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Produits scalairespage 1Produits scalaires

1 Espaces prehilbertiens reels

1.1 Produit scalaire reel

Denition.Soit E un espace vectoriel reel. Unproduit scalaire surE est une forme bilineaire symetrique denie

positive sur E, c'est-a-dire une application

φ: EE!R

qui verie les proprietes suivantes pour toutxdans E, l'applicationy7!φ(x;y) est lineaire; pour toutydans E, l'applicationx7!φ(x;y) est lineaire;

8(x;y)2E2,φ(x;y) =φ(y;x);

8x2E,φ(x;x)⩾0;

8x2E, ((φ(x;x) = 0))x= 0E).

Un espace prehilbertien reelest un espace vectoriel reel muni d'un produit scalaire. Un espace euclidienest un espace prehilbertien reel de dimension nie.

On peut remarquer qu'apres avoir verie le caractere symetrique (troisieme point), chacun des deux premiers points

(linearite a droite ou a gauche) entra^ne l'autre.

On peut aussi remarquer que le dernier point demande seulement de verier une implication. La reciproque decoule

de la bilinearite, comme le montre le calcul suivant

φ(0E;0E) =φ(0E;0:0E) = 0φ(0E;0E) = 0:

1.2 Exemples de produits scalaires

Exemple 1.SurRn, leproduit scalaire canoniqueest deni comme suit.Etant donne deux vecteurs x= (x1;:::;xn) ety= (y1;:::;yn); leur produit scalaire vaut (xjy) =n∑ k=1x kyk: Exemple 2.SurMn;p(R), leproduit scalaire canoniqueest deni comme suit.Etant donne deux matrices A = (ai;j)1⩽i⩽n;1⩽j⩽pet B = (bi;j)1⩽i⩽n;1⩽j⩽p deMn;p(R), leur produit scalaire vaut (AjB) =n∑ i=1p j=1a i;jbi;j:

Remarque-denition.Latraced'une matrice carree M est la somme de ses coefficients diagonaux1, notee tr(M).

L'application M7!tr(M) est une forme lineaire surMp(R). Propriete.La produit scalaire canonique deMn;p(R) est donne par la formule (AjB) = tr(tAB):

Exemple 3.Notons E l'espace vectoriel reelC0([a;b];R). Un produit scalaire classique sur E est deni par

8(f;g)2E2;(fjg) =∫

b a f(t)g(t) dt:

1. Cette notion sera bien s^ur etudiee en detail a la rentree de septembre.

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Produits scalairespage 2Le caractere deni positif decoule du fait qu'une fonction continue, positive, d'integrale nulle sur un segment non

trivial est identiquement nulle sur ce segment. Exemple 4.Un produit scalaire surR[X] est deni par

8(P;Q)2(R[X])2;(PjQ) =∫

0

P(cos(t))Q(cos(t)) dt:

La seule verication non immediate est celle du caractere deni positif.

Prenons P tel que (PjP) soit nul. La fonctiont7!(P(cos(t)))2est alors une fonction continue et positive sur [0;1],

d'integrale nulle, donc cette fonction est identiquement nulle. On en deduit que le polyn^ome P admet pour racines tous

les elements du segment [1;1] car ce sont les valeurs prises par cos(t) quandtdecrit le segment [0;]. Le polyn^ome P

admet donc une innite de racines. C'est donc le polyn^ome nul. Exemple 5.Un produit scalaire surRn[X] est deni par

8(P;Q)2(Rn[X])2;(PjQ) =n∑

k=0P(k)Q(k): La encore, seul le caractere deni positif merite une attention particuliere. Prenons P dansRn[X] tel que (PjP) soit nul. On obtient alors n k=0P(k)2= 0:

Cette somme est nulle et tous ses termes sont positifs donc tous ses termes sont nuls. Le polyn^ome P admet donc

pour racines les nombres 0;1;:::;n. C'est un polyn^ome deRn[X] qui admet au moins (n+ 1) racines donc c'est le

polyn^ome nul.

Exemple 6.Soit I un intervalle deRnon trivial. Notons E(I) l'ensemble des fonctions continues sur I, a valeurs

reelles, dont le carre est integrable sur I. Cet ensemble est alors un sous-espace vectoriel deC0(I;R) et l'application

(f;g)7!∫ I f(t)g(t) dt est un produit scalaire sur E(I). Les verications sont les m^emes que dans l'exemple 3.

Exemple 7.Les applications

(P;Q)7!∫ +1 0

P(t)Q(t)etdt;(P;Q)7!∫

+1 1

P(t)Q(t)et2=2dt;(P;Q)7!∫

1

1P(t)Q(t)

p 1t2dt

sont des produits scalaires sur l'espace vectorielR[X]. Le caractere deni positif se justie de la m^eme maniere que

dans l'exemple 4. Il y a cependant un travail supplementaire, a savoir demontrer que ces integrales existent bien.

Exemple 8.L'application

(P;Q)7!+1∑ n=0P(n)Q(n) 2 n

est un produit scalaire surR[X]. La encore, il faut justier l'existence de la somme ecrite (la regle de d'Alembert

fonctionne bien). Ensuite, les verications sont directes, a l'exception du caractere deni positif. Si (PjP) est nul, alors

pour toutndansN, le nombre P(n)2=2nest nul donc P possede une innite de racines donc c'est le polyn^ome nul.

1.3 Inegalite de Cauchy-Schwarz

Theoreme.Soit E un espace prehilbertien reel. Pour tout couple (x;y) de vecteurs de E, l'inegalite suivante est alors

valable. (xjy)2⩽(xjx)(yjy): De plus, cet inegalite est une egalite si, et seulement si, les vecteursxetysont colineaires.

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Produits scalairespage 3Demonstration.Prenons un couple (x;y) de vecteurs de E. Remarquons d'abord que sixest nul, alors l'inegalite

est vraie | c'est m^eme une egalite dans ce cas. Supposons donc quexn'est pas nul. Considerons la fonction

f:R!R t7!(tx+yjtx+y): La bilinearite et le caractere symetrique du produit scalaire permettent d'ecrire

8t2R; f(t) = (xjx)t2+ 2(xjy)t+ (yjy):

Commexn'est pas le vecteur nul, le nombre (xjx) n'est pas nul. La fonctionfest donc polynomiale de degre 2.

Le caractere positif du produit scalaire donne maintenant

8t2R; f(t)⩾0:

Ainsi, la fonctionfest une fonction polynomiale de degre 2 qui ne change pas de signe. Son discriminant est donc

forcement negatif. Or son discriminant vaut

4(xjy)24(xjx)(yjy):

Le fait que ce discriminant soit negatif s'ecrit

(xjy)2⩽(xjx)(yjy):

L'inegalite de Cauchy-Schwarz est demontree.

Supposons maintenant que l'egalite est vraie. Sixest nul, alors les vecteursxetysont colineaires. Supposons donc

maintenant quexn'est pas le vecteur nul de E. Reprenons le cheminement du raisonnement precedent. Le fait que

l'egalite (xjy)2= (xjx)(yjy)

soit vraie signie que le discriminant defest nul. Par consequent, ce polyn^ome possede une racinet0, ce qui se reecrit

(t0x+yjt0x+y) = 0:

Le caractere deni positif du produit scalaire donne alorst0x+y= 0E. Les vecteursxetysont donc colineaires.

On a montre que le cas d'egalite implique que les vecteursxetysoient colineaires.

Reciproquement, supposons quexetysont colineaires. Sans perte de generalite, supposons queyest proportionnel

axet notonsun facteur de proportionnalite. On obtient alors (xjy)2= (xjx)2=2(xjx)2et (xjx)(yjy) = (xjx)(xjx) =2(xjx)2donc (xjy)2= (xjx)(yjy): Le theoreme est maintenant completement demontre.□

Etudions maintenant l'ecriture de cette inegalite dans le cadre des produits scalaires proposes precedemment.

Exemple 1.Prenons (x1;:::;xn) et (y1;:::;yn) dansRn. L'inegalite de Cauchy-Schwarz s'ecrit n∑ k=1x kyk) 2 n∑ k=1(xk)2)( n∑ k=1(yk)2)

Remarque.Une autre maniere de demontrer cette inegalite (et le cas d'egalite qui lui est attache) est de prouver la

formule de Lagrange(n∑ k=1(xk)2)( n∑ k=1(yk)2) n∑ k=1x kyk) 2

1⩽i Exemple 3.Prenons deux fonctionsfetgdansC0([a;b];R). L'inegalite de Cauchy-Schwarz donne ∫bquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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