[PDF] Fonctions réciproques Théorème 1 Si

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Fonctions réciproquesy=f(x)

XY x = g(y)=f (y) -1 x=messagey=message codécodage décodagex=message

B. Aoubiza

IUT Belfort-Montbéliard

Département GTR

6 janvier 2003

Table des matières

11.1Fonctionsréciproques .......................................... 3

11.1.1 Fonction réciproque - Définition................................ 3

11.1.2Fonctionréciproque-Domaineetdomaineimage...................... 4

11.1.3Fonctionréciproque-Déterminationdelafonctionréciproque............... 4

11.1.4Fonctionréciproque-Propriétédecontinuité ........................ 5

11.1.5Fonctionréciproque-Graphe................................. 5

11.1.6Fonctionréciproque-Dérivée................................. 6

11.1.7Fonctionréciproque-unthéorèmed'existence........................ 7

11.2Fonctionstrigonométriquesréciproques................................. 7

11.2.1 Fonction réciproque desin - Définition............................. 7

11.2.2 Fonction réciproque desin - Propriétés ............................ 8

11.2.3 Fonction réciproque desin - Graphe.............................. 8

11.2.4 Fonction réciproque desin - Dérivée.............................. 9

11.2.5 Fonction réciproque decos - Définition ............................ 9

11.2.6 Fonction réciproque decos - Propriétés ............................ 9

11.2.7 Fonction réciproque decos - Graphe.............................. 10

11.2.8 Fonction réciproque decos - Dérivée.............................. 10

11.2.9Relationfondamentale...................................... 11

11.2.10Fonction réciproque detan - Définition ............................ 11

11.2.11Fonction réciproque detan - Propriétés ............................ 11

11.2.12Fonction réciproque detan - Graphe.............................. 12

11.2.13Fonction réciproque detan - Dérivée.............................. 12

11.2.14Fonction réciproque decot - Définition ............................ 13

11.2.15Fonction réciproque decot - Propriétés ............................ 13

11.2.16Fonction réciproque decot - Graphe.............................. 14

11.2.17Fonction réciproque decot - Dérivée.............................. 14

11.2.18Fonctionstrigonométriquesréciproques - Résumé....................... 14

11.3 Fonctions exponentielles de base................................... 15

11.3.1 Fonctions exponentielles de base - Propréités........................ 15

11.3.2 Fonctions exponentielles de base - Graphe.......................... 15

11.4 Fonction exponentielle de base.................................... 16

11.4.1 Fonction exponentielle - Définition............................... 16

11.4.2Fonctionexponentielle - Propriétésetlimitesusuelles .................... 17

11.4.3Fonctionexponentielle - Graphe ................................ 17

11.4.4Fonctionexponentielle - Dérivée ................................ 18

11.4.5Fonctionexponentielle - Dérivéedelacomposée ....................... 18

11.5Fonctionshyperboliques......................................... 19

11.5.1 Fonctions hyperboliques - Définitions ............................. 19

11.5.2 Fonctions hyperboliques - Fonctioncosh............................ 19

11.5.3 Fonctions hyperboliques - Fonctionsinh............................ 20

11.5.4Fonctionshyperboliques - Relationfondamentale....................... 20

11.6Fonctionshyperboliquesréciproques .................................. 20

11.6.1 Fonction réciproque decosh - Définition............................ 20

11.6.2 Fonction réciproque decosh - Propriétés............................ 21

11.6.3 Fonction réciproque decosh - Graphe ............................. 21

1

11.6.4 Fonction réciproque decosh - Dérivée............................. 21

11.6.5 Fonction réciproque desinh - Définition............................ 21

11.6.6 Fonction réciproque desinh - Propriétés............................ 22

11.6.7 Fonction réciproque desinh - Graphe ............................. 22

11.6.8 Fonction réciproque desinh - Dérivée ............................. 22

11.7 Fonction logarithme........................................... 23

11.7.1 Fonction logarithme - Définition ................................ 23

11.7.2 Fonction logarithme - Graphe.................................. 23

11.7.3 Fonction logarithme - Propriétés . ............................... 23

11.7.4 Fonction logarithme - Dérivée . . ............................... 25

11.7.5 Fonction logarithme - Dérivéeln(())............................ 25

11.8 Fonctions logarithme de base(0)................................. 27

11.8.1 Fonctions logarithme de base - Définition.......................... 27

11.8.2 Fonctions logarithme de base - Propriétés.......................... 27

11.8.3 Fonctions logarithme de base - Changementdebase.................... 27

11.8.4 Fonctions logarithme de base - Dérivation.......................... 28

11.9 Fonctions exponentielles de base................................... 28

11.9.1 Fonctions exponentielles de base - Nouvelleformulation.................. 28

11.9.2 Fonctions exponentielles de base - Dérivation........................ 28

11.10Fonctionspuissances........................................... 28

11.10.1Fonctions puissances - Définition................................ 28

11.10.2Fonctionspuissances - Dérivée ................................. 29

11.10.3Fonctionspuissances - Graphes................................. 29

11.11Comparaisondescroissances....................................... 29

2

11.1 Fonctions réciproques

11.1.1 Fonction réciproque - Définition

Il arrive souvent que, pour une fonction donnée, on a besoin (si c'est possible) d'une autre fonctiontelle

que : yfgxx Dèfinition 1(Fonctions réciproque)Siest une application dedansetest une application de danstelles que - (()) =pour tout - (()) =pour tout on dit queest la fonctionréciproquede,etqueest la fonctionréciproquede.

Notation 1La fonction réciproque dese note

1 y=f x()

XYx = g yf y() = ()

-1 xy Exemple 1Soientetles deux fonctions définies par :[0+[[0+[ 7 2 et:[0+[[0+[ 7 Ces deux fonctions vérifient les relations suivantes : 2 =pour tout[0+[ 2 2 =pour tout[0+[ Doncest la fonctionréciproquede,etest la fonctionréciproquede.

Dèfinition 2(Fonction Bijective)une fonctionestbijectivesur un domaine (intervalle) si chaque fois

que( 1 2 ),alors 1 2 Remarque 1Rappelons que toute fonction bijective admet une fonction réciproque.

Exemple 2Montrer que la fonction()=

3 est bijective.

Solution :Montrons que si(

1 2 )alors 1 2

Soient

1 et 2 deux réels quelconques tels que( 1 2 ).Ona 31
32
et donc 31
32
=0 or 31
32
1 2 21
1 2 22
)=0 Le produit est nul si l'un des facteurs est nul. On déduit donc que 1 2 car 21
1 2 22
ne peut pas être nul dansR. (dire pourquoi?)

Exemple 3La fonction()=

2 définie pour tout réel, n'est pas bijective car(1) =(1)mais16=1. 3

Test de la droite horizontale

Une fonctionestbijectivesi et seulement si toute droite horizontale ne peut rencontrer qu'au plus en un point.

Fonction bijective

Même image pour 2 valeurs

différentes x 2 x 11 f( )x 2 f( ) x 11

Fonction non bijective

11.1.2 Fonction réciproque - Domaine et domaine image

On déduit facilement les relations suivantes entre ledomaine imageet ledomainede définition : domaine de 1 =domaine image de domaine image de 1 =domaine de

11.1.3 Fonction réciproque - Détermination de la fonction réciproque

Pour déterminer la fonction réciproque de=():

1. Résoudre l'équation=()où l'inconnue est, on obtient alors=().

2. Remplacerparetpardans l'expression=()pour obtenir

1

Exemple 4Soit()=

2 pour0. Déterminer sa fonction réciproque.

Solution: On résout l'équation

2 0 où l'inconnue est,onobtient 0

Maintenant on remplaceparetparon obtient

0

Ainsi, la fonction réciproque

1 ()de()= 2 ,pour0, est la fonction racine carrée : 1 Point de vue graphique. Si on regarde le graphe de= 2 ,pourtouton voit que cette fonction ne peut pas avoir de réciproque pour tout. 02468
-4 -2 2 4 x 2 Noter que la droite horizontale=4coupe la courbe de= 2 en deux points. Ce qui signifiequelafonction n'est pas bijective et donc elle n'admet pas de fonction réciproque. 4

11.1.4 Fonction réciproque - Propriété de continuité

Théorème 1Siest une fonction bijective continue sur un intervalle, alors sa fonction réciproque

1 est aussi continue.

11.1.5 Fonction réciproque - Graphe

Théorème 2Les courbes des fonctionset de sa réciproque 1 sont symétriques par rapport à la droite Preuve.Lapentededroitepassantparlespointes()et()est donnée par e=1 Ce qui signifie que cette droite est orthogonale à la droite=de pente1En utilisant des arguments géométriques :(\)=(\)est donc les trianglesetsont "semblables", on déduit que y=f x()() b,a x ()a,b y=fx -1 y y=x B O A C Ce qui signifiequeest le symétrique depar rapport à la première bissectrice=.

Exemple 5Lesgraphesdesfonctions

2 ,,et. y=x y y=x 2 y=x x

Courbes de

2 ,,et Exemple 6Déterminer la fonction réciproque de=4+1et tracer son graphe. Solution :Résolvons l'équation=4+1où l'inconnue est: =4+1 =(1)4=1 414

Maintenant on remplaceparetparon obtient

=1 414

Ainsi,

1 1 4 1 4 . Les courbes deet de 1 sont symétriques par rapport à= 5 xy= x+ 41
y y=x y= x- 1414
Exemple 7Déterminer la fonction réciproque de()= 2 pour0et tracer sa courbe. Solution :Résolvons l'équation où l'inconnue est 2 0 on obtient 0

Maintenant on remplaceparetparon obtient

0

Ainsi,

1 ()==pour0. Les courbes deet de 1 sont symétriques par rapport à= y=x x y=x 2 y=xy

Courbes de

2 ,et

11.1.6 Fonction réciproque - Dérivée

Notons que siest bijective, alors elle admet une fonction réciproque 1 . Ces deux fonctions vérifient la relation suivante : 1 ()) =et 1 Ainsi, en dérivant des deux côtés, on obtient 1 0 =1 et en utilisant la relation de la dérivation des fonctions composées : 0 0 0 on déduit que 1 0 0 1 1 0 ()=1 d'où 1 0 ()=1 0 1 6 Exemple 8Déterminer la dérivée de la fonction réciproque de()= 3 Solution :La fonction réciproque est donnée par 1 13

Sachant que

0 ()=3 2 et que( 1 0 1 0 1 , on déduit que g{i 1 ()=1 0 1 ())=1 3( 1 2 =1 3( 13 2 =1 3 23

11.1.7 Fonction réciproque - un théorème d'existence

Rappelons le théorème suivant qui est très utile pour établir l'existence de la réciproque de certaines fonctions.

Théorème 3Siest une fonction

-continuesur un intervalle; -strictement monotonesur un intervalle.

Alorsadmet une fonction réciproque

1 continue.

Remarque 2D'après le théorème ci-dessus,

1. si une fonctionest continue et strictement croissante sur, alors elle admet une fonction réciproque

1

2. si une fonctionest continue et strictement décroissante sur, alors elle admet une fonction réciproque

1

11.2 Fonctions trigonométriques réciproques

Notons tout de suite que les fonctions trigonométriques ne sont pas injectives surR.Afin de déterminer

leurs fonctions réciproques, on part d'intervalles, les plus grands possibles, sur les quels elles sont strictement

monotones.

11.2.1 Fonction réciproque desin - Définition

Un examen rapide du graphe desinmontre que le plus grand intervalle sur lequel la fonction est bijective

est de longueuret l'un de ces intervalle est[ 22].
-1 0 1 x y 2 2 =sin En eet,sinest bijective sur un nombre infini de tels intervalles :· 3

22¸

Pourquoisinest bijective sur£

2 2

La restriction de la fonctionsinà£

2 2

Par conséquent elle admet une fonction réciproque qu'on appellearcsinuset qu'on notearcsin,ainsi:

2 2 sin arcsin [11] =arcsin [11]½=sin 2 2 7

11.2.2 Fonction réciproque desin - Propriétés

On a donc les propriétés fondamentale de cette nouvelle fonction :

1.Ledomainededéfinition dearcsinest[11];

2. Le domaine image dearcsinest£

2 2

3.sin(arcsin)=pour tout[11];

4.arcsin(sin)=pour toutR(pourquoi?).

Remarque 3Cette nouvelle fonction est une fonction comme d'autre. Rappelez-vous la fonction racine carrée

son domaine est[0+[son domaine image est[0+[.

Exemple 9Calculerarcsinµ

sinµ3 Solution :On est tenté de dire que la réponse est3

4ce qui est faut car34[22]. Ainsi, on a besoin de

trouver un nombredans[22]tel quesin=sin(34). Comment trouver?(Méthode 1)Onnotequesinvérifielarelationdesymétriegraphique sin

2+´

=sin³2´ par suite on asin(34) = sin³

2+4´

=sin³24´ =sin³4´quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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