[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7





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Exercices de mathématiques - Exo7

Soit l? l'espace des suites réelles muni avec la norme uniforme i.e. x? = supn



Exercices de mathématiques - Exo7

Etudier la convergence simple et uniforme de la série de terme général fn puis la continuité de la somme f. 2. Montrer que limt?+?f(t) = ln(2.



Cours de mathématiques - Exo7

Le point-clé des démonstrations sera la continuité uniforme. Nous appliquons ces méthodes à la transformation de Laplace et à celle de Fourier. Ne vous lancez 



Cours de mathématiques - Exo7

Montrons que f (c) = y. Page 15. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES. 4. CONTINUITÉ SUR UN INTERVALLE. 15.



Analyse Complexe 2005-2006

33.2 Théorème de convergence uniforme de Weierstrass . Le joli argument permettant de se dispenser de l'hypothèse de continuité.





Exercices de mathématiques - Exo7

f est donc constante sur ]0+?[



Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que toute fonction de C(X ×YR) est limite uniforme de suites par l'uniforme continuité de k





Exercices de mathématiques - Exo7

167 222.01 Convergence simple uniforme



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Cours de mathématiques. Première année. Exo7 Voici la définition mathématique de la continuité d'une fonction ... uniforme sur l'intervalle.



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Exercice 14 Soit l? l'espace des suites réelles muni avec la norme uniforme i e x? =supn xn On considére l'application A : l? ? l? définie par A(x1 



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Continuité (étude globale) Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur www maths-france



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Etudier la convergence simple et uniforme de la série de terme général fn puis la continuité de la somme f 2 Montrer que limt?+?f(t) = ln(2



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Montrer que (un) admet une limite l ? lorsque n ? +? À l'aide de la fonction f (x) = x calculer cette limite 4 Continuité sur un intervalle



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306 422 00 Continuité uniforme continuité 1320 307 423 00 Application linéaire bornée 1329 308 424 00 Espace vectoriel normé



[PDF] Théorème dAscoli - Exo7 - Exercices de mathématiques

Écrivons cette continuité uniforme dans le cas particulier où les secondes coordonnées sont égales : ?? > 0 ?? > 0 ?xyt ? [ab] x?y



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Est-ce un espace complet si on le muni de la norme uniforme ?? donc par continuité de fn on a fn(x) ? k ceci étant vrai pour tout n on a x ? F? 



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Continuité sur un intervalle Voici la définition mathématique de la continuité d'une fonction uniforme sur l'intervalle



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La fonction est définie sur R? t elle est continue sur R? Il faut déterminer un éventuel prolongement par continuité en x = 0 c'est-à-dire savoir si f a une 



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(Théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre) Soient ? un espace métrique a et b deux nombres réels tels que a < b et f : [ab]×? ? R 

:

Enoncés : M. Quéffelec, V. Mayer

Corrections : A. BodinExo7

Continuité

Applications continues

Exercice 1SoitXun espace topologique etf:X!R.

1. Montrer que fest continue si et seulement si pour toutl2R, les ensemblesfx;f(x) lgsont des ouverts deX. 2. Montrer que si fest continue, pour toutwouvert deR,f1(w)est unFsouvert deX(Fs= réunion dénombrable de fermés). 1. Soit Cl"espace des fonctions continues réelles sur[0;1]muni de la métriqued1(f;g) =R1

0jfgjdx,

puis de la métriqued¥(f;g) =supxjf(x)g(x)j. Vérifier que l"applicationf!R1

0jfjdxdeCdansR

est 1-lipschitzienne dans les deux cas. 2.

Soit cl"espace des suites réelles convergentes, muni de la métriqued(x;y) =supnjx(n)y(n)j. Si on

désigne par`(x)la limite de la suitex, montrer que`est une application continue decdansR. En déduire

quec0est fermé dansc.

Soitf;gdeux applications continues deXdansY, espaces topologiques,Yétant séparé. Montrer queff=gg

est fermé dansX; en déduire que sifetgcoïncident sur une partie dense deX, alorsf=g.

Une application deXdansYest diteouvertesi l"image de tout ouvert deXest un ouvert deY;ferméesi l"image

de tout fermé deXest un fermé deY. 1. Montrer qu"une fonction polynomiale de RdansRest une application fermée. 2.

Montrer que l"application (x;y)2XY!x2Xest ouverte mais pas nécessairement fermée (considérer

l"hyperbole équilatère deR2). 3. Montrer quelafonctionindicatricedel"intervalle[0;12 ], commeapplicationdeRdansf0;1g, estsurjective, ouverte, fermée, mais pas continue. 4. Montrer que toute application ouv ertede RdansRet continue est monotone. 1 1. Montrer que fest continue si et seulement sif(A)f(A)pour toutAdansX. Que peut-on dire alors de l"image parfd"un ensemble dense dansX? 2. Montrer que fest fermée si et seulement sif(A)f(A), et quefest ouverte si et seulement si f(A)f(A).

Exercice 61.Soit fune fonction réelle continue sur[0;1]; montrer quefest "presque lipschitzienne" au sens :

8e>09Ce;8x;y2[0;1]jf(x)f(y)j6Cejxyj+e:

2. Montrer qu"une fonction funiformément continue deRdansRvérifie pour toutx2R,jf(x)j6ajxj+b oùaetbsont des constantes.

Soitfune fonction continue de]0;1[dansR. Montrer que, sifest uniformément continue, elle est bornée.

Soitfune fonction uniformément continue surRtelle queR¥

0f(t)dtconverge. Montrer queftend vers 0

quandx!+¥. Retrouver ainsi le fait que la fonction sin(x2)n"est pas uniformément continue.

Exercice 9SoientE1;E2etFdes espaces normés surRet soitB:E1E2!Fune application bilinéaire. Montrer queB

est continue si et seulement s"il existeM>0 tel que kB(x)k6Mkx1kkx2kpour toutx= (x1;x2)2E1E2:

SoientEetFdeux espaces normés etL:E!Fune application linéaire vérifiant:(L(xn))nest bornée dans F

pour toute suite(xn)nde E tendant vers02E.Montrer queLest continue.

Exercice 11

SoientEetFdeux espaces normés réels etf:E!Fune application bornée sur la boule unité deEet vérifiant

f(x+y) =f(x)+f(y)pour toutx;y2E:

Montrer quefest linéaire continue.

Calculer la norme des opérateurs suivants:

Le shift sur l¥défini parS(x)n+1=xn,S(x)0=0. •X=C([0;1])muni de la normek:k¥etT f(x) =f(x)g(x)oùg2X. Calculer la norme des formes linéaires suivantes: •X=C([0;1])muni de la normek:k¥etu(f) =R1

0f(x)g(x)dxoùg2Xest une fonction qui ne s"annule

qu"enx=1=2. •X=l2etu(x) =åanxnoù(an)est dansX. •X=l1etu(x) =åanxnoù(an)est dansl¥. •Xl"espace des suites convergentes muni de la norme sup etu:X!Rl"applicationu(x) =limj!¥xj. SoitX=R[x]l"ensembledespolynômes. PourP(x)=åp akxk etV(P)(x) =ånk=1kakxk. 1. Montrer que k:kdéfinit une norme et queUetVdéfinissent des applications linéaires deXdansX. 2.

Examiner si UetVsont continues?

Soitl¥l"espacedessuitesréellesmuniaveclanormeuniforme, i.e.kxk¥=supnjxnj. Onconsidérel"application

A:l¥!l¥définie par

A(x1;x2;:::;xn;:::) = (x1;x2=2;:::;xn=n;:::):

Montrer que :

1.Aest injective et continue aveckAk=1. Par contre,An"est pas surjective.

2.Aadmet un inverse à gauche mais qu"il n"est pas continu.

SoitXun espace normé,L:X!Rune forme linéaire non nulle etH=L1(f0g)son noyau. 1. Montrer que, si Lest continue, alorsHest un sous-espace fermé dansX. Établir la relation dist(a;H) =jL(a)jkLkpour touta2X: 3

2.Réciproquement, supposons que le no yauHest un fermé. Démontrer alors que dist(a;H)>0 dès que

a2XnHet en déduire queLest continue de norme au plusjL(a)j=dist(a;H). 3. Peut-on généraliser ceci a des applications linéaires entre espaces normés?

SoitX=C([0;1])avec la normekfk=R1

0jf(t)jdt. Montrer que la forme linéairef2X7!f(0)2Rn"est pas

continue. Que peut-on en déduire pour le sous-espace des fonctions deXnulles en 0? SoitX=ff2C(R);(1+x2)jf(x)jsoit bornéeg. On poseN(f) =supx2R(1+x2)jf(x)j. Vérifier queNest une norme, puis montrer que la forme linéaire suivanteLest continue et calculer sa norme:

L:X!Rdéfinie parL(f) =Z

R f(x)dx:

Indication pourl"exer cice1 N1.Utiliser le f aitque tout ouv ertde Rest l"union dénombrable d"intervalles ouverts.

2.

Écrire unintervallefermécommeuniondénombrabled"intervallesouverts,puis utiliserlamêmeremarque

que ci-dessus.Indication pourl"exer cice2 N1.:::. 2.

Pour montrer que c0est fermé, l"écrire comme image réciproque de quelque chose.Indication pourl"exer cice3 NMontrer que le complémentaire est un ouvert. Si vous le souhaitez, placez-vous dans des espaces métriques.

Indication pour

l"exer cice

4 N1.Pour un polynôme P, la limite deP(x)ne vaut¥que lorsquextend vers¥.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour lesensdirectutiliserlacaractérisationdel"adhérenceparlessuites.Pour lesensréciproque,montrer

que l"image réciproque d"un fermé est un fermé.Indication pourl"exer cice8 N1.P arl"absurde, considérer I(x) =Rx

0f. Trouver une suite(pn)telle que(I(pn))ne soit pas une suite de

Cauchy.

2. Pour montrer que cette intégrale con vergeutiliser le changement de v ariableu=t2puis faire une

intégration par partie.Indication pourl"exer cice9 NSi la relation est vérifiée montrer queBest continue enxen calculantB(x+y)B(x). SiBest continue alors

en particulierBest continue en(0;0), fixer leede cette continuité,...Indication pourl"exer cice10 NLa continuité deLsurEéquivaut la continuité en 0. Par l"absurde supposer queLn"est pas continue en 0 et

construire une suite(xn)qui tend vers 0 mais avec(L(xn))non bornée.Indication pourl"exer cice11 NIl faut montrerf(lx) =lf(x)pourl2R. Le faire pourl2N, puisl2Z, puisl2Qet enfinl2R.Indication pourl"exer cice12 N5

1.kSk=1 ;

2.kTk=kgk¥;

3.kuk=R1

0jgj, on distinguera les cas oùgreste de signe constant etgchange de signe ;

4.kuk=kank2;

5.kuk=kak¥;

6.kuk=1.Indication pourl"exer cice13 NUest continue etkUk=1,Vn"est pas continue.Indication pourl"exer cice15 N1.Montrer d"abord que Xse décompose sous la formeH+R:a.

2. 3.

Non ! Chercher un contre-e xempledans les e xercicesprécédents. Indication pourl"exer cice17 NMontrer quekLk=p.6

Correction del"exer cice1 N1.Sens direct.Si festcontinuealorsfxjf(x) par une application continue de l"intervalle ouvert]¥;l[. De même avec]l;+¥[. Réciproque. Tout d"abord, tout intervalle ouvert]a;b[, (a1(]a;b[) =f1(]¥;b[)\f1(]a;+¥[) est une intersection de deux ouverts donc un ouvert deX. SoitOun ouvert deR, alorsOpeut s"écrire comme l"union dénombrables d"intervalles ouverts : O=[ i2I]ai;bi[: Donc f

1(O) =[

i2If1(]ai;bi[) est une union d"ouvert donc un ouvert deX. 2. Nous le f aisonsd"abord pour un interv alleouv ert]a;b[. ]a;b[=[ j2N[a+1n ;b1n Donc f

1(]a;b[) =[

j2Nf1([a+1j ;b1j

est une union dénombrable de fermés. Maintenant comme pour la première question, tout ouvertOdeR

s"écritO=S i2I]ai;bi[, avecIdénombrable. Donc on peut écrire f

1(O) =[

i2I[ j2Nf1([ai+1j ;bi1j

qui est une union dénombrable de fermés (mais c"est un ouvert !).Correction del"exer cice2 N1.Soit Fl"application définie parF(f) =R1

0jfj:Alors

jF(f)F(g)j=jZ 1

0jfjjgjj6Z

1

0jfgj=d1(f;g)6d¥(f;g):

Donc pour les deux distancesd1etd¥,Fest lipschitzienne de rapport 1. 2. Soit e>0 alors en posanth=eon obtient la continuité : sid(x;y)Correction del"exer cice3 NSoitA=fx2Xjf(x) =g(x)g. Alors soitC=XnA=fx2Xjf(x)6=g(x)g. Soitx2Ccommef(x)6=g(x)

et queYest séparé, il existe un voisinage ouvertV1def(x)etV2deg(x)tel queV1\V2=?. NotonsU= f

1(V1)\g1(V2). AlorsUest un ouvert deXcontenantx. Maintenant pourx02U, alorsf(x0)2V1,g(x0)2V2

doncf(x0)6=g(x0), doncx02C. BilanUest inclus dansC. DoncCest ouvert.

Application : siAest dense dansXalors¯A=X, mais commeAest ferméA=¯A. DoncA=X, c"est-à-direfet

gsont égales partout.Correction del"exer cice4 N1.Soit Pun polynôme, etFun fermé deR. Soit(yn)une suite convergente d"éléments deP(F), ety2R

sa limite. Il existexn2Ftel queyn=P(xn). Comme(yn)est bornée (car convergente) alors(xn)aussi

est bornée, en effet un polynôme n"a une limite infini qu"en¥. Comme(xn)est une suite bornée deR

on peut en extraire une sous-suite convergente(xf(n))de limitex. CommeFest fermé,x2F. CommeP est continue (c"est un polynôme) alorsyf(n)=P(xf(n))!P(x), mais(yf(n))converge aussi versy. Par unicité de la limitey=P(x)2P(F). DoncP(F)est fermé. 2. Soit X=Y=RetH= (xy=1)est un fermé deXY, mais sip(x;y) =xalorsp(H) =Rn"est pas un fermé deX=R. 3.

A vérifier ...Correction del"exer cice5 N1.). Soitfcontinue ety2f(¯A). Il existex2¯Atel quey=f(x). Soitxn2Atel que(xn)converge vers

x. Alorsyn=f(xn)2A. Commefest continue alors(yn)converge versf(x) =y. Doncyest adhérent à f(A). Conclusionf(¯A)f(A). (. Soitf:X!Yet soitFun fermé deY. NotonsA=f1(F). Alorsf(A)Fdonc l"équation f(¯A)f(A)devientf(¯A)¯F=FcarFest fermé. Donc¯Af1(F) =A. Donc¯AA, d"où¯A=A. DoncAest fermé. Bilan l"image réciproque de tout ferméFest un fermé, doncfest continue.

Application : siAest dense, alors¯A=X, et sous les hypothèses précédentes alorsf(A)est dense dans

l"image deXparf: en effetf(A)contientf(¯A) =f(X)

2.). Soitffermé et soitAX. AlorsA¯Adoncf(A)f(¯A), donc comme¯Aest un fermé etfest

fermée alorsf(¯A)est un fermé contenantf(A). Mais commef(A)est le plus petit fermé contenantf(A)

alorsf(A)f(¯A). (. La relation pour un ferméFdonnef(F)f(¯F) =f(F). Doncf(F) =f(F). Doncf(F)est fermé.

Doncfest fermée.

Même type de raisonnement avecfouverte.Correction del"exer cice8 N1.Supposons que fne tende pas vers 0. Soite>0 fixé. Pour toutn>0, il existexn>ntel quejf(xn)j>e.

Sans perte de généralité nous supposonsf(xn)>e. Appliquons l"uniforme continuité : soite0=e2

, Il existehtel que pourjxnyj6hon aitjf(xn)f(y)je2 >0. Doncf est strictement positive sur[xnh;xn+h]. Notons alors(pn)définie parp2n=xnh,p2n+1=xn+h.

SoitI(x) =Rx

0f. AlorsI(p2n+1)I(p2n) =Rxn+h

x nhf(t)dt>e2

2h=eh. Donc la suite(I(pn))n"est pas

de une suite de Cauchy, donc ne converge pas, donc la fonctionx7!I(x)ne converge pas non plus, et doncR¥

0f(t)dtdiverge.

8

2.P arlechangementdevariableu=t2puisuneintégrationparpartie, onmontrequel"intégraleR¥

0sin(t2)dt

converge, mais commef(x) =sin(x2)ne tend pas vers 0 alorsfn"est pas uniformément continue surR.Correction del"exer cice9 NPourx= (x1;x2)2E1E2on définitkxk=max(kx1k;kx2k).

1. Sens (. SoitM>0 tel quekB(x)k6Mkx1kkx2k. Montrons queBen continue au pointx=(x1;x2)fixé.

Soity= (y1;y2)alors

B(x+y)B(x) =B(x1+y1;x2+y2)B(x1;x2) =B(x1;y2)+B(x2;y1)+B(y1;y2): Donc Pourky1k6eMkx1kon aMkx1kky2k6e(six1=0 il n"y a rien à choisir ici). Pourky2k6eMkx2kon aMkx2kky1k6e(six2=0 il n"y a rien à choisir ici). Enfin pourky1k6qe M etky2k6qe M on a

Mky1kky2k6e. Doncenprenanth=min(eMkx1k;eMkx2k;qe

M ), onobtientquepourkyk=max(ky1k;ky2k)6 hon akB(x+y)B(x)k63e. Ce qui prouve la continuité. DoncBest continue surE1E2. 2. Sens ). SiBest continue partout, en particulier elle est continue en 0. Je choisise=1, il existeh>0 tel quekxk6halorskB(x)k61. Donc pourkx1k6hetkx2k6hon akB(x1;x2)k61. Soit maintenant y= (y1;y2)2E1E2, (y16=0;y26=0) on a(hy1ky1k;hy2ky2k)de norme6hdoncB(hy1ky1k;hy2ky2k)61 et par bilinéarité cela fournit :B(y1;y2)61h

2ky1kky2k, et ce pour tout(y1;y2). La constante cherchée étant

1h

2.Correction del"exer cice10 NCommeLest linéaire il suffit de montrer queLest continue en 0. Supposons que cela ne soit pas vrai, alors il

faut nier la continuité deLen 0 qui s"écrit :

8e>09h>08x2E(kxk

La négation s"écrit alors :

9e>08h>09x2E(kxke):

Soit donc un tele>0 de la négation, pourhde la formeh=1n , on obtientyntel quekynk<1n etkL(yn)k>e.

On posexn=pny

n, alorskxnk=pnkynk<1pn donc(xn)est une suite deEqui tend vers 0. Par contre

kL(xn)k=pnkL(yn)k>epn, donc la suite(L(xn))n"est pas bornée. Par contraposition nous avons obtenu le

résultat souhaité.Correction del"exer cice11 N1.Si festlinéaireetbornéesurlabouleunitéalorselleestcontinue(voirlecoursourefaireladémonstration).

2.

Il reste à montrer que fest linéaire : on a déjàf(x+y) =f(x)+f(y)pour toutx;yreste donc à prouver

f(lx) =lf(x). Pour toutl2Retx2E. Pour l2Z, c"estunerécurrence,f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x). Puisf(3x)=f(2x+x)= f(2x)+f(x) =2f(x)+f(x) =3f(x)etc. Doncf(nx) =nf(x)pourn2N. De plus 0=f(0) = f(x+(x)) =f(x)+f(x)doncf(x) =f(x). Ensuite on af(nx) =nf(x)pourn2N.

Bilan : pour toutl2Zon af(lx) =lf(x).

9 •Pour l2Q, soitl=pq ,p;q2Z. f(pq x) =pf(1q x) =pq qf(xq ) =pq f(qxq ) =pq f(x): Nous avons utilisé intensivement le premier point. Soit l2Ralors il existe une suite(ln)d"élément deQqui converge versl. Fixonsx2E. f(lx)lf(x) =f(lx)f(lnx)+f(lnx)lf(x) =f((lln)x)+(lnl)f(x): Nous avons utilisé le second point. Soite2Q+. Pournassez grand on ak(lln)xk0 tel quef(1e (l l n)x)6M(quelque soitn). Doncf(lln)x)6Me(eest rationnel donc on peut le "sortir"). De même pournassez grand on a(lnl)f(x)2.kT(f)k¥=kfgk¥6kfk¥kgk¥. Donc pourf6=0,kT(f)k¥kfk¥6kgk¥. De plus eng, on obtientkT(g)k¥kgk¥=

kg2k¥kgk¥=kgk¥. DonckTk=kgk¥. 3.

On a ju(f)j6kfk¥R1

0jg(x)jdxdonckuk6R1

0jg(x)jdx. Signe change pas de signe sur[0;1]alors pourf

la fonction constant égale à 1, on obtientju(f)j=kfk¥R1

0jg(x)jdxdonckuk=R1

0jg(x)jdx. Sigchange

de signe alors il ne le fait qu"une fois et en 12 . Soithnla fonction définie parhn(x) =1 six2[0;12 1n h n(x) =1 six2[12 +1n ;1]ethnest affine sur[12 1n ;12 +1n ]et continue sur[0;1]. Cette fonction est construite de telle sorte que sigest positive puis négative alorshngest une fonction continue qui converge uniformément versjgj:khngjgjk¥!0. Doncju(hn)j=R1

0hnget par la convergence

uniforme alorsju(hn)jconverge versR1

0jgj. Donckuk=R1

0jgj.

4.ju(x)j=jåanxnj6kank2kxnk2(c"est Cauchy-Schwartz) donckuk6kank2. Pour la suitex=aon a

égalité d"oùkuk=kank2.

5.ju(x)j=jåanxnj6åjanxnj6kak¥åjxnj=kak¥kxnk1, donckuk6kak¥. Soitpfixé, soiti(p)un indice

telquejai(p)j=maxj=1;:::;pjajj. Onconstruitunesuitexpdelamanièresuivante:xp=(0;0;:::;0;ai(p);0;0;0:::)

(des zéros partout saufai(p)à la placei(p)). Alorskxpk1=jai(p)jetju(xp)j=a2i(p). Doncju(xp)jkxpk1=jai(p)j.

Lorsqueptend vers+¥,jai(p)j ! kak¥. Donckuk=kak¥.

6.ju(x)j=jlimxnj6kxk¥, donckuk61. Pourx= (1;1;1;:::)on obtient l"égalitékuk=1.Correction del"exer cice13 N1.Il suf fitde l"écrire...

2.

Calculons la norme de U:kU(P)k=supkj1k

akk6supkjakj6kPk. Donc pour toutP,kU(P)kkPk61. Et pourP(x) =xon a égalité donckUk=1. 3. Pour V, prenonsPk(x) =xk, alorskPkk=1, maiskV(Pk)k=k. DoncVn"est pas bornée sur la boule unité doncVn"est pas continue. 10

Correction del"exer cice14 N1.Ainjective : SiA(x1;x2;:::) =A(y1;y2;:::)alors(x1;x2=2;:::;xn=n;:::) = (y1;y2=2;:::;yn=n;:::)donc

x

1=y1,x2=y2,...,xn=yn,... DoncAest injective.

Acontinue :kA(x)k¥=supnx

nn

6supnxn6kxk¥. DonckAk61 doncAest continue.

Norme deA: Pourx= (1;0;0;:::). On akxk¥=1 etkA(x)k¥=1 Donc la norme deAest exactement 1. An"est pas surjective : posonsy= (1;1;1;:::)2l¥. Soitxune suite telle queA(x) =yalorsx= (1;2;3;4;:::). Maiskxk¥= +¥doncx=2l¥. En conséquenceA:l¥!l¥n"est pas surjective. 2.

L "inverseà g auchede AestBdéfinie par

B(x1;x2;:::;xn;:::) = (x1;2x2;:::;nxn;:::)

de sorte que pourx2l¥on aitBA(x) =x. Posons la suitexp= (0;0;:::;0;1;0;0:::)2l¥(des zéros

partout et le 1 à lap-ième place). Alorskxpk¥=1 etkB(xp)k¥=p. DonckB(xp)k¥kxpk¥=k, donc la norme

deBn"est pas finie etBn"est pas continue.Correction del"exer cice15 N1.Si L(a) =0 alorsa2Hdonc dist(a;H) =0 donc la relation est vraie. Supposons queL(a)6=0. Alors on

aX=H+R:a. En effet pourx2X, il existel2Rtel queL(x) =lL(a). DoncL(xla) =0. Posons h=xla, alorsh2Hetx=h+laest la décomposition suivantH+R:a.

SiLest continue alorskLkest finie.

kLk=supquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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