2>x1>0 alorsf(x2)f(x1)>0 donc la fonction est croissante. Six10%+11.3 Représentation de la fonction carrée

Définition 3La représentation de la fonction carrée est une parabole de sommet O.Comme cette parabole est symétrique par rapport à l"axe des ordonnée, on cherchera

des points dont les abscisses sont positives. On complétera alors par les point symétriques. Tableau de valeurspaul milan6 février 2010lma seconde

1.4 Fonctions se ramenant`a la fonction carr´ee4x00,511,52

x

200,2512,254

On obtient alors la parabole suivante :

Remarque :La parabole était bien connue des grecs, soit donc bien avant la création du concept de fonction. Cette courbe fait partie de ce que les grec appelait les " conniques ». Elles correspondent aux section d"un cone par un plan. La parabole est

obtenue avec un plan parallèle à un génératrice du cone.1.4 Fonctions se ramenant à la fonction carrée

Définition 4On définit une fonction f surRpar : f(x)=ax2 La représentation de ces fonctions sont des paraboles. Les variations de f sont identiques à la fonction carrée lorsque a>0. La parabole est tournée vers le haut. Les variations de f sont contraires à la fonction carrée lorsque a<0. La parabole est tournée vers le bas.Variations : paul milan6 février 2010lma seconde

1.5 Application5a>0x10+1x

2+1& 0%+1a

2>a1a<0x10+1x

21
%0&1ja2j>ja1j Remarque :Une parabole de sommetS(x0;y0) a pour fonction associéefde la forme : f(x)=a(xx0)2+y0

1.5 Application

En géométrie, on appelle parabole une courbe constituée des point M équidistants d"un point F appelé foyer et d"une droite fixe.

1)Construction de la parabole

On donne le foyer de la paraboleF(0;1) et la droitedfixe d"équationy=1.Hest le

projeté orthogonal deMsur la droited. On obtient alors la figure suivante :Comme les pointMsont équidistants deFet de la droited, on peut écrire :

MF=MH Mest donc sur la médiatrice de [FH]. Pour tracer un pointM, on prend un point quelconqueHsur la droited. On trace ensuite la médiatrice de [FH].Mest alors l"intersection de cette médiatrice avec la perpendiculaire àdenH. Avec un logiciel,

on peut alors obtenir l"ensemble des pointsMlorsqueHparcourtd. On obtient alors :paul milan6 février 2010lma seconde

6 Remarque :On remarque que la médiatrice est alors la tangente enMà la parabole ainsi tracée.

2)Relation entre les coordonnées

On noteM(x;y) les coordonnées du pointM. On obtient alors les coordonnées de H(x;1). On calcule alors les distances au carréeMF2etMH2. MF

2=(xxF)2+(yyF)2=x2+(y1)2

MH

2=(xxH)2+(yyH)2=(y+1)2

De l"égalité des distances, on en déduit : x

2+(y1)2=(y+1)2

x

2+y22y+1=y2+2y+1

4y=x2 y=14 x2

On retrouve la fonctionf(x)=14

x2qui est représentée par un parabole.

2 La fonction inverse

2.1 Fonction impaireDéfinition 5On dit qu"une fonction est impaire sur son ensemble de définition Df

si, et seulement si : 1) l"ensemble D fest symétrique par rapport à "zéro»

2)8x2Dfon a f(x)=f(x)paul milan6 février 2010lma seconde

2.1 Fonction impaire7Exemples :

1) La fonction fdéfinie parf(x)=xsurRet la fonctiongdéfinie parg(x)=1x surR sont impaire. En eet : f(x)=x=f(x) g(x)=1x=1x =g(x) 2)

La fonction fdéfinie surRparf(x)=x3+2xx

2+1est impaire. En eet :

f(x)=(x)3+2(x)(x)2+1=x3+2xx

2+1=f(x)

3) P arcontre la fonction fdéfinie surRparf(x)=5x3 n"est pas impaire. Montrons le par un contre exemple : f(1)=2 etf(1)=8 doncf(1),f(1) Remarque :La fonction impaire tire son nom par le fait que les polynôme dont les

puissances sont uniquement impaires vérifient cette propriété.Propriété 2La courbeCfd"une fonction impaire f est symétrique par rapport à

l"origine du repère.Tout pointM(x;f(x)) de la courbeCfpossède un point symétrique M

0(x;f(x)=f(x)) sur la courbe.

Remarque :Toute courbe d"une fonction impaire, définie en 0, passe par l"origine.paul milan6 février 2010lma seconde

2.2 Étude de la fonction inverse82.2 Étude de la fonction inverse

Définition 6On appelle fonction inverse, la fonction définie surRpar : f(x)=1x Propriétés :La fonction inverse est une fonction impaire. VariationsSoit deux réels non nulsx1etx2tels quex2>x1. Calculons la quantité : f(x2)f(x1)=1x 21x
1 =x1x2x 1x2 commex2>x1alors le numérateur est négatif six2>x1>0 ou six1