[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

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Intégrales dépen-

dant d"un paramètreTrès souvent, la solution d"une équation différentielle aboutit au calcul d"une primitive :

F(x) =Z

b a

f(x,t)dt.Dans de nombreux cas, il n"y a pas de forme explicite pour cette primitive et il faut donc étudier la fonctionF(x)

telle qu"elle nous est donnée, c"est-à-dire sous la forme d"une intégrale, qui dépend du paramètrex. Dans ce chapitre

nous donnons des conditions afin que cette fonctionF(x)soit continue et dérivable. Le point-clé des démonstrations

sera la continuité uniforme. Nous appliquons ces méthodes à la transformation de Laplace et à celle de Fourier. Ne

vous lancez pas dans ce chapitre sans de solides bases d"analyse : révisez les chapitres sur les limites, la continuité, la

dérivabilité, et l"intégration.

1. Continuité et dérivabilité d"une intégrale dépendant d"un para-

mètre

1.1. Fonction définie par une intégrale

Soitf:(x,t)7!f(x,t)une fonction de deux variables,xett. Nous considéronsxcomme un paramètre ett2[a,b]

comme une variable d"intégration. Cela nous permet de définir

F(x) =Z

b a f(x,t)dt.

Unxétant fixé, pour queF(x)existe, il suffit que l"application partiellet7!f(x,t)soit continue sur[a,b]. Mais ceci

ne garantit pas la continuité de la fonctionF. Nous donnons des conditions suffisantes pour queFsoit continue, puis

dérivable.

1.2. ContinuitéThéorème 1.

SoientIun intervalle deRetJ= [a,b]un intervalle fermé borné. Soitfune fonction continue surIJà valeurs

dansR(ouC). Alors la fonction F définie pour tout x2I par

F(x) =Z

b a f(x,t)dt est continue sur I.Exemple 1. Soit

F(x) =Z

0 sin(x+t)ext2dt, définie pourx2I=R. La fonction(x,t)7!f(x,t) =sin(x+t)ext2est continue surR[0,], donc la fonction x7!F(x)est continue surR.

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE2On calcule queF(0) =R

0sin(t)1dt=

cos (t) 0 =2. Même si on n"a pas de formule pourF(x)en général, on déduit de la continuité queF(x)!F(0) =2 lorsquex!0.

Les démonstrations de cette section utilisent la continuité uniforme, qui fait l"objet de la section suivante.

Démonstration.

Soitx0un point deI. Quitte à restreindre l"intervalle en considérantI\[x0,x0+], on suppose

queIest un intervalle fermé borné. Le théorème de Heine (théorème6 ) s"applique alors à la fonctionfsurIJ:

elle est donc uniformément continue. En particulier, pour tout >0, il existe >0 tel que,pour tout t2J,

jxx0j< =)f(x,t)f(x0,t)6ba.

Dans ce cas,

F(x)F(x0)=

Z b a f(x,t)f(x0,t)dt 6 Z b a f(x,t)f(x0,t)dt

6(ba)ba=.

DoncFest continue enx0.1.3. Dérivabilité

Théorème 2.

Soient I un intervalle deRet J= [a,b]un intervalle fermé borné. On suppose que : (x,t)7!f(x,t)est une fonction continue sur IJ (à valeurs dansRouC), la dérivée partielle(x,t)7!@f@x(x,t)existe et est continue sur IJ. Alors la fonction F définie pour tout x2I par F(x) =Z b a f(x,t)dt est de classeC1sur I et :F

0(x) =Z

b

a@f@x(x,t)dt.On peut retenir l"abréviation mnémotechnique d"interversion dérivée/intégrale :

ddxZ b a =Z b a@@x

Exemple 2.

ÉtudionsF(x) =R1

0dtx

2+t2pourx2]0,+1[. Posonsf(x,t) =1x

2+t2. Alors :

fest continue sur]0,+1[[0,1], @f@x(x,t) =2x(x2+t2)2est continue sur]0,+1[[0,1].

On aura donc

F

0(x) =Z

1

02x(x2+t2)2dt.

Pour cet exemple on peut calculer explicitementF(x):

F(x) =1x

2Z 1

0dt1+tx

2=1x h arctantx i t=1 t=0=1x arctan1x 1x arctan1x =1x

2arctan1x

1x

311+x2.

Ce qui prouveZ

1

02x(x2+t2)2dt=1x

2arctan1x

1x(1+x2).

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE3

Démonstration.Soitx02I. Pour simplifier l"écriture nous supposerons quex0n"est pas une extrémité deI. Nous

devons démontrer que, pour tout >0, il existe >0 tel que, pour toutx2[x0,x0+]etx6=x0:F(x)F(x0)xx0Z

b a@f@x(x0,t)dt 6.

Écrivons :

F(x)F(x0)(xx0)Z

b a@f@x(x0,t)dt Z b f(x,t)f(x0,t)(xx0)@f@x(x0,t)‹ dt 6 Z b a f(x,t)f(x0,t)(xx0)@f@x(x0,t)dt.

Par le théorème des accroissements finis, pour toutt2[a,b], il existex1strictement compris entrex0etxtel que

f(x,t)f(x0,t) = (xx0)@f@x(x1,t).

Fixons >0tel que[x0,x0+]soit inclus dansI: la dérivée partielle@f=@xest uniformément continue sur

[x0,x0+][a,b], d"après le théorème de Heine (théorème6 ). Il existe donc >0tel que, pour toutxvérifiant

jxx0j< et pour tout t2[a,b],@f@x(x,t)@f@x(x0,t)Sijxx0j< , alors toutx1strictement compris entrex0etxest encore tel quejx1x0j< , donc :@f@x(x1,t)@f@x(x0,t) En reportant dans l"expression ci-dessus, on obtient :

6jxx0jba.

Il reste à intégrer par rapport àtentreaetb:F(x)F(x0)(xx0)Z b a@f@x(x0,t)dt 6Z b a jxx0jbadt=jxx0j, d"où le résultat en divisant parjxx0j.Exemple 3.

Calculonsl"intégrale de Gauss:Z

+1 0 et2dt=p 2e t2Posons, pourx2I= [0,+1[:

F(x) =Z

1 0e x2(t2+1)t

2+1dt G(x) =Z

x 0 et2dt 2

H(x) =F(x)+G(x)

1.Étude deF(x).

En posantf(x,t) =ex2(t2+1)t

2+1, on note que :

fest une fonction continue sur[0,+1[[0,1], @f@x(x,t) =2xex2(t2+1)est aussi continue.

Donc, par le théorème

2 ,Fest continue, dérivable et F

0(x) =Z

1

0@f@x(x,t)dt=2Z

1 0 xex2(t2+1)dt=2xex2Z1 0 ex2t2dt.

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE4

2.Étude deG(x).

Gn"est pas à proprement parler une intégrale dépendant d"un paramètre. Si on noteG0(x) =Rx

0et2dt,G0est

simplement une primitive dex7!ex2etG(x) =G0(x)2. CommeG0

0(x) =ex2(la dérivée d"une primitive est la

fonction elle-même), on a : G

0(x) =ddxG0(x)2=2G0

0(x)G0(x) =2ex2Zx

0 et2dt=2xex2Z1 0 ex2u2du

Pour la dernière égalité, on a posé le changement de variablet=xu(et doncdt=xdu,u=txetuvarie de0à1

lorsquetvarie de 0 àx).

3.Étude deH(x).

Par nos calculs précédents, on trouveH0(x) =F0(x)+G0(x) =0, pour toutx2[0,+1[. Cela veut dire que la

fonctionHest une fonction constante. Or

H(0) =F(0)+G(0) =Z

1 01t

2+1dt+0="

arctant— 1 0=4

DoncHest la fonction constante égale à4

4.Limite deH(x)en+1.

Lorsquex!+1, alorsG(x)!€R+1

0et2dtŠ

2.

EtF(x)!0 car

F(x)= Z 1 0e x2(t2+1)t 2+1dt 6Z 1 0 ex2dt=ex2Z1 0

1dt=ex2!0.

DoncH(x) =F(x)+G(x)!€R+1

0et2dtŠ

2.

5.Conclusion.

H

est une fonction constante :H(x) =4, sa limite en+1est donc aussi4. Mais on a calculé cette limite d"une

autre façon, ce qui prouve :Z+1 0 et2dt=s 4 =p 2

1.4. Théorème de FubiniThéorème 3(Théorème de Fubini).

SoientI= [,]etJ= [a,b]deux intervalles fermés bornés. Soitfune fonction continue surIJ, à valeurs dansR

(ouC). Alors la fonction F définie pour tout x2I par

F(x) =Z

b a f(x,t)dt est intégrable sur I et Z

F(x)dx=Z

Zb a f(x,t)dtŒ dx=Z b a‚ Z f(x,t)dxŒ dt.On retient que l"on peut intervertir l"ordre d"intégration :quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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