[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

8(x;y)2R2f(x+y) =f(x)+f(y):

Montrer que

1.8n2Nf(n) =nf(1).

2.8n2Zf(n) =nf(1).

3.8q2Qf(q) =qf(1).

4.8x2Rf(x) =xf(1)sifest croissante.

Indication pourl"exer cice3 NIl est plus facile de raisonner en prenant un élémentx2E. Par exemple, soitF;Gdes sous-ensembles deE.

Enfin, se rappeler quex2{Fsi et seulement six=2F.Indication pourl"exer cice5 N1.Raisonner par l"absurde.

Raisonner par l"absurde en écri vant

Considérer r+p2

Indication pour

8 N1.f(2) =f(1+1) =, faire une récurrence.

2.f((n)+n) =.

Si q=ab

Utiliser la densité de QdansR: pourx2Rfixé, prendre une suite de rationnels qui croit versx, et une

Correction del"exer cice1 N1.9M2R8x2Rf(x)6M;

2.9M2R9m2R8x2Rm6f(x)6M;

3.8x2Rf(x) =f(x);

4.8x2Rf(x) =f(x);

5.8x2Rf(x)6=0;

6.9a2R8x2Rf(x+a) =f(x);

7.8(x;y)2R2(x6y)f(x)6f(y));

8.8(x;y)2R2(xf(y));

9.9x2Rf(x)6=0;

10.8(x;y)2R2(x6=y)f(x)6=f(y));

11.8n2N9x2Rf(x) =n;

12.8x2Rf(x)6g(x);

13.9x2Rf(x)>g(x).Correction del"exer cice2 NNous allons démontrer l"assertion 1:de deux manières différentes.

SiA6=Bcela veut dire qu"il existe un élémentx2AnBou alors un élémentx2BnA. Quitte à échanger

AetB, nous supposons qu"il existex2AnB. Alorsx2A[Bmaisx=2A\B. DoncA\B6=A[B.Correction del"exer cice3 Nx2{(A[B),x=2A[B

1(FnA) =Enf1(A).

2Qetx=2Q. Par l"absurde supposons quer+x2Qalors il existe deux entiersp0;q0tels que

0. Doncx=p0q

02Qce qui est absurde carx=2Q.

De la même façon sirx2Qalorsrx=p0q

0Et doncx=p0q

2.Méthode "classique".Supposons, par l"absurde, quep22Qalors il existe deux entiersp;qtels quep2=pq

En élevant l"égalité au carré nous obtenonsq22=p2. Doncp2est un nombre pair, cela implique quep

est un nombre pair (si vous n"êtes pas convaincu écrivez la contraposée "pimpair)p2impair"). Donc

0. Comme 0 Bilan : nous avons trouvén12Nstrictement plus petit quen0=minN. Ceci fournit une contradiction.

Conclusion :p2 n"est pas un nombre rationnel.

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3.Soient r;r0deux rationnels avecr 2 (r0r). D"une partx2]r;r0[(car 0compris entreretr0.Correction del"exer cice6 N1.[0;1]\Q. Les majorants :[1;+¥[. Les minorants :]¥;0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure

: 0. Le plus grand élément : 1. Le plus petit élément 0.

2.]0;1[\Q. Les majorants :[1;+¥[. Les minorants :]¥;0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure

: 0. Il nexiste pas de plus grand élément ni de plus petit élément.

3.N. Pas de majorants, pas de borne supérieure, ni de plus grand élément. Les minorants :]¥;0]. La

borne inférieure : 0. Le plus petit élément : 0. 4. n (1)n+1n

2jn2No

. Les majorants :[54 ;+¥[. Les minorants :]¥;1]. La borne supérieure :54 . La borne inférieure :1. Le plus grand élément :54 . Pas de plus petit élément.Correction del"exer cice7 N1.Vrai. 2.

F aux.C"est vrai a vecl"h ypothèseBAet nonAB.

3. Vrai. 4.

F aux.Il y a ég alité.

5. Vrai. 6.

Vrai. Correction del"exer cice8 N1.Calculons d"abord f(0). Nous savonsf(1) =f(1+0) =f(1)+f(0), doncf(0) =0. Montrons le

résultat demandé par récurrence : pourn=1, nous avons bienf(1) =1f(1). Sif(n) =nf(1)alors f(n+1) =f(n)+f(1) =nf(1)+f(1) = (n+1)f(1). 2.

0 =f(0)=f(1+1)=f(1)+f(1). Doncf(1)=f(1). Puiscommeci-dessusf(n)=nf(1)=

nf(1). 3.

Soit q=ab

. Alorsf(a) =f(ab +ab ++ab ) =f(ab )++f(ab )(btermes dans ces sommes). Donc f(a) =bf(ab ). Soitaf(1) =bf(ab ). Ce qui s"écrit aussif(ab ) =ab f(1). 4.

Fixons x2R. Soit(ai)une suite croissante de rationnels qui tend versx. Soit(bi)une suite décroissante

de rationnels qui tend versx: a

16a26a36:::6x66b26b1:

Alors commeai6x6biet quefest croissante nous avonsf(ai)6f(x)6f(bi). D"après la question

précédent cette inéquation devient :aif(1)6f(x)6bif(1). Comme(ai)et(bi)tendent versx. Par le

"théorème des gendarmes" nous obtenons en passant à la limite :xf(1)6f(x)6xf(1). Soitf(x) = xf(1).6quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46