[PDF] Fonctions usuelles partie 2. Fonctions circulaires inverses

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Fonctions usuellesExo7

ter à notre catalogue de nouvelles fonctions : ch,sh,th,arccos,arcsin,arctan,argch,argsh,argth.

Ces fonctions apparaissent naturellement dans la résolution de problèmes simples, en particulier

issus de la physique. Par exemple lorsqu"un fil est suspendu entre deux poteaux (ou un collier tenu

entre deux mains) alors la courbe dessinée est unechaînettedont l"équation fait intervenir le

cosinus hyperbolique et un paramètrea(qui dépend de la longueur du fil et de l"écartement des

poteaux) : yAEach³xa

´1.Logarithme et exponentielle

1.1.

Logarithme Proposition 1

Il existe une unique fonction, notée ln:]0,Å1[!Rtelle que : ln

0(x)AE1x

(pour toutxÈ0) et ln(1)AE0. De plus cette fonction vérifie (pour touta,bÈ0) : 1. ln( a£b)AElnaÅlnb, 2. ln( 1a )AE¡lna, 3. ln( an)AEnlna, (pour toutn2N) 4. ln est une fonction continue, strictement croissante et définit une bijection de ]0,Å1[ surR,1 2 5. lim x!0ln(1Åx)x AE1, 6. la fonction ln est conca veet ln xÉx¡1 (pour toutxÈ0).xy lnxe1 10

Remarque

lnxs"appelle lelogarithme naturelou aussilogarithme néperien. Il est caractérisé par ln(e)AE1. On définit lelogarithme en baseapar log a(x)AEln(x)ln(a)

De sorte que log

a(a)AE1. PouraAE10 on obtient lelogarithme décimallog10qui vérifielog10(10)AE1 (et donc log10(10n)AEn). Dans la pratique on utilise l"équivalence :xAE10y()yAElog10(x)En informatique intervient aussi le logarithme en base 2 : log2(2n)AEn.Démonstration L"existence et l"unicité viennent de la théorie de l"intégrale : ln(x)AERx 11t dt. Passons aux propriétés. 1. Posonsf(x)AEln(xy)¡ln(x) oùyÈ0 est fixé. Alorsf0(x)AEyln0(xy)¡ln0(x)AEyxy

¡1x

AE0. Donc

x7!f(x) a une dérivée nulle, donc est constante et vautf(1)AEln(y)¡ln(1)AEln(y). Doncln(xy)¡

ln(x)AEln(y). 2.

D"une part ln( a£1a

)AElnaÅln1a , mais d"autre part ln(a£1a )AEln(1)AE0. Donc lnaÅln1a AE0. 3.

Similaire ou récurrence .

4. ln est dérivable donc continue,ln0(x)AE1x È0 donc la fonction est strictement croissante. Comme ln(2)Èln(1)AE0 alorsln(2n)AEnln(2)!Å1(lorsquen!Å1). Donclimx!Å1lnxAEÅ1. DelnxAE

¡ln1x

on déduitlimx!0lnxAE ¡1. Par le théorème sur les fonctions continues et strictement croissantes, ln:]0,Å1[!Rest une bijection. 5. lim x!0ln(1Åx)x est la dérivée de ln au pointx0AE1, donc cette limite existe et vaut ln0(1)AE1. 6. ln 0 (x)AE1xest décroissante, donc la fonctionlnest concave. Posonsf(x)AEx¡1¡lnx;f0(x)AE1¡1x.

Par une étude de fonctionfatteint son maximum enx0AE1. Doncf(x)Êf(1)AE0. DonclnxÉx¡1.1.2.Exponentielle

3

Définition 1La bijection réciproque deln:]0,Å1[!Rs"appelle la fonctionexponentielle, notéeexp:R!

]0,Å1[.xyexpxe 1 10

Pourx2Ron note aussiexpour expx.Proposition 2

La fonction exponentielle vérifie les propriétés suivantes : exp(lnx)AExpour toutxÈ0et ln(expx)AExpour toutx2R-exp(aÅb)AEexp(a)£exp(b) -exp(nx)AE(expx)n -exp :R!]0,Å1[ est une fonction continue,strictement croissante vérifiantlimx!¡1expxAE

0 et lim

x!Å1expAEÅ1. La fonction exponentielle est dérivable etexp0xAEexpx, pour toutx2R. Elle est convexe et expxÊ1ÅxRemarque La fonction exponentielle est l"unique fonction qui vérifieexp0(x)AEexp(x) (pour toutx2R) et exp(1)AEe. Oùe'2,718...est le nombre qui vérifie lneAE1.Démonstration Ce sont les propriétés du logarithme retranscrites pour sa bijection réciproque.

Par exemple pour la dérivée : on part de l"égalitéln(expx)AExque l"on dérive. Cela donneexp0(x)£

ln

0(expx)AE1 donc exp0(x)£1expxAE1 et ainsi exp0(x)AEexpx.1.3.Puissance et comparaison

Par définition, pouraÈ0 etb2R,

a bAEexp¡blna¢ 4

Remarque

paAEa12

AEexp¡12

lna¢ npaAEa1n

AEexp¡1n

lna¢(laracinen-ièmedea) -On note aussi expxparexce qui se justifie par le calcul :exAEexp¡xlne¢AEexp(x). -Les fonctionsx7!axs"appellent aussi des fonctions exponentielles et se ramènent sys- tématiquement à la fonction exponentielle classique par l"égalitéaxAEexp(xlna). Il ne

faut surtout pas les confondre avec les fonctions puissancesx7!xa.Comparons les fonctions lnx, expxavecx:Proposition 3

lim x!Å1lnxx

AE0 et limx!Å1expxx

AEÅ1.xyx

a(aÈ1)x a(aÇ1)expxlnxx 1 10

Démonstration

1. On a vu ln xÉx¡1 (pour toutxÈ0). Donc lnxÉxdonclnpxpx

É1. Cela donne

0Élnxx

AEln³px

2´x

AE2lnpx

x

AE2lnpxpx

1px

É2px

Cette double inégalité entraîne lim

x!Å1lnxx AE0. 2. On a vu exp xÊ1Åx(pour toutx2R). Donc expx!Å1(lorsquex!Å1). xexpxAEln(expx)expxAElnuu lorsquex! Å1alorsuAEexpx! Å1et donc par le premier pointlnuu !0. Doncxexpx!0 et reste positive, ainsi limx!Å1expxx

AEÅ1.

5

Mini-exercices

1. Montrer que ln(1 Åex)AExÅln(1Åe¡x), pour toutx2R.

2.Étudier la fonctionf(x)AEln(x2Å1)¡ln(x)¡1. Tracer son graphe. Résoudre l"équation

(f(x)AE0). Idem avecg(x)AE1Ålnxx . Idem avech(x)AExx. 3.

Expliquer comment log

10permet de calculer le nombre de chiffres d"un entiern.

4.

Montrerln(1Åx)Êx¡x22pourxÊ0 (faire une étude de fonction). Idem avecexÊ1ÅxÅx22

pour toutxÊ0. 5. Calculer la limite de la suite définie parunAE¡1Å1n nlorsquen! Å1. Idem avec vnAE¡1n netwnAEn1n .2.F onctionscirculaires inverses 2.1.

Arccosinus

Considérons la fonction cosinuscos:R![¡1,1],x7!cosx. Pour obtenir une bijection à partir de

cette fonction, il faut considérer la restriction de cosinus à l"intervalle [0,¼]. Sur cet intervalle la

fonction cosinus est continue et strictement décroissante, donc la restriction cos j:[0,¼]![¡1,1] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonctionarccosinus: arccos:[¡1,1]![0,¼]xy cosx0¼¼2¡¼¡

¼2Å1¡1xy

arccosx01¡1¼ ¼2 On a donc, par définition de la bijection réciproque : cos

¡arccos(x)¢AEx8x2[¡1,1]

arccos¡cos(x)¢AEx8x2[0,¼]Autrement dit : Six2[0,¼] cos(x)AEy()xAEarccosyTerminons avec la dérivée de arccos : arccos

0(x)AE¡1p1¡x28x2]¡1,1[

6

Démonstration

On démarre de l"égalité cos(arccosx)AExque l"on dérive : cos(arccosx)AEx

AE) ¡arccos0(x)£sin(arccosx)AE1

AE)arccos0(x)AE¡1sin(arccosx)

yAEarccosxon obtientcos2(arccosx)Åsin2(arccosx)AE1 doncx2Åsin2(arccosx)AE1. On en déduit : sin(arccosx)AEÅp1¡x2(avec le signeÅcar arccosx2[0,¼]).2.2.Arcsinus

La restriction

sin j:[¡¼2 ,ż2 ]![¡1,1] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonctionarcsinus: arcsin:[¡1,1]![¡¼2 ,ż2 ]xysinx0¼¼2¡¼¡

¼2Å1¡1xy

arcsinx01¡1¼2 ¼2 sin

¡arcsin(x)¢AEx8x2[¡1,1]

arcsin¡sin(x)¢AEx8x2[¡¼2 ,ż2 ]Six2[¡¼2 ,ż2 ] sin(x)AEy()xAEarcsinyarcsin

La restriction

tan j:]¡¼2 ,ż2 [!R 7 est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonctionarctangente: arctan:R!]¡¼2 ,ż2 [xytanx¼2¡

¼23¼2¼¡¼xy

arctanx0¼2 ¼2 tan

¡arctan(x)¢AEx8x2R

arctan¡tan(x)¢AEx8x2]¡¼2 ,ż2 [Six2]¡¼2 ,ż2 [ tan(x)AEy()xAEarctanyarctan

0(x)AE11Åx28x2RMini-exercices

1.Calculer les valeurs dearccosetarcsinen 0, 1,12,

p2 2 p3 2 . Idem pourarctanen 0, 1,p3 et 1p3 2. Calculerarccos(cos7¼3). Idem avecarcsin(sin7¼3) etarctan(tan7¼3) (attention aux inter- valles!) 3. Calculer cos(arcta nx), cos(arcsinx), tan(arcsinx). 4. Calculer la dérivée def(x)AEarctan³xp1¡x2´. En déduire quef(x)AEarcsinx, pour tout x2]¡1,1[. 5.

Montrer que arccos xÅarcsinxAE¼2

, pour toutx2[¡1,1]. 8 3.

F onctionshyperboliques et hyperboliques inverses

3.1.

Cosinus hyperbolique et son inverse

Pourx2R, lecosinus hyperboliqueest :

chxAEexÅe¡x2La restrictionchj:[0,Å1[![1,Å1[ est une bijection. Sa bijection réciproque estargch:[1,Å1[!

[0,Å1[.xychxshx1 10 xy argchxargshx1 10 3.2.

Sinus hyperbolique et son inverse

Pourx2R, lesinus hyperboliqueest :

shxAEex¡e¡x2 sh :R!Rest une fonction continue, dérivable, strictement croissante vérifiantlimx!¡1shxAE¡1 et lim x!Å1shxAEÅ1, c"est donc une bijection. Sa bijection réciproque est argsh:R!R.Proposition 4 -ch2x¡sh2xAE1. -ch0xAEshx, sh0xAEchx. -argsh:R!Rest strictement croissante et continue. -argsh est dérivable et argsh0xAE1px

2Å1.

-argshxAEln¡xÅpx

2Å1¢.

9

Démonstration

-ch2x¡sh2xAE14 ddx (chx)AEddx exÅe¡x2

AEex¡e¡x2

AEshx. Idem pour la dérivée de shx.

-Car c"est la réciproque de sh. -Comme la fonctionx7!sh0xne s"annule pas surRalors la fonctionargshest dérivable surR. On calcule la dérivée par dérivation de l"égalité sh(argshx)AEx: argsh

0xAE1ch(argshx)AE1q

sh

2(argshx)Å1AE1px

2Å1

-Notonsf(x)AEln¡xÅpx

2Å1¢alors

f

0(x)AE1Åxpx

2Å1xÅpx

2Å1AE1px

2Å1AEargsh0x

Comme de plusf(0)AEln(1)AE0 etargsh0AE0 (carsh0AE0), on en déduit que pour toutx2R, f(x)AEargshx.3.3.T angentehyperbolique et son inverse

Par définition latangente hyperboliqueest :

thxAEshxchxLa fonction th:R!]¡1,1[ est une bijection, on note argth:]¡1,1[!Rsa bijection réciproque.xy

thx1

¡10xyargthx1¡10

3.4.

T rigonométriehyperbolique

ch

2x¡sh2xAE1

10 ch(aÅb)AEcha¢chbÅsha¢shb ch(2a)AEch2aÅsh2aAE2 ch2a¡1AE1Å2 sh2a sh(aÅb)AEsha¢chbÅshb¢cha sh(2a)AE2 sha¢cha th(aÅb)AEthaÅthb1Åtha¢thb ch

0xAEshx

sh

0xAEchx

th

0xAE1¡th2xAE1ch

2x argch

0xAE1px

2¡1(xÈ1)

argsh

0xAE1px

2Å1

argth

0xAE11¡x2(jxjÇ1)

argchxAEln¡xÅpx

2¡1¢(xÊ1)

argshxAEln¡xÅpx

2Å1¢(x2R)

argthxAE12 (¡1ÇxÇ1)Mini-exercices

1.Dessiner les courbes paramétréest7!(cost,sint) ett7!(cht,sht). Pourquoicosetsin

s"appellent des fonctions trigonométriquescirculairesalors quechetshsont des fonc- tions trigonométriqueshyperboliques? 2. Prouver par le calcul la formulech(aÅb)AE...En utilisant quecosxAEeixÅe¡ix2retrouver la formule pour cos(aÅb). 3.

Résoudre l"équation sh xAE3.

4.

Montrer que

sh(2x)1Åch(2x)AEthx. 5. Calculer les dérivées des fonctions définies par :th(1Åx2),ln(chx),argch(expx), argth(cosx). 11

Auteurs

Arnaud Bodin, Niels Borne, Laura Desideri

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