[PDF] CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES — SESSION 2018

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CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES

SESSION DE 2018

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Classe terminale S)

DURÉE:5HEURES

La calculatrice est autorisée conformément à la réglementation.

La clarté et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation de la copie.

Le sujet comporte trois problèmes indépendants et7pages numérotées1à7.

Le candidat peut traiter les questions dans l'ordre de son choix, à condition de l'indiquer clairement dans la

copie. 1 MATH

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES SERIE S

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MATH

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES SERIE S

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PROBLÈME I

Approximations de courbes

Partie A : Les polynômes de Bernstein

Pour tout entier naturelnet pour tout entier naturelicompris entre 0 etn, on noteB n,i le polynôme défini pourpvariant dans l"intervalle [0; 1] par B n,i (p)= n i p i (1-p) n-i avec n i le coefficient binomial,iparmin. AinsiB 0,0 (p)=1;B 1,0 (p)=1-petB 1,1 (p)=p. Ces polynômes sont appeléspolynômes de Bernstein.

1°(a)Donner l"expression deB

2,0 (p),B 2,1 (p) etB 2,2 (p). (b)Déterminer l"expression des polynômes de Bernstein pourn=3, à savoirB 3,0 (p),B 3,1 (p),B 3,2 (p) etB 3,3 (p).

2°(a)Quelle est l"expression deB

n,0 (p) et deB n,n (p)? (b)Démontrer que pour toutn?1 et pour touticompris entre 1 etn-1, B n,i (p)=(1-p)B n-1,i (p)+pB n-1,i-1 (p).

3°(a)En quelle(s) valeur(s)p?[0; 1] s"annule un polynôme de Bernstein?

On raisonnera en distinguant les cas selon les valeurs de n et de i. (b)Qu"en est-il de son signe sur [0; 1]?

4°Démontrer que les polynômes de Bernstein d"un même degrénforment une partition de l"unité :

c"est-à dire, pour tout entier natureln, n i=0 B n,i (p)=B n,0 (p)+B n,1 (p)+...+B n,n-1 (p)+B n,n (p)=1.

5°Déterminer la valeur des sommes

n i=0 iB n,i (p) et n i=0 i 2 B n,i (p). Que représentent ces sommes en termes probabilistes?

Partie B : Des courbes de Bézier

On munit le plan d"un repère orthonormé (O,I,J). Soitnun entier naturel. On se donnen+1 points non

alignés du planP 0 ,P 1 P n-1 ,P n On appellecourbe de Bézierde degrénet de points de contrôleP 0 ,P 1 P n-1 ,P n l"ensemble des points M(p) du plan avecpvariant dans l"intervalle [0; 1] tels que

OM(p)=

n i=0 B n,i (p)--→OP i Dans la suite on va s"intéresser à des courbes de Bézier de degré 0,1 ou 2. On se fixe doncA,B,Ctrois points du plan non alignés.

2௅௅

PROBLÈME I

Approximations de courbes

Partie A : Les polynômes de Bernstein

Pour tout entier naturelnet pour tout entier naturelicompris entre 0 etn, on noteB n,i le polynôme défini pourpvariant dans l"intervalle [0; 1] par B n,i (p)= n i p i (1-p) n-i avec n i le coefficient binomial,iparmin. AinsiB 0,0 (p)=1;B 1,0 (p)=1-petB 1,1 (p)=p. Ces polynômes sont appeléspolynômes de Bernstein.

1°(a)Donner l"expression deB

2,0 (p),B 2,1 (p) etB 2,2 (p). (b)Déterminer l"expression des polynômes de Bernstein pourn=3, à savoirB 3,0 (p),B 3,1 (p),B 3,2 (p) etB 3,3 (p).

2°(a)Quelle est l"expression deB

n,0 (p) et deB n,n (p)? (b)Démontrer que pour toutn?1 et pour touticompris entre 1 etn-1, B n,i (p)=(1-p)B n-1,i (p)+pB n-1,i-1 (p).

3°(a)En quelle(s) valeur(s)p?[0; 1] s"annule un polynôme de Bernstein?

On raisonnera en distinguant les cas selon les valeurs de n et de i. (b)Qu"en est-il de son signe sur [0; 1]?

4°Démontrer que les polynômes de Bernstein d"un même degrénforment une partition de l"unité :

c"est-à dire, pour tout entier natureln, n i=0 B n,i (p)=B n,0 (p)+B n,1 (p)+...+B n,n-1 (p)+B n,n (p)=1.

5°Déterminer la valeur des sommes

n i=0 iB n,i (p) et n i=0 i 2 B n,i (p). Que représentent ces sommes en termes probabilistes?

Partie B : Des courbes de Bézier

On munit le plan d"un repère orthonormé (O,I,J). Soitnun entier naturel. On se donnen+1 points non

alignés du planP 0 ,P 1 P n-1 ,P n On appellecourbe de Bézierde degrénet de points de contrôleP 0 ,P 1 P n-1 ,P n l"ensemble des points M(p) du plan avecpvariant dans l"intervalle [0; 1] tels que

OM(p)=

n i=0 B n,i (p)--→OP i Dans la suite on va s"intéresser à des courbes de Bézier de degré 0,1 ou 2. On se fixe doncA,B,Ctrois points du plan non alignés. 2

1°Reconnaitre la nature géométrique

(a)de la courbe de Bézier de degré 0 et de point de contrôleA. (b)de la courbe de Bézier de degré 1 et de points de contrôleBetC.

2°On s"intéresse à la courbe de Bézier de degré 2 et de points de contrôleA,BetC.

(a)Justifier que les pointsAetCappartiennent à cette courbe. Le pointBy appartient-il? (b)Dans cette question on prend les points de coordonnéesA(-2;5),B(2;1) etC(4;3). Proposer une construction des points de cette courbe pourp=1

4,p=12etp=34. Tracer la courbe à

main levée.

3°Démontrer que cette courbe est nécessairement inscrite dans le triangleABC.

4°Quelle pourrait être la nature géométrique de cette courbe de Bézier de degré 2? Justifier votre ré-

ponse.

PROBLÈME II

Un si discret Monsieur Dirichlet

SoitSun ensemble fini non vide de points du plan. Certaines paires de points deSsont reliées par

des traits, de sorte qu"en suivant ces traits, éventuellement en plusieurs étapes, il est toujours possible de

passer d"un point deSà n"importe quel autre (les intersections éventuelles entre les traits ne sont pas

considérées et un point n"est jamais relié à lui-même). Deux points deSreliés par un trait sont ditsvoisins. SiMest un point deS, on noteV(M) l"ensemble des voisins deM, et on noted(M) le nombre de voisins deM, appelé ledegrédeM.

Chaque point deSa été colorié soit en bleu soit en jaune, et il y a au moins un point jaune dans l"en-

sembleS. À chaque point jaune, Gustav a attribué un nombre réel de son choix. La mathématicienne

Maryam voudrait alors attribuer un réel à chaque point bleu (pas forcément le même nombre d"un point

bleu à l"autre) de façon à satisfaire la propriété (P) suivante :

P) Le nombre attribué à tout point bleu est la moyenne des nombres attribués à ses voisins.

Partie A : Quelques exemples pour commencer

1°Dans cette question uniquement, on suppose queS={A,B,C}, avecAvoisin deB, lui-même voisin

deCcomme sur dessin ci-dessous. A a◦B•C• De plus,Aest le seul point jaune et Gustav lui a attribué le réela.

Quels nombres Maryam doit-elle alors attribuer àBet àCafin de satisfaire la propriété (P)?

2°Pour les trois questions suivantes on suppose queS={A,B,C,D,E}. Les pointsAetEsont les seuls

points jaunes, et Gustav leur a attribué respectivement les réelsaete. 3 ௅௅Tournez la page S.V.P.

(a)Les liaisons étant indiquées selon le schéma suivant, quels nombres Maryam doit-elle alors

attribuer à chacun des pointsB,CetDafin de satisfaire la propriété (P)? A a◦B•C•D•E e◦ (b)Même question pour le schéma suivant :

D•

C•

B•Aa◦

Ee◦

(c)Même question pour le schéma suivant :

Aa◦

B•

C•D•

Ee◦

3°Dans cette question uniquement on généralise le schéma de la question 2-(c) avec un nombre quel-

conque de points.

On suppose quen?1 est un entier, queS={P

0 ,P 1 ,P 2 P n ,P n+1 } et que tout point deSest voisin de chaque autre point deS. De plus,P 0 etP n+1 sont les seuls points jaunes, et Gustav leur

a attribué respectivement les réelsaetb. Quels nombres Maryam doit-elle alors attribuer à chacun

des pointsP i pouri=1,...,nafin de satisfaire la propriété (P)?

Partie B : Étude du cas général

On note respectivementJl"ensemble des points jaunes, etBl"ensemble des points bleus. Ainsi

S=J?B.

Quand Gustav attribue un réel à chaque point jaune, cela consiste à définir une fonctionkdeJdans

R. L"objectif de Maryam est donc de construire une fonctionf:S-→

Rtelle que

f(M)=k(M) siMest jaune (1) f(M)=f(P 1 )+...+f(P d dsiMest bleu (2) oùd=d(M) est le degré deM(qui dépend deM) etP 1 P d les voisins deM. On dira alors quefest une solutionpour l'attributionk. Dans cette partie, on suppose donc donnée une telle attributionk. On noteKle plus grand des nombresk(M) lorsqueMdécrit l"ensembleJ. 4

(a)Les liaisons étant indiquées selon le schéma suivant, quels nombres Maryam doit-elle alors

attribuer à chacun des pointsB,CetDafin de satisfaire la propriété (P)? A a◦B•C•D•E e◦ (b)Même question pour le schéma suivant : D •C• B •Aa◦E e◦ (c)Même question pour le schéma suivant : A a◦ B C •D•E e◦

3°Dans cette question uniquement on généralise le schéma de la question 2-(c) avec un nombre quel-

conque de points.

On suppose quen?1 est un entier, queS={P

0 ,P 1 ,P 2 P n ,P n+1 } et que tout point deSest voisin de chaque autre point deS. De plus,P 0 etP n+1 sont les seuls points jaunes, et Gustav leur

a attribué respectivement les réelsaetb. Quels nombres Maryam doit-elle alors attribuer à chacun

des pointsP i pouri=1,...,nafin de satisfaire la propriété (P)?

Partie B : Étude du cas général

On note respectivementJl"ensemble des points jaunes, etBl"ensemble des points bleus. Ainsi

S=J?B.

Quand Gustav attribue un réel à chaque point jaune, cela consiste à définir une fonctionkdeJdans

R. L"objectif de Maryam est donc de construire une fonctionf:S-→

Rtelle que

f(M)=k(M) siMest jaune (1) f(M)=f(P 1 )+...+f(P d dsiMest bleu (2) oùd=d(M) est le degré deM(qui dépend deM) etP 1 P d les voisins deM. On dira alors quefest une solutionpour l'attributionk. Dans cette partie, on suppose donc donnée une telle attributionk. On noteKle plus grand des nombresk(M) lorsqueMdécrit l"ensembleJ. 4

Existence d'une solution.

1°On suppose dans cette question quek(M)?0 pour tout pointM?J. On construit alors, par récur-

rence, la suite (f n ) de fonctions suivante :

On posef

0 (M)=k(M) siMest jaune, etf 0 (M)=0 siMest bleu.

Puis, pour tout entiern?0, on pose

f n+1 (M)=k(M) siMest jaune, f n+1 (M)=f n P 1 )+...+f n P d dsiMest bleu, oùd=d(M) est le degré deM(qui dépend deM) etP 1 P d les voisins deM. (a)Prouver que, pour toutn?0 et tout pointM?S,ona0?f n (M)?f n+1 (M)?K. (b)En déduire l"existence d"une solution pour l"attributionk.

2°Prouver que sifest une solution pour l"attributionket siαest une constante, alors la fonctionf+α

est aussi une solution pour l"attributionk+α.

3°En déduire qu"il existe une solution à notre problème en général, c"est-à-dire sans l"hypothèse de la

question 1° :k(M)?0 pour tout pointM?J.

Unicité de la solution.

On suppose dans cette sous-partie que l"on dispose d"une solutionfpour cette attributionk.

4°Prouver que, pour tout pointM?S, on af(M)?K.

5°Supposons quegsoit également une solution pour l"attributionk.

(a)Justifier que la fonctionf-gvérifie la condition (2). (b)Que vautf-gsurJ? (c)En déduire quef=g.

6°Que peut-on dire defs"il n"y a qu"un seul point jaune?

5௅௅Tournez la page S.V.P.

PROBLÈME III

Les nombres en or

On note?la plus grande racine réelle de l"équationx 2 =x+1. Le nombre?, connu depuis l"Antiquité, est appelénombre d'or. Un réelxest dit unnombre en ors"il existe :

—deux entiers naturelspetq

—des entiersa

p ,a p-1 ,···,a 0 ,...,a -q ne prenant que les valeurs 0 ou 1 tels que x=a p p +a p-1 p-1 +...+aquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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