[PDF] Exercices sur le produit scalaire dans le plan

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Exercices sur le produit scalaire dans le plan

I

Dans la figure ci-dessous : ABC est un triangleisocèle en A, AIBJ est un parallélogrammeet BC = 4.

Calculer les produits scalaires suivants :

B? C ?A O ?J ?I

1.-→BC.-→BA

2.

BC.-→JC

3.

BC.-→AJ

4.

BC.-→I A

5.

BO.-→BI

6.

BC.-→CI

II

SoitABCun triangletel queAB=7,BC=3 etAC=5.

1. Exprimer

-→ABà l"aide des vecteurs-→CBet--→C A.

2. En calculant

-→AB2, exprimerAB2à l"aide deAC,BCet cos?C.

3. En déduire une mesure de

?C.

4. Calculer, en degrés, une mesure approchée au centième de

?A.

III Relation métrique du parallélogramme :

Soit ABCD un parallélogramme.

Montrer que la sommedes carrés des diagonalesest égaleà lasomme des carrésdes quatre cotés, c"est-à-dire

que : AC

2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2?AB2+BC2?

(utiliser une des identités remarquables concernant les produits scalaires et la relation de Chasles).

IV

On considère les points A(; 1) et B(-1; 3).

1. Déterminer une équation de la tangente en B au cercleCde centre A passant par B.

2. Déterminer une équation du cercle C.

Correction

I 2.

BC.-→JC=-→BC.BC=42=16

3.

4.-→BC.-→I A=-→BC.?-→IB+-→BA?

5. 6. II

1.AB2=-→AB2=?-→CB---→C A?

2=-→CB2+-→CB2-2--→C A.-→CB=BC2+AC2-2C A×CB×cos?C.

On en déduit : cos

?C=-AB2-AC2-BC2

2AC×BC=-0,5 donc?C=120 °

2. On trouve de même

?A≈21,79 °.. I

ABCDest un parallélogramme.

AC

2+?-→BC+--→CD?

AC2+BD2=AB2+BC2+BC2+CD2=2?AB2+BC2?.

Dans un parallélogramme,la somme des carrés des diagonalesest égale à la somme des carrés des côtés.

II

1.-→AB?-3

2? ! est un vecteur normal de la tangente qui admet donc une équation de la forme : -3x+2y+c=0. La tangente doit passer par B. On en déduit que-3×(-1)+2×3+c=0 doncc=-9. Une équation de la tangente est donc :-3x+2y-9=0.

2. Le rayon du cercle est égal à la distance AB. Or,AB=?

(-3)2+22=?13.

Une équation du cercle est donc

(x-xA)2+?y-yA?2=13, c"est à dire (x-2)2+(y-1)2=13.quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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