[PDF] Chapitre 10. Fonctions de deux variables réelles

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ECE 2 - Année 2017-2018

Lycée français de Vienne

Mathématiques - F. Gaunard

http://frederic.gaunard.comChapitre 10.Fonctions de deux variables réelles

Ce chapitre présente la notion de fonction numérique de deux variables réelles et a pour but de permettre

la recherche d"extremaen faisant le lien avec la théorie de la réduction des matrices. 1

Généralités

Définition 1.On appelle fonction deR2dansRtoute application f:R2!R (x;y)7!f(x;y)

qui à un couple(x;y)deR2associe un réel notéf(x;y). On dit alors quefest une fonction de deux

variables (réelles).

+Dans un premier temps, on définira les fonctions surR2tout entier. Après avoir introduit la notion

d"ouvertdeR2dans une section suivante, on pourra avoir des fonctions dont les domaines de définition

sont plus restreints. +Les fonctions de deux variables peuvent se représenter graphiquement (ce qu"on verra dans des séances sousSciLab) en trois dimensions. Exemple.Les fonctions suivantes sont des fonctions de deux variables définies surR2. f: (x;y)7!2x3x2y3x

2+y2+ 1;g: (x;y)7!ey2+xy;p: (x;y)7!x

On représente ci-dessous (à l"aide de la commandeplot3d()deSciLab) la fonctiongsur[1;1] [1;1].

2Chapitre 10.Fonctions de deux variables réellesOn se pose alors, comme pour les fonctions d"une variable réelle, des questions derégularité(continuité,

dérivabilité). Mais il faut pour cela donner un sens à la notion de limite ce qui nécessite l"introduction

préalable de de la notion dedistancesurR2. Définition 2.SoientA(xA;yA)etB(xB;yB)deux points deR2. On appelledistance deAàBle réel, notéd(A;B), égal à : d(A;B) =p(xBxA)2+ (yByA)2 +Dans un repère orthonormal, le réeld(A;B)correspond à la longueur du segment[AB]et la formule précédente découle..... du théorème de Pythagore. Définition 3.Soitfune fonction définie surR2.

On dit quefest continue en(x0;y0)

8 >0;9r >0tels que8(x;y)2R2; d((x;y);(x0;y0))r=) jf(x;y)f(x0;y0)j :

On dit quefest continue surR2ssifest continue en tout point deR2. Parmi les premiers exemples de fonctions continues surR2, on trouve les fonctions polynomiales et en particulier les fonctions coordonnées. Proposition 1.Les fonctions suivantes sont continues surR2: (1)

Les fonctions p olynomialesf:R2!Rde la forme

f: (x;y)7!xiyj;avec(i;j)2N2 (2)

Les fonctions coordonnéesde la forme

(x;y)7!xet(x;y)7!x:

Théorème 1.

La somme, le produit, le quotient dont le dénominateur ne s"annule pas, de fonctions continues surR2est continue surR2. La composée d"une fonction continue surR2à valeurs dansIRet d"une fonction continue surIest continue surR2.

Exercice 1.

(1)

Mon trerque la fonction f: (x;y)!2x3x2y3x

2+y2+ 1est continue surR2.

(2) Mon trerque la fonction g: (x;y)!yex2y. est continue surR2. 2

Calcul différen tiel

On considère dans cette partie une fonctionfdéfinie surR2. 2.1

Dériv éespartielles d"ordre 1

Définition 4.

On dit quefadmet une dérivée partielle d"ordre 1 par rapport àxau point(x0;y0)2R2 si et seulement si la fonction réellefx:t!f(t;y0)est dérivable enx0. On note alors cette dérivée partielle en(x0;y0):@1(f)(x0;y0). On dit quefadmet une dérivée partielle d"ordre 1 par rapport àyau point(x0;y0)2R2 si et seulement si la fonction réellefy:t!f(x0;t)est dérivable eny0. On note alors cette dérivée partielle en(x0;y0):@2(f)(x0;y0).

Définition 5.

Sifadmet une dérivée partielle d"ordre1par rapport àxen tout point deR2, alors la fonction de deux variables@1(f)(x;y)s"appelle la fonction dérivée partielle d"ordre1defpar rapport à x. 3 Sifadmet une dérivée partielle d"ordre1par rapport àyen tout point deR2, alors la fonction

2(f)(x;y)s"appelle la fonction dérivée partielle d"ordre1defpar rapport ày.

Remarque 1.

La notion de dérivée partielle correspond à la notion de dérivation par rapport à une des variables

en fixant les autres, c"est-à-dire en les considérantcomme des constantes. Les règles de dérivation

découlent alors directement des règles de dérivation des fonctions à une variable. On pourra parfois rencontrer (dans des vieux sujets) les notations@f@x et@f@y (à ne pas utiliser). Définition 6.On appellegradientdefau point(x;y)le vecteur colonne deM2;1(R)suivant : r(f)(x;y) =@1(f)(x;y)

2(f)(x;y)

Exercice 2.Soitfla fonction définie surR2parf(x;y) =yex2y. (1) Mon trerque fadmet des dérivées partielles d"ordre1et les calculer. (2) Déterminer le gradien tde la fonction fau point(1;2). 2.2

F onctionsde classe C1

Définition 7.Si les fonctions@1(f)et@2(f)sont continues surR2, on dit que la fonctionfest de classeC1surR2. Proposition 2.Toute fonction polynomiale est de classeC1surR2.

Théorème 2.

La somme, le produit, le quotient dont le dénominateur ne s"annule pas, de fonctions de classe C

1surR2est de classeC1surR2.

La composée d"une fonction de classeC1surR2à valeurs dansIRet d"une fonction de classe C

1surIest de classeC1surR2.

Exercice 3.Montrer que la fonctionfde l"Exercice??est de classeC1surR2. 2.3

Dév eloppementlimité d"ordre 1

Comme pour des fonctions d"une variable réelle, on peut vouloir donner des approximations polyno-

miales locales des fonctions de deux variables,viala notion de développement limité. Le résultat suivant

fait office de définition et de théorème. Théorème 3.Soitfune fonction de classeC1surR2. Alors,fadmet undéveloppement limité

d"ordre 1en tout point(x0;y0)deR2. Ce développement limité est unique. Plus précisément, il existe

une fonction de deux variables"continue en(0;0), vérifiant"(0;0) = 0et telle que, pour tout(h;k) "proche" de(x0;y0), f(x0+h;y0+k) =f(x0;y0) +tr(f)(x0;y0)h k +ph 2+k2 "(h;k): Exemple.Soitf(x;y)7!yex+e2y+x2. Il est clair quefest de classeC1surR2. On peut alors écrire le développement limité defà l"ordre1en(0;0). Pour(x;y)proche de(0;0), f(x;y) =f(0;0) +tr(f)(0;0)x y +px 2+y2 "(x;y) = 1 + 0 3x y +px 2+y2 "(x;y) = 1 + 3y+px 2+y2 "(x;y)

4Chapitre 10.Fonctions de deux variables réelles2.4Dériv éespartielles d"ordre 2

Définition 8.Soitfune fonction définie surR2et admettant des dérivées partielles d"ordre1. Si les

fonctions dérivées partielles (x;y)7!@1(f)(x;y)et(x;y)7!@2(f)(x;y)

admettent également des dérivées partielles d"ordre1, on dit quefadmet des dérivées partielles d"ordre

2. On note alors

21;1(f) =@1(@1(f))@22;2(f) =@2(@2(f))

21;2(f) =@1(@2(f))@22;1(f) =@2(@1(f))

Remarque 2.Comme précédemment, on rencontrera parfois les notations

21;1(f) =@2f@x

2; @22;2(f) =@2f@y

2; @21;2(f) =@2f@x@y

; @22;1(f) =@2f@y@x:

Définition 9.Si la fonctionfest de classeC1surR2et si ses dérivées partielles@1(f)et@2(f)sont

de classeC1surR2, alors on dit quefest de classeC2surR2.

Exercice 4.Calculer les dérivées partielles d"ordre2de la fonctionfde l"Exercice??. Est-elle de classe

C 2? +Naturellement, toute fonctionfde classeC2surR2est aussi de classeC1surR2. Proposition 3.Toute fonction polynomiale est de classeC2surR2.

Théorème 4.

La somme, le produit, le quotient dont le dénominateur ne s"annule pas, de fonctions de classe C

2surR2est de classeC2surR2.

La composée d"une fonction de classeC2surR2à valeurs dansIRet d"une fonction de classe C

2surIest de classeC2surR2.

En toute généralité, l"ordre dans lequel on effectue les dérivées partielles est important. Le théorème

suivant, central dans cette théorie, affirme qu"en cas de fonction régulière (de classeC2), c"est la même

chose. Théorème 5(Théorème de Schwarz).Sifest une fonction de classeC2alors

21;2(f) =@22;1(f):

Définition 10.Soitfune fonction définie surR2et(x;y)2R2. Lamatrice hessiennedefau point (x;y)est la matrice deM2(R)suivante r

2(f)(x;y) =@21;1(f)(x;y)@21;2(f)(x;y)

22;1(f)(x;y)@22;2(f)(x;y)

Remarque 3.Sifest de classeC2alors,@21;2(f) =@22;1(f)d"après le théorème de Schwarz donc la matrice hessienne defest une matrice symétrique. Exercice 5.Déterminer la matrice hessienne de la fonctionfde l"Exercice??au point(1;2). 3

Un p eude top ologiede R2

Afin de parler de la notion d"extremum, il est nécessaire de préciser quelques notions de topologie sur

les parties deR2sur lesquelles on va rechercher ces extrema. 5 3.1 P artiesouv ertes,parties fermées, parties b ornées Définition 11.Soitrun réel strictement positif etA(xA;yA)un point deR2. On appelleboule ouverte de centreAet de rayonrl"ensembleBo(A;r)défini par B o(A;r) =fM2R2jd(M;A)< rg; On appelleboule fermée de centreAet de rayonrl"ensembleBf(A;r)défini par : B f(A;r) =fM2R2jd(M;A)rg:

Définition 12.SoitUune partie non vide deR2.

Une partieUdeR2est diteouvertesi et seulement si pour tout pointM2U, il exister >0tel queBo(M;r)U, soit si e seulement si, pour toutM2Uil existe une boule ouverte de centre

Aincluse dansU.

Une partieFdeR2est diteferméesi et seulement si son complémentaireFest une partie ouverte.

Remarque 4.L"énoncé précisera toujours la nature de la partieUétudiée (ouverte ou fermée). Voici

quelques exemples. Toute boule ouverte deR2, tout ensemble de la forme]a;b[]c;d[sont de parties ouvertes deR2. Toute boule fermée deR2, tout ensemble de la forme[a;b][c;d]sont de parties fermées deR2.

Définition 13.Une partie

deR2est ditebornéesi et seulement si il existeR >0tel que pour tout M2 ,d(M;O)R(oùOest le point(0;0)), c"est-à-dire que est inclus dans la boule fermée de centreOet de rayonR.

Exemple.

Toute boule ouverte deR2(resp. fermées) est une partie ouverte (resp. fermées) et bornée de R 2. Tout ensemble de la forme]a;b[]c;d[sont de parties bornées deR2. Tout ensemble de la forme[a;b][c;d]sont de parties bornées deR2.

Exercice 6.

(1) Représen tergraphiquemen tles domaines ouv ertssuiv ants U

1=]0;1[]0;1[; U2=]0;1[R; U3=R]0;+1[:

(2)

Représen tergraphiquemen tle domaine ouv ert

U

4=(x;y)2R2:x0etx < y

et le domaine fermé

F=(x;y)2R2+:x+y1:

4

Rec herched"extrema

4.1

Extrem umlo cal

Définition 14.Soitfune fonction définie sur unouvertUet soit(x0;y0)un point deU. On dit quefadmet unminimum local en(x0;y0)s"il exister >0tel que

8(x;y)2 B((x0;y0);r)\U; f(x;y)f(x0;y0):

On dit quefadmet unmaximum local en(x0;y0)s"il exister >0tel que

8(x;y)2 B((x0;y0);r)\U; f(x;y)f(x0;y0):

On dit quefadmetun extremum local en(x0;y0)lorsquefadmet soit un minimum soit un maximum local en ce point.

6Chapitre 10.Fonctions de deux variables réelles4.2P ointcritique

Définition 15.Soitfune fonction de classeC1sur unouvertU. On dit que(x0;y0)2Uest unpoint critiquedefsi et seulement si r(f)(x0;y0) =0 0 donc ssi@1(f)(x0;y0) = 0

2(f)(x0;y0) = 0

Théorème 6.Soitfune fonction de classeC1sur unouvertU. Sifadmet un extremum local en (x0;y0)2U, alors(x0;y0)est un point critique def.

+Le théorème précédent donne une conditionnécessaireà l"existence d"un extemum local.Atten-

tion, la réciproque est fausse; il peut exister des points critiques defqui ne sont pas des extremums

locaux. Exercice 7.Soit la fonctionfdéfinie parf(x;y) =x2+ 3y2+ 2xy4y. Déterminer le ou les points critiques def. 4.3 Condition suffisan ted "existenced "unextr emumlo cal Théorème 7.Soitfune fonction de classeC2sur unouvertUet soit(x0;y0)unpoint critiquede f. Avec les notations précédentes, on a Si les valeurs propres de la matrice hessienner2(f)(x0;y0)sontstrictement positives, alors fadmet unminimum localen(x0;y0). Si les valeurs propres de la matrice hessienner2(f)(x0;y0)sontstrictement négatives, alors fadmet unmaximum localen(x0;y0). Si les valeurs propres de la matrice hessienner2(f)(x0;y0)sontnon nulles et de signes opposés, alorsfn"admet pas d"extremum local en(x0;y0). On parle de point col (ou point selle). Si0est valeur propre de la matrice hessienner2(f)(x0;y0), alorson ne peut rien dire. .Méthode.Lorsqu"on cherche lesextremad"une fonctionf: On commence tout d"abord par chercher les points critiques def. Pour chaque point critique, il faudra vérifier si c"est un extremum ou non. Exercice 8.Soitf(x;y) = 3xyx3y3. Déterminer, si ils existent, les extremums locaux defet préciser leurs natures. 4.4

Extrem umglobal

Définition 16.Soitfune fonction définie sur une partieUdeR2et soit(x0;y0)un point deU.

On dit quefadmet unminimum global en(x0;y0)si :

8(x;y)2U; f(x;y)f(x0;y0):

On dit quefadmet unmaximum global en(x0;y0)si :

8(x;y)2U; f(x;y)f(x0;y0):

On dit quefadmetun extremum global en(x0;y0)lorsquefadmet soit un minimum soit un maximum global en ce point.

Théorème 8.Soitfune fonction continue sur une partieFfermée et bornée deR2. Alorsfest bornée

et atteint ses bornes surF. Ainsi,fadmet un maximum et un minimum global surF.

Remarque 5.

Sifadmet extremum global en(x0;y0), alors c"est également un extremum local donc(x0;y0) est un point critique def. Pour savoir si un extremum local en(x0;y0)est également un extremum global, il faut comparer f(x;y)etf(x0;y0)pour tout(x;y)2U. Cette étape est souvent guidée par l"énoncé. 7 4.5

Quelques illustrations

f(x;y) =x2+ 3y2+ 2xy4y.f(x;y) = 3xyx3y3.f(x;y) =x33xy2.f(x;y) =xyex2+y22

8Chapitre 10.Fonctions de deux variables réelles5Autres exercices

Exercice 9.(D"aprèsEML 2006) On noteF:R2!Rl"application définie pour tout(x;y)2R2par

F(x;y) = (x1)(y2)(x+y6):

(1) Mon trerque (4;2)et(2;3)sont des points critiques deF: (2) Est-ce que Fprésente un extremum local au point(4;2)? au point(2;3)? Exercice 10.Déterminer les extremums de la fonctionfdéfinie surR2par :f(x;y) =xy(x+y1). Exercice 11.Soitfdéfinie surR2par :f(x;y) = 9x2+ 8xy+ 3y2+x2y. (1) Mon trerque fadmet un seul extremum surR2. Quelle est sa nature? (2)

Calculer f(1=2;1)puis retrouver le résultat de la question précédente en développant l"expression

3 y+43 x13 2 +113
x+12 2 (3)

Cet extrem umest-il global ?

Exercice 12.Soit la fonctionfdéfinie par :f(x;y) =x((ln(x))2+y2). (1) Préciser le domaine de définition de fet le représenter.On admet que ce domaine est ouvert. (2)

Mon trerque fest de classeC2sur ce domaine.

(3) Mon trerque fadmet un seul extremum local. Préciser sa nature et sa valeur. (4)

Cet extrem umest-il global ?

Exercice 13.Soitfdéfinie surR2par :f(x;y) =xye(x2+y2). (1)

Calculer @1(f)et@2(f)

(2) Déterminer les p ointscritiques d efet indiquer si ces points correspondent à un minimum ou un maximum. Exercice 14.(D"aprèsEML 2015) Dans cet exercice on pourra utiliser l"encadrement suivant :2< e <3. (1) On considère l"application ':R!R;x7!'(x) =x2ex1. (a) Dresser le tableau de v ariationsde ', en précisant les limites de'en1et en+1et sa valeur en0. (b)

Établir que l"équation ex=1x

2, d"inconnuex2]0;+1[, admet une solution et une seule,

notée, et queappartient à l"intervalle12 ;1 On considère l"ouvertU=]0;+1[RdeR2et l"application de classeC2suivante : g=U!R;(x;y)7!g(x;y) =1x +exy2ey (2)

Représen tergraphiquemen tl"ensem bleU.

(3) Calculer, p ourto ut(x;y)deU, les dérivées partielles premières degen(x;y). (4) Mon trerque gadmet deux points critiques et deux seulement, et que ceux-ci sont(;0)et (;2), oùest le réel défini à la Question 2. (5)

Est-ce que gadmet un extremum local en(;0)?

(6)

Est-ce que gadmet un extremum local en(;2)?

(7)

Est-ce que gadmet un extremum global surU?

9 Exercice 15.(D"aprèsECRICOME 2007) On considère, sur l"ouvertR+R+, la fonctiongdéfinie par g(x;y) =12 1x +1y (1 +x)(1 +y): (1) Calculer les dériv éespartielles d"ordre 1 et 2 de gsurR+R+. (2) Mon trerque gadmet un extremum local surR+R+dont on précisera la nature et la valeur. (3) On considère la fonction f, définie surR+par f(t) =12 t+1t (a)

Mon trerque p ourtout t >0, on a :f(t)1.

(b)

Vérifier que

g(x;y) = 1 +f1(x) +f1(y) +f1xy (c) En déduire que l"extrem umlo calest un extrem umglobal de gsurR+R+. Exercice 16.(D"aprèsEDHEC 2010) On considère la fonctionfdéfinie, pour tout couple(x;y)de l"ouvert]0;+1[]0;+1[, par f(x;y) = (x+y)1x +1y (1) Mon trerque, p ourtout couple (x;y)de]0;+1[]0;+1[, on a f(x;y) = 2 +yx +xy etf(x;y) =(x+y)2xy (2)

Mon trerque fest de classeC2sur]0;+1[]0;+1[.

(3)quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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