LES FONCTIONS DE REFERENCE
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points distincts de la droite (d) 2) a) Pourquoi le point de coordonnées (-3 ; 9) appartient-il à la courbe.
FONCTIONS AFFINES (Partie 2)
la droite (d) vérifient y = x – 1. Les points A(3 ; 2) B(2 ; 1) et C(. 2. 9. ; 1) appartiennent-ils à la droite (d) ? 2 = 3 – 1 donc A ? (d).
DROITES
appartient à la droite d1. Soit B le point d'abscisse -2 appartenant à la droite d1. appartiennent-ils à la droite d d'équation y = 7x ? 3 ?
DROITES DU PLAN
En effet : 7 × 346 ? 3 = 2419 ? 2420 donc le point n'appartient pas à la droite . Remarque : Pour démontrer que 3 points A B et C sont alignés
Exercices de mathématiques - Exo7
(b) passant par le point (2?3) et parallèle à l'axe des x
VECTEURS ET DROITES
sont colinéaires signifie qu'ils ont même direction Un point M(x ; y) appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs AM ! "!!! x ? x.
Correction (très rapide) des exercices de révision
Exercice 1 : On considère les fonctions f et g données par leurs courbes représentativ a) A B
Cercle et constructions aux compas (triangles milieu)
Un cercle de centre O est un ensemble regroupant tous les points situés à A B et C sont trois points du cercle
CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES — SESSION 2018
(a) Justifier que les points A et C appartiennent à cette courbe. Le point B y appartient-il ? (b) Dans cette question on prend les points de coordonnées
Les préférences du consommateur
Soient 2 paniers de biens A et B : Le consommateur peut les classer du point de vue de la satisfaction qu'ils lui procurent : •. A ~ B : il est indifférent
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDROITES DU PLAN
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/d-rUnClmcCY Partie 1 : Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite1. Vecteur directeur
Définition : d
í µ est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de í µ tout vecteur non nul í µí±¢âƒ— qui possède la même direction que la droite í µ. Méthode : Déterminer graphiquement un vecteur directeur d'une droiteVidéo https://youtu.be/6VdSz-0QT4Y
Donner des vecteurs directeurs des
droites d 1 , d 2 , d 3 et d 4Correction
• Pour d 1 On choisit un vecteur qui possède la même direction que la droite d 1Par exemple : í µâƒ—í±Ž
1 2 ) convient. 2 4 ) ou í µâƒ—í±Ž -1 -2 ) sont également des vecteurs directeurs de d 1 • Pour d 2 6 0 ) convient. • Pour d 3 1 -1 ) convient. • Pour d 4 0 2 ) convient.2. Équation cartésienne d'une droite
Définition :
Toute droite admet une équation de la forme í µí µ+í µí µ+í µ=0, avec 0;0 Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite.2 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété : Le vecteur í µí±¢âƒ—í±Ž ) est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne í µí µ+í µí µ+í µ=0.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/GVDUrdsRUdA
Soit í µí±Ž
) un point de la droite í µ et í µí±¢âƒ—í±Ž ) un vecteur directeur de í µ.Un point í µí±Ž
) appartient à la droite í µ si et seulement si les vecteurs í µí µ ) et í µí±¢âƒ—í±Ž sont colinéaires, soit í µí µí µí±¡í µí µ ;í µí±¢âƒ—B=0 soit encore C C=0.Donc : í µ
=0 =0 =0Cette équation peut s'écrire : í µí µ+í µí µ+í µ=0 avec í µ=í µ et í µ=-í µ et í µ=í µí µ
Les coordonnées de í µí±¢âƒ— sont donc í±Ž Exemple : Un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne 4í µ-5í µ-1=0 est le vecteur de coordonnées í±Ž 5 4En effet, í µ=4 et í µ=-5 donc í±Ž
5 4Méthode : Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un point et d'un vecteur
directeurVidéo https://youtu.be/NosYmlLLFB4
Vidéo https://youtu.be/i5WD8IZdEqk
a) Déterminer une équation cartésienne de la droite í µ passant par le point í µí±Ž
3 1 ) et de vecteur directeur í µí±¢âƒ—í±Ž -1 5b) Déterminer une équation cartésienne de la droite í µâ€² passant par les points í µí±Ž
5 3 ) et í µí±Ž 1 -3Correction
a) í µ admet une équation cartésienne de la de la forme í µí µ+í µí µ+í µ=0. • Comme í µí±¢âƒ— í±Ž -1 5 ) est un vecteur directeur de í µ, on a : í±Ž -1 5Soit í µ=5 et í µ=1.
Une équation de í µ est donc de la forme 5í µ+1í µ+í µ=0.3 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr • Pour déterminer í µ, il suffit de substituer les coordonnées í±Ž 3 1 ) de í µ dans l'équation :5×3+1×1+í µ=0
15+1+í µ=0
16+í µ=0
í µ=-16 Une équation de í µ est donc 5í µ+1í µ-16=0. Remarque : Une autre méthode consiste à utiliser le déterminant :Vidéo https://youtu.be/rLxQIbQkPsQ
b) í µ et í µ appartiennent Ã í µ' donc í µí µ est un vecteur directeur de í µâ€².On a : í µí µ
1-5 -3-3 -4 -6 ). Donc í µ=-6 et í µ=4. Une équation cartésienne de í µâ€² est de la forme : -6í µ+4í µ+í µ=0. 5 3 ) appartient Ã í µâ€² donc : -6×5+4×3+í µ=0 donc í µ=18.Une équation cartésienne de í µâ€² est : -6í µ+4í µ+18=0 ou encore -3í µ+2í µ+9=0.
Méthode : Tracer une droite à partir de l'équation cartésienneVidéo https://youtu.be/EchUv2cGtzo
Tracer la droite í µ d'équation cartésienne 3í µ+2í µ-5=0.Correction
Pour tracer une droite, il suffit de connaître un point appartenant à la droite et un vecteur directeur. • On choisit le point d'abscisse 0 : Comme í µ=0, on remplace í µpar 0 dans l'équation et on calcule la valeur de í µ correspondante :3×0+2í µ-5=0
2í µ=5
5 2 =2,5Le point í µde coordonnées í±Ž
0 2,5 ) appartient à la droite í µ. • í µ=3 et í µ=2 donc í±Ž -2 3 -2 3 ) est un vecteur directeur de í µ. On trace la droite í µ passant par le point í µí±Ž 0 2,5 ) et de vecteur directeur í µí±¢âƒ— í±Ž -2 34 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr3. Position relative de deux droites
Propriété :
Dire que deux droites sont parallèles équivaut à dire qu'elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Méthode : Déterminer la position relative des deux droitesVidéo https://youtu.be/NjsVdVolhvU
Démontrer que les droites í µ
et í µ d'équations respectives 6í µ-10í µ-5=0 et -9í µ+15í µ=0 sont parallèles.Correction
Le vecteur í µí±¢âƒ—í±Ž
10 6 ) est un vecteur directeur de la droite í µLe vecteur í µâƒ—í±Ž
-15 -9 ) est un vecteur directeur de la droite í µCalculons í µí µí µ
=C 10-15 6-9C=10×
-9 -6× -15 =0 Donc í µí±¢âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires et donc les droites í µ et í µ sont parallèles. Partie 2 : Équation réduite et pente d'une droite1. Équation réduite
Exemple : Soit í µ dont une droite d'équation cartésienne 4í µ+í µ-6=0.On a alors : 4í µ+í µ=6
í µ=-4í µ+6 Cette équation est appelée l'équation réduite de la droite í µ.Propriété :
Soit une droite í µ.
- Si í µ est parallèle à l'axe des ordonnées : alors l'équation de í µ est de la forme í µ=í µ. - Si í µ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées : alors l'équation de í µ est de la forme í µ=í µí µ+í µ. Cette équation est appelée équation réduite de la droite í µ.5 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDémonstration :
• Si í µâ‰ 0, alors l'équation cartésienne í µí µ+í µí µ+í µ=0 de la droite í µ peut être ramenée à une
équation réduite í µ=-
. Et on note í µ=- et í µ=-• Si í µ=0, alors l'équation cartésienne í µí µ+í µí µ+í µ=0 de la droite í µ peut être ramenée Ã
l'équation í µ=- . Dans ce cas, la droite í µ est parallèle à l'axe des ordonnées.Exemples :
• L'équation í µ=-4í µ+6 est l'équation réduite d'une droite avec : í µ=-4 et í µ=6.• L'équation í µ=5 est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées avec :
í µ=5.Méthode : Passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite et réciproquement
Vidéo https://youtu.be/XA0YajthETQ
a) Soit la droite í µ d'équation cartésienne 6í µ+3í µ-5=0. Déterminer l'équation réduite de í µ.
b) Soit la droite í µ' d'équation réduite í µ=6í µ-5. Déterminer une équation catésienne de í µâ€².
Correction
a) On veut exprimer l'équation sous la forme í µ=í µí µ+í µ. Il s'agit donc d'isoler í µ dans l'équation.
6í µ+3í µ-5=0
3í µ=-6í µ+5
-6í µ+5 3 í µ=-2í µ+ : équation réduite de í µ.b) On veut exprimer l'équation sous la forme í µí µ+í µí µ+í µ=0. Il s'agit donc de ramener tous les
termes de l'équation dans le membre de gauche. í µ=6í µ-5 -6í µ+í µ+5=0 : équation cartésienne de í µ'. Vocabulaire : - í µ est appelé la pente ou le coefficient directeur de la droite í µ. - í µ est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite í µ. Remarque : Dans l'équation réduite, on retrouve l'expression d'une fonction affine.Exercice :
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Donner la pente (coefficient directeur) et l'ordonnée à l'origine de chacune des droites d'équations : a) í µ=-2í µ+3 b) í µ=5 c) 4í µ+2í µ=1Réponses
a) Pente : -2 b) Pente : 0 Ordonnée à l'origine : 3 Ordonnée à l'origine : 5 c) L'équation peut s'écrire sous sa forme réduite : í µ=-2í µ+Pente : -2
Ordonnée à l'origine :
Méthode : Représenter graphiquement une droite d'équation réduite donnéeVidéo https://youtu.be/cUdhxkaTqqk
Dans un repère, tracer les droites í µ
et í µ d'équations respectives : í µ=2í µ+3, í µ=4, í µ=3.Correction
- La droite í µ d'équation í µ=2í µ+3a pour ordonnée à l'origine 3. Donc le point de coordonnée í±Ž 0 3 ) appartient à la droite í µ - On choisit le point d'abscisse 2 : Comme í µ=2, on remplace í µpar 2 dans l'équation et on calcule la valeur de í µ correspondante : í µ=2×2+3=7.Le point de coordonnées í±Ž
2 7 ) appartient à d 1.On peut ainsi tracer la droite í µ
passant par ces deux points. La droite í µ d'équation í µ=4 est l'ensemble des points dont l'ordonnée est égale à 4. La droite í µ est donc la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point de coordonnées í±Ž 0 4 La droite í µ d'équation í µ=3 est l'ensemble des points dont l'abscisse est égale à 3. La droite í µ est donc la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point de coordonnées í±Ž 3 0 Méthode : Vérifier si un point appartient à une droite d'équation donnée7 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVidéo https://youtu.be/XA0YajthETQ
Les points í µí±Ž
6 39) et í µí±Ž 346
2420
) appartiennent-ils à la droite í µ d'équation í µ=7í µ-3 ?
Correction
• Dire que le point í µí±Ž 6 39) appartient à la droite í µ d'équation í µ=7í µ-3 revient à dire que les coordonnées de í µ vérifient l'équation de la droite í µ.
Ce qui est le cas, puisque í µ=7×6-3=39.
Le point í µ appartient donc à la droite í µ. • Les coordonnées de í µí±Ž 3462420
) ne vérifient pas l'équation de la droite í µ. En effet : 7×346-3=2419≠2420 donc le point í µ n'appartient pas à la droite í µ.
Remarque : Pour démontrer que 3 points A, B et C sont alignés, il suffit de montrer par exemple
que le point A vérifie l'équation de la droite (BC).2. Pente d'une droite
Propriété : Si í µí±Ž
) et í µí±Ž ) sont deux points distincts d'une droite tel que í µ alors la droite a pour pente (ou coefficient directeur) í µ= Méthode : Déterminer une équation réduite de droite dont on connaît deux pointsVidéo https://youtu.be/tfagLy6QRuw
Soit í µí±Ž
4 -1 ) et í µí±Ž 3 5 ) deux points d'une droite í µ. Déterminer une équation de la droite í µ.Correction
L'équation réduite de la droite í µ est de la forme í µ=í µí µ+í µ. • La pente (coefficient directeur) de í µ est : í µ= 0 =-6. L'équation de í µ est donc de la forme : í µ=-6í µ+í µ. • Comme í µí±Ž 4 -1 ) appartient à la droite d, ses coordonnées vérifient l'équation de í µ.Soit : -1=-6×4+í µ.
D'où í µ=-1+6×4=23.
L'équation réduite de í µ est donc :í µ=-6í µ+23.ALGORITHME
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr TP avec Python : Déterminer une équation de droite passant par deux points donnés3. Position relative de deux droites
Propriété : Soient deux droites d'équations réduites í µ=í µí µ+í µet í µ=í µâ€²í µ+í µâ€².
Dire que les droites sont parallèles revient à dire que leurs pentes sont égales (í µ=í µâ€²).
Remarque : Lorsque les pentes sont différentes, les droites sont sécantes.Exemple : Les droites í µ
et í µ d'équations respectives í µ=3í µ+4et í µ=3í µ+9 sont parallèles car elles ont la même pente égale à 3. Méthode : Déterminer la position relative de deux droitesVidéo https://youtu.be/gTUPGw7Bulc
Dans chaque cas, déterminer la position relative des deux droites : a) í µ :í µ=-2í µ-5 et í µ :í µ=-2í µ+4 b) í µ :í µ=2í µ+1 et í µ :í µ=-3í µ+8 c) í µ :í µ=-í µ+7 et í µ :í µ=3 d) í µ :í µ=1 et í µ :í µ=-8Correction
1) Les droites í µ
et í µ sont parallèles car elles ont la même pente égale à -2.2) Les droites í µ
et í µ sont sécantes car elles ont des pentes différentes 2 et -3.3) Les droites í µ
et í µ sont sécantes car elles ont des pentes différentes -1 et 0.4) Les droites í µ
et í µ sont parallèles car elles sont parallèles à l'axe des ordonnées. Partie 3 : Projeté orthogonal d'un point sur une droite Définition : Soit une droite í µ et un point í µ. Le projeté orthogonal du point í µ sur la droite í µ est le point d'intersection í µ de la droite í µ avec la perpendiculaire Ã í µ passant par í µ.9 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPropriété : Le projeté orthogonal du point í µ sur la droite í µ est le point de la droite í µ le plus
proche du point í µ.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/DohZ0ehR_rw
Soit í µ le projeté orthogonal du point í µ sur la droite í µ.Supposons qu'il existe un point í µ de la droite í µ plus proche de í µ que l'est le point í µ.
Donc í µí µ
Or, d'après l'égalité de Pythagore, on a : í µí µDonc í µí µ
Donc í µí µ
On en déduit que í µ est le point de la droite í µ le plus proche du point í µ. Méthode : Reconnaitre et construire un projeté orthogonalVidéo https://youtu.be/MiJHpVzyQPc
1) Donner le projeté orthogonal de :
a) C sur (AB) b) B sur (DF) c) D sur (AC) d) F sur (AD)2) Représenter sur la figure le projeté
orthogonal de : a) C sur (BF). Nommer ce point M. b) F sur (AB). Nommer ce point N.Correction
1) a) Il s'agit du point B. En effet, la perpendiculaire à (AB) passant par C coupe (AB) en B.
b) Il s'agit du point C. c) Il s'agit du point E. d) Il s'agit du point D.10 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2)Démonstration au programme :
cosí µ siní µ =1Vidéo https://youtu.be/9r2qDd7EkMo
Soit une droite í µ et un point í µ appartenant Ã í µ. Soit un point í µ n'appartenant pas Ã í µ. On appelle í µ le projeté orthogonal du point í µ sur la droite í µ.On note í µ l'angle í µí µí µ
Démontrons que
quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Les points communs et différences de ces textes SVP :(
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