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Première L Cours pourcentages d"évolution

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1 Définition

Soit une quantité mesurée à deux dates distinctes :

Dates t0 t1

Valeur de la quantité q0 q1

Le pourcentage d"évolution entre les dates t0 et t1 est le nombre T défini par :

T = q1 - q0

q0 x 100 soit T

100 = q1

q0 - 1 En notant I la valeur initiale et F la valeur finale de la quantité on a :

T = F - I

I x 100

T est aussi appelé taux d"évolution.

Exemple 1

On souhaite comparer l"évolution du poids de deux enfants entre deux dates :

Date 31/12/2005 31/12/2006

Poids du nourrisson (kg) né en 2005 3 9

Poids d"un enfant (kg) âgé de 5 ans en

2005
16 22

Variation absolue Variation

relative

Pourcentage

d"évolution

Nourrisson 9 - 3 = 6 9-3

3 = 2 9-3

3 x 100 = 200

Enfant 22 - 16 = 6 22 - 16

16 = 0,375 22 - 16

16 x 100 = 37,5

Le poids du nourrisson a augmenté de 200%.

Le poids de l"enfant a augmenté de 37,5%.

Exemple 2

Un opérateur de télécommunications décide de baisser le prix de la minute de communication pour les appels vers les Etats-Unis : le tarif passe de 0,14 € à

0,08 € (prix TTC).

T = 0,08 - 0,14

0,14 x 100 » -42,86.

Il y a une baisse de 42,86 % sur ce tarif.

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Remarques :

Lors d"une hausse, T est un nombre positif et le pourcentage peut être supérieur à 100%. Lors d"une baisse, T est un nombre négatif et le pourcentage ne peut être inférieur à -100%. 2

Utilisation

a)

Calculer une valeur après une évolution

Exemple

Il y avait 6 milliards d"habitants sur la planète en 2000. Selon l"ONU il y aurait 33,4 % d"augmentation entre 2000 et 2025. Quelle serait alors le nombre d"individus sur terre en 2025 ?

Réponse :

Si on appelle F ce nombre on a :

F - 6 6 x 100 = 33,4

Soit F = 6 + 6x0,334 = 6 x 1,334 = 8,004

La population serait de 8 milliards d"habitants en 2025.

Propriété

Une quantité dont la valeur initiale est I, est augmentée de T%.

Elle devient F = I x (1 + T

100). Le coefficient multiplicateur est 1 + T

100
Une quantité dont la valeur initiale est I, est diminuée de T%.

Elle devient F = I x (1 - T

100). Le coefficient multiplicateur est 1 - T

100
b) Calculer l"évolution d"un pourcentage instantané

Exemple

La part des ménages connectés à Internet depuis leur domicile est passée de 2% en 1998 à 22% en 2003. On peut apprécier l"évolution de deux façons : En variation absolue : la part des connectés augmente de " 20 points »

En pourcentage d"évolution :

0,22 - 0,02

0,02 x 100 = 1000. La part des ménages connectés a augmenté de 1000%.

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3 Paradoxes

Exemple 1

Le prix d"un article initialement è gal à p, subit une hausse de 20% suivie d"une baisse de 20%. L"article est-il vendu au même prix ?

Réponse

Le prix devient : p (1 + 0,2)(1-0,2) = p x 0,96 = p(1 - 0,04)

Il y a donc une baisse de 4%.

Exemple 2

La population d"une ville nouvelle augmente de 50% en 2006 puis de 30% en 2007.

A-t-elle augmenté globalement de 80% ?

Réponse

Si q est la population en 2005, en 2007 elle devient : q (1 + 0,5) (1+0,3) = q x 1,95 = q x (1 + 0,95)

La population a augmenté globalement de 95%.

Une hausse de t% n"est pas compensée par une baisse de t%. Lorsqu"on cumule deux hausses ou deux baisses successives, les pourcentages d"évolution ne s"ajoutent pas.

4 Evolutions successives

Pour calculer directement le pourcentage global correspondant à des variations successives on utilise les coefficients multiplicateurs. a.

Augmentations successives d"un même taux

Après n augmentations successives du même taux t%,

La valeur d"une grandeur est multipliée par

1 + t 100
n Le taux global T est donné par la relation : 1 + T 100 =
1 + t 100
n

Exemple :

Calculer le pourcentage global correspondant à 3 augmentations successives du même taux de 3%

On a 1 + T

100
1 + 3 100
3 = 1,033 = 1,092727 = 1 + 9,2727 100
Le taux global d"augmentation est donc T = 9,2727 %

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4 Remarque : cas des faibles pourcentages (approximation linéaire) Dans le cas où le pourcentage d"augmentation est faible, on peut estimer l" évolution globale en utilisant une approximation linéaire. Ainsi n augmentations successives d"un faible taux t, peuvent être approchées par une augmentation globale du taux n×t. Exemple : 15 augmentations successives d"un taux de 1 %. Avec l"approximation linéaire : augmentation globale : 15×1 = 15%

Avec les coefficients multiplicateurs : 1,01

15 » 1,16 soit une augmentation globale

de 16 %. On remarque que 15% et 16% sont des valeurs proches. b.

Diminutions successives d"un même taux

Après n diminutions successives du même taux t%,

La valeur d"une grandeur est multipliée par

1 - t 100
n Le taux global T est donné par la relation : 1 - T 100 =
1 - t 100
n

Exemple :

Calculer le pourcentage global correspondant à 4 diminutions successives du même taux de 2%.

On a 1 - T

100
1 - 2 100
4 = 0,984 = 0,92236816 = 1 - 7,763184 100
Le taux global T de diminution est environ 7,76 % c.

Taux moyen

Un prix augmente de T% sur deux ans. Le taux annuel t% qui provoque la même augmentation globale vérifie la relation : 1 + t 100
2 = 1 + T 100

On en déduit : 1 +

t 100
= 1+T 100
Le taux t est appelé taux moyen d"augmentation annuelle.

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Exemple

Sur la période d"un semestre, le prix d"un lecteur de DVD a baissé de 40% en passant de 300 € à 180 €. Le taux moyen de baisse t pour chacun des deux trimestres est tel que : 1 - t 100
2 = 1 - 40 100
= 0,6 1 - t 100
= 0,6 t 100
= 1 -0,6 » 22,5 100
Le taux moyen de baisse sur chaque trimestre est d"environ 22,5%.

L"estimation du prix à la fin du 1

er trimestre est : 300 × 0,6 = 232,5 €quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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