[PDF] Dérivation La fonction f est dé

View - Download Dérivation

Previous PDF

Next PDF

Dérivation

Table des matières

I Définitions et Interprétation Graphique1

II Fonction dérivée4

IIICalcul de dérivées5

IV Dérivées Successives8

V Quelques Démonstrations8

I Définitions et Interprétation Graphique

Dans cette section, on considère une fonctionfdéfinie sur un intervalleDfdeR, et sa représentation

graphiqueCf.

Commençons par la définition centrale de ce chapitre, que nous tenterons ensuite d"éclaircir.

Définition 1

Soitaun réel dansDf.

La fonctionfestdérivable enasi et seulement si le quotient f(x)-f(a) x-a admet une limite finie quandxtend versa. Dans ce cas, lenombre dérivé defena(ou simplementla dérivée defena) est le réel f ?(a) := limx→af(x)-f(a) x-a.

Remarque 1

Dans la Définition 1, il revient au même de demander, pour qu"une fonctionfsoit dérivable ena, que

f(a+h)-f(a) haie une limite finie quandhtend vers0.

Donnons une paire d"exemples numériques :

1

DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020

Exemple 1

La fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2+ 2012est-elle dérivable en0? On a f(x)-f(0) x-0=(x2+2012)-(02+2012)x=x2x=x, qui tend vers0lorsquextend vers0. Doncfest dérivable en0, et sa dérivée en0est : f ?(0) = limx→0f(x)-f(0) x-0= limx→0x= 0. Plus généralement, pour tout réela?R, on af(x)-f(a) x-a=(x2+2012)-(a2+2012)x-a=x2-a2x-a=x+a, qui admet bien une

limite finie lorsquextend versa. Doncfest dérivable en tout pointadeR, et sa dérivée enaest :

f ?(a) = limx→af(x)-f(a) x-a= limx→ax+a= 2a.

Exemple 2

La fonction valeur absolue est-elle dérivable en0?

Poura= 0, on af(x)-f(a)

x-a=|x|x. On doit distinguer les limites à droite et à gauche : on alimx→0x>0|x|x= 1, etlimx→0x<0|x|x=-1

Donc |x|

xn"admet pas de limite lorsquextend vers0: la fonction valeur absolue n"est donc pas dérivable en0.

Essayons maintenant de comprendre cette notion géométriquement. Commençons par donner une interprétation graphique du quotientf(x)-f(a) x-aqui intervient dans cette

définition. SoitAle point de coordonnées(a;f(a))sur la courbeCf, et soitMun point deCf, différent

deA. Les coordonnées deMsont de la forme(x,f(x)), pour un réelx?Df(x?=a). Voir la figure de

gauche ci-dessous. Comme nous l"avons vu dans le chapitre "Droites et Système", le coefficient directeur

de la droite(MA)est donné par : f(x)-f(a) x-a. On dit que cette quantité est letaux d"accroissementde la fonctionfena. f(a) aA M xf(x) f(a) aA Maintenant, lorsquextend vers la valeura, la droiteMAse rapproche de la tangente àCfenA. La

tangente àCfenaest, en quelque sorte, une droite qui " touche » la courbeCfau plus près au point

A: cette droite passe par le pointA, et effleure la courbe en ce point (la courbe et sa tangente forment

alors un angle nul). Voir la figure de droite ci-dessus. Ainsi, on peut interpréter graphiquement le nombre

dérivé defenaainsi : f ?(a)est le coefficient directeur de la tangente àCfena , lorsque ce coefficient directeur existe.

Plus généralement, on a

-2-

DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020

Propriété 1

Soitfune fonction dérivable ena. Une équation de la tangente àCfenA(a,f(a))est y=f?(a).(x-a) +f(a).

Démonstration:Puisquef?(a)est le coefficient directeur de la tangente àCfena, cette droite admet

une équation de la formey=f?(a).x+b, où le réelbest à déterminer. Puisque cette droite passe par le

pointA(a;f(a)), on a : y

A=f?(a).xA+b?f(a) =f?(a).a+b?b=f(a)-f?(a).a.

En remplaçant dans l"equation de la tangente, on obtient donc : y=f?(a).x+ (f(a)-f?(a).a)?y=f?(a).(x-a) +f(a).

Exemple 3

Soitfla fonction définie surR+parf(x) =⎷

x-1, et soitCfsa courbe représentative. Déterminons siCfadmet une tangente enx= 1, et l"équation de cette tangente le cas échéant. On a f(x)-f(1) x-1=(⎷ x-1)-(⎷1-1) x-1=⎷ x-1 x-1=1⎷x+1, Orlimx→11⎷x+1=12, doncfest dérivable en1, et sa dérivée en1 estf?(1) =1

2. La courbeCfadmet donc une tangente enx= 1.

L"équation de cette tangente est donc donnée pary=1

2(x-1) +f(1) =12(x-1).

Quand est-ce qu"une fonction n"estpasdérivable en un point? La figure ci-dessous présente trois situations

où cela peut se produire : af(a)

Cas 1Cas 2af(a)

Cas 3 af(a) Cas 1 : La fonctionfn"est pas continue enx=a. Dans ce cas, la courbeCfn"admet pas de tangente en ce point.

Cas 2 :limx→af(x)-f(a)

x-a=±∞. Dans ce cas, la courbeCfadmet une tangente verticale en ce point.

Cas 3 :limx→ax>af(x)-f(a)

x-a?= limx→ax a en ce point deux 'demi-tangentes" de directions différentes.

Le Cas 1 montre qu"une fonction qui n"est pas continue en un point n"est pas non plus dérivable en ce

point. En prenant simplement la contraposée de cette implication, on obtient l"énoncé : -3-

DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020

Propriété 2

Si une fonction estfdérivable ena, alorsfest continue ena.

En revanche, la réciproque est fausse : une fonctionfcontinue enan"est pas nécessairement dérivable

ena. Par exemple, la fonction valeur absolue est bien continue surR. Mais elle n"est pas dérivable en0:

son graphe présente en effet une allure similaire au cas 3 ci-dessus (cf Exemple

2plus bas).

II Fonction dérivée

Définition 2

Soitfune fonction définie sur un intervalleI. On dit quefestdérivable surIsi et seulement si

fest dérivable en chaque réelxdeI. Lafonction dérivée def, notéef?, est alors la fonction qui à

chaque réelxdeIassocie le nombre dérivéf?(x)de la fonctionfenx.

Exemple 4

Revenons sur l"Exemple

1. Nous y avons vu que la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2+2012est dérivable en tout

pointadeR, et sa dérivée enaest :f?(a) = 2a. Autrement dit, la fonction dérivée defest la fonctionf?définie sur

Rparf?(x) = 2x.

Ainsi, associée à la fonctionf, nous avons cette nouvelle fonctionf?, qui mesure 'l"inclinaison de la courbe

représentative def" en chaque point. Comprendre la fonction dérivéef?nous permettra donc de mieux

comprendre la fonctionf. En particulier, le signe de la fonctionf?nous donne les variations de la fonctionf:

Propriété 3

Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI. ?Sif?>0(respectivementf?<0), alorsfest strictement croissante surI(respectivement stricte- ment décroissante surI).

En effet, sif?(a)≥0poura?I, cela signifie que la tangente au graphe defen ce point a un coefficient

directeur positif. Autrement dit, la courbe defa tendence à 'monter" en ce point.

De plus, la fonction dérivée permet de déterminer les extremas de la fonctionf. En effet, d"après la Defi-

nition 1, on a donc que, si une fonction est dérivable enaet quef?(a) = 0, alors la courbe représentative

-4-

DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020

defadmet en ce point une tangente horizontale. La figure ci-dessous illustre deux telles situations :

af(a) af(a)

On a en géneral :

Propriété 4

Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI. Soitaun réel dansI, et qui n"est pas une borne de

I. ?Sif(a)est un extremum local def, alorsf?(a) = 0. ?Si la fonctionf?s"annuleetchange de signe ena, alorsf(a)est un extremum local def.

Dans la seconde partie de l"énoncé, il faut quef?change de signe enapour avoir un extremum local en

ce point. En effet, si la fonctionfs"annule enamais ne change pas de signe, on a une situation comme représentée à gauche dans la figure ci-dessus.

Exemple 5

La dérivée de fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2+ 2012est donnée parf?(x) = 2x(cf exemple pécédent). On en

déduit que

?La fonctionfest strictement décroissante sur]-∞;0[et strictement croissante sur]0;+∞[(puisquef?(x)<0sur

]- ∞;0[etf?(x)>0sur]0;+∞[).

?La fonctionfadmet un extremum (ici, un minimum) enx= 0(puisquef?s"annule et change de signe en ce point).En effet, la courbe représentative defest une parabole, comme vu dans le chapitre sur les fonctionsde référence.

III Calcul de dérivées

Dans les quelques exemples vus jusqu"à présent, nous sommespassés par la Définition 1 pour les calculs

de dérivées. Nous allons voir dans cette section que nous pouvons en général faire ces calculs à partir de

formules pour les dérivées de quelques fonctions de référence simples. Propriété 5 (Dérivées des fonctions de références usuelles)

Les fonctions de références usuelles données dans le tableau suivant sont dérivables sur l"intervalle

indiqué :

Fonctionf(x)dérivable sur Dérivéef?(x)

k(fonction constante)R0 xR1 x 2R2x x n(n≥1)Rnxn-1 -5-

DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020

Fonctionf(x)dérivable sur Dérivéef?(x)

1 xR?-1x2 1 xn(n≥1)R?-nxn+1 x]0;+∞[12⎷x cosxR-sinx sinxRcosx

Remarque 2

On note que les seconde et troisième lignes (dérivées dexetx2) sont deux cas particuliers de la ligne

suivante (dérivée dexnoùn≥1). De même, la formule de la dérivée de1/xn"est qu"un cas particulier

de la dérivée de1/xn(n≥1).

En combinant le résultat précédent avec la propriété suivante, nous serons en mesure de calculer les

dérivées de nombreuses fonctions. Propriété 6 (Dérivée d"une somme, d"un produit, d"un inverse, d"un quotient)

Soituetvdeux fonctions définies et dérivable sur un même intervalleI. Soitαun réel quelconque.

Les fonctions données dans le tableau suivant sont dérivables sur l"intervalle indiqué :

Fonctionf(x)dérivable sur Dérivéef?(x)

u+v I u?+v?

α.v I α.v

u.v I u ?v+v?u 1 vI\ {x?I;v(x) = 0}-v?v2 u vI\ {x?I;v(x) = 0}u?v-v?uv2

Remarque 3

Dans les deux dernières ligne,I\ {x?I;v(x) = 0}désigne simplement l"ensemble de définition de la

fonction.

Par ailleurs, on note que la fonctionα.v(seconde ligne) est un cas particulier de fonction du typeu.v, où

uest la fonction constanteu(x) =α. De même, la fonction1/v(quatrième ligne) est un cas particulier

de fonctionu/v, oùuest la fonction constanteu(x) = 1.

Exemple 6

Les fonctions polynômes et fractions rationelles sont dérivables sur leur ensemble de définition. Par exemple :

-6-

DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020

?La fonction polynômef(x) = 4x6-3x5+ 2x+ 5est dérivable surR, et sa dérivée est donnée parf?(x) =

4.(6x5)-3.(5x4) + 2.(1) + (0)(où les parenthèses donnent les dérivées des fonctions de référencex6,x5,xet5).

Doncf?(x) = 24x5-15x4+ 2.

?La fonctiong(x) =x2+ 5x+ 4

3x-2est de la formeu/vavecu(x) =x2+5x+4etv(x) = 3x-2. Or on au?(x) = 2x+5

etv?(x) = 3. La fonctiongest donc dérivable surR\ {2/3}, et sa dérivée est donnée par g ?(x) =(2x+ 5)(3x-2)-(x2+ 5x+ 4)3 (3x-2)2=3x2-4x-16(3x-2)2

Exemple 7

La fonctionh(x) =x⎷

xest de la formeu.vavecu(x) =xetv(x) =⎷x. La fonctionhest donc dérivable sur]0;+∞[, et sa dérivée est donnée par h ?(x) = 1.⎷

Exemple 8

La fonction tangente est définie partanx=sinx

cosx, et est donc de la formeu/vavecu(x) = sinxetv(x) = cosx. Elle est donc dérivable surR\?π

2+kπ;k?Z?, et sa dérivée est donnée par

(cosx)(cosx)-(-sinx)(sinx) cos2x=1cos2x. (caru?(x) = cosxetv?(x) =-sinx, et carcos2x+ sin2x= 1).

On note au passage que

1 cos2x=cos2x+ sin2xcos2x= 1 +sin2xcos2x= 1 + tan2x.

De plus, la composée de deux fonctions dérivable est dérivable sur son ensemble de définition.

Propriété 7 (Dérivée d"une fonction composée)

Soitvune fonction dérivable sur un intervalleJ. Soituune fonction dérivable sur un intervalleItel

que, pour toutxdansI,u(x)est dansJ. Alors la fonctionf=u◦v(définie surIparf(x) =u(v(x))) est dérivable surI, et sa dérivée est donnée par f ?(x) =u?(v(x)).v?(x).

Remarque 4

Une version synthétique de cette formule est :(u◦v)?= (u?◦v)·v?.

Exemple 9

La fonctiong(x) = (3x2+ 1)8est définie et dérivable surR. Elle est de la formef=u◦vavecu(x) =x8et

v(x) = 3x2+ 1. La dérivée defest donc donnée par f ?(x) =u?(v(x)).v?(x) = 8(v(x))7.v?(x) = 8(3x2+ 1)7.6x= 48x(3x2+ 1)7.

Exemple 10

La fonctionf(x) =⎷

3x2+ 1est définie et dérivable surR(car3x2+ 1>0pour tout réelx). Elle est de la forme

f=u◦vavecu(x) =⎷ xetv(x) = 3x2+ 1. La dérivée defest donc donnée par f ?(x) =u?(v(x)).v?(x) =1

2?v(x).v?(x) =12?3x2+ 1).6x=3x⎷3x2+ 1.

Enfin, concluons cette section par un résultat sur les fonctions réciproques (notion introduite à la fin du

chapitre précédent). -7-

DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020

Propriété 8 (Dérivée des fonctions réciproques) Soitfune fonction dérivable et strictement monotone d"un intervalleIvers l"intervalleJ=f(I). Si f ?(x)?= 0pour toutx?I, alors la fonction réciproquef-1est dérivable surJet f-1??(x) =1 (f?◦f-1)(x).

Nous ne donnons ci-dessous que deux exemples. Le premier permet de retrouver la formule de la dérivée

de la racine carrée vue précédemment, tandis que la seconde permet de trouver la dérivée de la racine

cubique.

Exemple 11

La fonction carréef(x) =x2est définie et strictement croissante sur tout intervalleIdeR+. Elle est dérivable surR+,

de dérivéef?(x) = 2x. Sa fonction réciproque est la fonction racine carréef-1(x) =⎷ x, définie elle aussi surR+. La

fonction racine carrée est donc dérivable sur tout intervallene contenant pas0(carf?(0) = 0), et sa dérivée est donnée

par?f-1??(x) =1 (f?◦f-1)(x)=12(f-1(x))=12⎷x.

Exemple 12

La fonction cubeg(x) =x3est définie et strictement croissante sur tout intervalleIdeR. Elle est dérivable surR,

de dérivéeg?(x) = 3x2. Sa fonction réciproque est la fonction racine cubiqueg-1(x) =3⎷ x, définie elle aussi surR.

La fonction racine cubique est donc dérivable sur tout intervallene contenant pas0(carg?(0) = 0), et sa dérivée est

donnée par?g-1??(x) =1

IV Dérivées Successives

Soitfune fonction dérivable sur l"intervalleIdeR. Supposons que la fonction dérivée soit elle-même

dérivable surI. Nous pouvons alors définirf??= (f?)?:I→R. Cette fonction s"appelledérivée seconde

def. On la note aussif(2). De manière plus générale, sifest dérivablenfois surI, ladérivéen-ièmede

f, notéef(n), est donnée de façon récursive parf(n)= (f(n-1))?.

Remarque 5

N"oubliez pas les parenthèses dansf(n). En effet,fndésigne usuellement la puissancen-ième def. Par

convention,f(0)=f.

Une fonction polynôme est dérivablenfois surR, pour tout entiern≥1: en effet, toute fonction polynôme

est dérivable surR, et la dérivée d"une fonction polynôme est à nouveau une fonction polynôme!

Exemple 13

Soitg(x) =x3. Alors,gest dérivable à tout ordre surR(c"est à dire qu"elle est dérivablenfois, pour tout entier

n≥1), et pour toutx?R, on a : g ?(x) = 3x2, g(2)(x) = 6x, g(3)(x) = 6,et pour toutn≥4,g(n)(x) = 0. -8-

DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020

V Quelques Démonstrations

Dans cette section on donne les preuves de quelques unes des propriétés vues précédemment.

Opérations sur les dérivées (Propriété 6)

Dérivée deu+v: le taux d"accroissement deu+ventrexetaest égal à la somme des taux d"accroissements

deuetv:(u+v)(x)-(u+v)(a) x-a=u(x)-u(a)x-a+u(x)-u(a)x-a. On en déduit immédiatement que la(u+v)?(a) =u?(a) +v?(a).

Dérivée deu.v:

(u.v)(x)-(u.v)(a) x-a=u(x)v(x)-u(a)v(a)x-a u(x)v(x)-u(a)v(x) +u(a)v(x)-u(a)v(a) x-a (u(x)-u(a))v(x) +u(a)(v(x)-v(a) x-a =v(x)(u(x)-u(a)) x-a+u(a)(v(x)-v(a)x-a Maintenant, on fait tendrexvera.vétant dérivable ena, lim x→a(v(x)-v(a) x-a=v?(a), De plus,vest alors continue ena, et doncv(x)tend versv(a). Enfin,uétant dérivable ena, lim x→a(u(x)-u(a) x-a=u?(a). Ainsi, par somme et produit de limites, on obtient : lim x→a(u.v)(x)-(u.v)(a) x-a=v(a)u?(a) +u(a)v?(a).

Dérivée de

u v. On peut procéder dans le même esprit que précédemment, en calculant la limite du taux de variation. On peut également faire comme suit. On posef(x) =u(x) v(x). On au(x) =f(x)v(x). D"après la formule de la dérivée d"un produit, on a donc : u ?(x) =f?(x)v(x) +f(x)v?(x) d"où : f ?(x) =u?(x)-f(x)v?(x) v(x)

Ou encore :

f ?(x) =u?(x)-u(x) v(x)v?(x) v(x)=u?(x)v(x)-u(x)v?(x)v2(x). -9-

DAEU-B - MathsDérivationUGA 2019-2020

Dérivées usuelles (Propriété5)

Traitons le cas de la fonction cubef(x) =x3. Remarquons quef(x) =g(x)h(x)avecg(x) =xet h(x) =x2. En utilisant la formule de la dérivée d"un produit de fonctions (Propriété

6), on obtient :

f ?(x) =g?(x)h(x) +g(x)h?(x) = 1.x2+x.(2x) = 3x2. On peut alors utiliser la même idée pour la fonctionl:x?→x4=x.x3: f ?(x) = 1.x3+x.(3x2) = 4x3.

De proche en proche, on peut ainsi démontrer que la dérivée dex?→xnestnxn-1. Une preuve plus

propre utilise la notion de récurrence.

Cas de la fonctionf(x) =xn(n≥1) :

Soita?R. On va utiliser ici l"identité

x n-an= (x-a)(xn-1+xn-2a+xn-3a2+...+x2an-3+xan-2+an-1), que l"on peut par exemple vérifier en développant le terme de droite. On a donc lim x→af(x)-f(a) x-a= limx→ax n-anx-a= limx→a(xn-1+xn-2a+xn-3a2+...+x2an-3+xan-2+an-1) Or chacun des termes de la somme de droite tend versan-1lorsquextend versa. Puisqu"il y a exactement ntermes dans cette somme, on déduit que lim

x→a(xn-1+xn-2a+xn-3a2+...+x2an-3+xan-2+an-1) = limx→a(an-1+an-2a+an-3a2+...+a2an-3+a.an-2+an-1) =n.a

La fonctionf(x) =xnest donc dérivable surR, de dérivée la fonctionf?(x) =nxn-1.

Cas de la fonction inversef(x) = 1/x:

Soita?R?. On af(x)-f(a) = 1/x-1/a= (a-x)/xa. Donc

lim x→af(x)-f(a) x-a= limx→a1/x-1/ax-a= limx→a(a-x)/xax-a= limx→a-1xa=-1a2. La fonctionf(x) = 1/xest donc dérivable surR?, de dérivée la fonctionf?(x) =-1/x2. Dérivée d"une fonction composée (Propriété 7) Soitf(x) =u◦v(x) =u(v(x)). Pour simplifier, on suppose quev(x)-v(a)ne s"annule pas pourxassez proche dea. f(x)-f(a) x-a=u((v(x))-u(v(a))x-a u((v(x))-u(v(a)) v(x)-v(a)v(x)-v(a)x-a vétant dérivable ena, lim x→av(x)-v(a) x-a=v?(a), De plus,vest alors continue ena, et doncv(x)tend versv(a). Donc : lim x→au((v(x))-u(v(a)) v(x)-v(a)=u?(v(a)) et ainsi, lim x→af(x)-f(a) x-a=u?(v(a))v?(a).quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] fonction cubique graphique

[PDF] conception industrielle définition

[PDF] fonction d'estime définition

[PDF] yaourt mps

[PDF] cours physique mpsi

[PDF] programme maths mpsi

[PDF] programme mpsi maroc

[PDF] fonction de consommation keynésienne exercice

[PDF] fonction de consommation definition

[PDF] fonction d'investissement keynésienne

[PDF] fonction de consommation néoclassique

[PDF] corrigé bac lv1 anglais 2017

[PDF] fonction d'offre microéconomie

[PDF] seuil de fermeture wikipedia

[PDF] municipalité définition québec