[PDF] La théorie des courbes et des équations dans la Géométrie

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UNIVERSIT´E PARIS 7-DENIS DIDEROT´Equiperehseis-umr7596, 59 rue Nationale, Tour Montr´eal 1er´etage,

Dalle les Olympiades, 75013 Paris.

Th`ese de doctorat de l"Universit´e Paris 7-Denis Diderot en

´Epist´emologie, Histoire des sciences

S´ebastienMaronne

La th´eorie des courbes et des ´equations dans la

G´eom´etrie cart´esienne : 1637-1661

Th`ese dirig´ee par M. MarcoPanza, Directeur de recherche au CNRS

Soutenue le mercredi 19 septembre 2007

Jury :

M. HenkBos, Professeur honoraire `a l"universit´e d"Aarhus, rapporteur. M. MassimoGaluzzi, Professeur `a l"universit´e de Milan, rapporteur. M. VincentJullien, Professeur `a l"universit´e de Nantes. M. RoshdiRashed, Directeur de recherche ´em´erite au CNRS. Mme ElisabethSchwartz, Professeur `a l"universit´e Blaise Pascal-Clermont-Ferrand II. M. Jean-JacquesSzczeciniarz, Professeur `a l"universit´e Paris 7-Denis Diderot,

Pr´esident.

ii "Quel bonheur, quel repos pour un esprit fatigu´e de chercher la v´erit´e en lui-mˆeme de se dire qu"elle est situ´ee, hors de lui, aux feuillets d"un in-folio jalousement conserv´e dans un couvent de

Hollande.»

Marcel Proust,Journ´ees de lecture

Table des mati`eresPr´efacexi

Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii Avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii

Introduction G´en´erale1

Deux lectures de laG´eom´etrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Quatre G´eom´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Trois probl`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Deux questions de continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 La constitution des objets math´ematiques dans les G´eom´etries . . . 7

1 Les Commentaires sur laG´eom´etrie11

1.1 L"Introduction `a la G´eom´etriede Haestrecht . . . . . . . . . . 12

1.2 LesNotes Br`evesde Debeaune . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Les ´editions latines de laG´eom´etrie. . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1 LaGeometriade 1649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.2 LaGeometriade 1659-1661 . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.3 Le rˆole des ´editions latines . . . . . . . . . . . . . . . . 29

I Le probl`eme de Pappus 31

Introduction33

2 La solution de Descartes37

2.1 Une solution moderne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Un exemple simple : le cas du carr´e . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 La solution cart´esienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

iii ivTABLE DES MATI`ERES

2.3.1 La reformulation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.2 L"expression des lignes du probl`eme et la question des

signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.3 Une comparaison avec la solution moderne . . . . . . . 53

2.3.4 L"´etude de l"´equation du lieu . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3.5 La construction de l"´equation du lieu et la d´etermination

des coniques solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.3.6 Un exemple num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4 La parabole cart´esienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.4.1 La parabole cart´esienne solution du probl`eme de Pappus 73

2.4.2 La description de la parabole cart´esienne par mouve-

ment compos´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3 Avant laG´eom´etrie: 1631-1637 83

3.1 La lettre `a Golius de janvier 1632 . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.1 Deux critiques de Descartes sur sa solution . . . . . . . 84

3.2 Les d´efis cart´esiens : 1632-1637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2.1 Les d´efis cart´esiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2.2 Les solutions des adversaires . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Apr`es laG´eom´etrie: 1637-1656 93

4.1 Les affirmations cart´esiennes : 1638-1639 . . . . . . . . . . . . 93

4.1.1 La"composition»des lieux solides . . . . . . . . . . . 94

4.2 Debeaune et le probl`eme de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.1 Les regrets cart´esiens : la lettre `a Debeaune du 20

f´evrier 1639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.2 Une question de lieu de Debeaune . . . . . . . . . . . . 100

4.2.3 Les observations de Debeaune dans lesNotes Br`eves. 104

4.3 La controverse avec Roberval : 1638-1646 . . . . . . . . . . . . 108

4.3.1 La composition des lieux solides . . . . . . . . . . . . . 109

4.3.2 Les figures du probl`eme de Pappus . . . . . . . . . . . 110

4.3.3 L"interpr´etation du texte de Pappus . . . . . . . . . . . 112

4.4 La controverse de 1648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4.1 La lettre de Descartes `a Schooten de mars-avril 1648 . 115

4.4.2 L"´eclaircissement de Descartes . . . . . . . . . . . . . . 120

4.4.3 Une solution de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.5 La Correspondance avec Carcavi de 1649 . . . . . . . . . . . . 126

4.6 Une reprise de la controverse en 1656 . . . . . . . . . . . . . . 132

TABLE DES MATI`ERESv

Conclusion137

II Les m´ethodes des normales et des tangentes 141

Introduction143

5 La m´ethode des normales de Descartes 147

5.1 Une pr´esentation modernisante . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.1.1 Description de la m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.1.2 Les difficult´es d"une interpr´etation modernisante . . . . 152

5.2 Deux remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.3 La pr´esentation cart´esienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.3.1 Mesurer les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.3.2 Normales et tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.3.3 Une analyse g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.3.4 Une analyse alg´ebrique d"origine arithm´etique . . . . . 166

5.3.5 Les exemples cart´esiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.4 La transformation des ´equations des courbes . . . . . . . . . . 172

5.5 Une d´emonstration du th´eor`eme de Hudde . . . . . . . . . . . 174

5.5.1 Retour sur les exemples cart´esiens . . . . . . . . . . . . 180

5.5.2 Une application par Schooten du th´eor`eme de Hudde

au probl`eme des normales . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6 La th´eorie d"Apollonius185

6.1 Golius et le manuscrit arabe desConiques. . . . . . . . . . . 185

6.2 Une lettre de Mylon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.3 Le Livre V desConiquesd"Apollonius . . . . . . . . . . . . . . 189

6.4 Droitesminimumet tangentes chez Apollonius . . . . . . . . . 191

6.4.1 Les propositions 27 et 28 du Livre V : des d´emonstrations

quantitatives intrins`eques . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.4.2 Les propositions 53 du Livre I et 5 du Livre VII : la

r´eduction `a l"axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.4.3 La propri´et´e dioptrique du foyer de la parabole . . . . 200

6.4.4 Les propositions 29, 31 et 32 du Livre V : des d´emonstrations

qualitatives extrins`eques . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.5 Droitesminimumet tangentes chez Euclide . . . . . . . . . . 204

6.6 Une comparaison avec Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

viTABLE DES MATI`ERES

6.7 La droiteminimum`a la parabole . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.7.1 La proposition 4 du Livre V desConiquesd"Apollonius 209

6.7.2 La proposition 8 du Livre V desConiquesd"Apollonius 211

6.7.3 Une d´emonstration par analyse des propositions 4 et 8

du Livre V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7 Une question de dioptrique 217

7.1 Les ovales dans lesExcerpta Mathematica. . . . . . . . . . . 217

7.1.1 Un probl`eme inverse des normales . . . . . . . . . . . . 219

7.1.2 La normale `a une ovale `a deux foyers . . . . . . . . . . 230

7.2 Les ovales dans laG´eom´etriede 1637 . . . . . . . . . . . . . . 237

8 Les m´ethodes des tangentes de Fermat 243

8.1 La premi`ere m´ethode de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

8.1.1 L"algorithme de recherche d"extremum. . . . . . . . . 247

8.1.2 Un exemple d"application . . . . . . . . . . . . . . . . 249

8.1.3 Deux m´ethodes de recherche d"extremum? . . . . . . . 250

8.1.4 La premi`ere m´ethode des tangentes . . . . . . . . . . . 252

8.1.5 Le fondement de la m´ethode de Fermat : une propri´et´e

d"extremum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8.2 La deuxi`eme m´ethode de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 258

8.2.1 Ad´egalisation et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 259

8.2.2 La m´ethode expliqu´ee et envoy´ee `a Descartes . . . . . . 260

8.2.3 L"´ecrit de Fermat de 1640 sur les tangentes . . . . . . . 263

8.3 La troisi`eme m´ethode de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.3.1 Le pamphlet de Beaugrand de 1640 . . . . . . . . . . . 264

8.3.2 L"ellipse et l"hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

8.3.3 Les hyperboles g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . 268

8.3.4 La parabole cart´esienne . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

8.3.5 La premi`ere ligne de Debeaune . . . . . . . . . . . . . 272

8.4 La tangente `a la parabole selon Apollonius . . . . . . . . . . . 274

8.4.1 La d´emonstration de la proposition I.33 . . . . . . . . . 275

8.4.2 Le fondement de la d´emonstration d"Apollonius : un

diorisme pour l"application elliptique d"une aire . . . . 277

8.4.3 La d´emonstration de la proposition I.34 . . . . . . . . . 278

8.4.4 La d´emonstration de la proposition I.35 . . . . . . . . . 284

8.4.5 La notion de tangente chez Euclide et Apollonius . . . 285

8.4.6 Fermat et Apollonius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

TABLE DES MATI`ERESvii

9 La controverse sur les tangentes 291

9.1 La lettre de Descartes de janvier 1638 . . . . . . . . . . . . . . 292

9.1.1 Une application fausse de la m´ethode de Fermat `a la

tangente `a la parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

9.1.2 L"interpr´etation de l"extremumdans la m´ethode des

tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

9.1.3 La comparaison de la m´ethode des normales et de la

m´ethode des tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

9.2 L"´ecrit contre Roberval et Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . 299

9.2.1 L"usage de la propri´et´e sp´ecifique de la courbe dans la

m´ethode de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

9.3 La lettre de Descartes du 3 mai 1638 . . . . . . . . . . . . . . 306

9.3.1 La tangente consid´er´ee comme lignemaximum. . . . . 306

9.3.2 L"exemple de la tangente au cercle . . . . . . . . . . . 308

9.3.3 Une correction de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . 312

9.4 La lettre de Fermat de juin-juillet 1638 . . . . . . . . . . . . . 318

9.4.1 M´ethode des tangentes et droiteminimum. . . . . . . 320

9.5 La d´emonstration de la r`egle de Fermat . . . . . . . . . . . . . 324

9.6 L"extremumd"un rapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

10 Les questions de Debeaune 333

10.1 Descartes et Debeaune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

10.2 La tangente de la premi`ere ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

10.2.1 Debeaune et la m´ethode de Fermat . . . . . . . . . . . 336

10.2.2 Une difficult´e : la r´esolution du syst`eme ens2etv. . . 338

10.3 La deuxi`eme ligne de Debeaune . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

10.3.1 L"´enonc´e du probl`eme inverse des tangentes . . . . . . 341

10.3.2 La solution de Debeaune dans la lettre `a Roberval du

10 octobre 1638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

10.3.3 Deux probl`emes de mˆeme nature? . . . . . . . . . . . . 345

10.4 La gen`ese de la m´ethode des tangentes . . . . . . . . . . . . . 347

10.4.1 La datation de la m´ethode des tangentes de Debeaune 347

10.4.2 La lettre de Descartes `a Debeaune du 20 f´evrier 1639 . 348

10.4.3 L"envoi des pi`eces de la controverse sur les tangentes

par Descartes `a Debeaune . . . . . . . . . . . . . . . . 350

10.4.4 La lettre de Descartes `a Mersenne du 25 d´ecembre 1639 352

10.5 La m´ethode des tangentes de Debeaune . . . . . . . . . . . . . 353

viiiTABLE DES MATI`ERES

10.5.1 La pr´esentation de la m´ethode des tangentes par De-

beaune dans lesNotes Br`eves. . . . . . . . . . . . . . 353

10.5.2 L"application de la m´ethode des tangentes `a la premi`ere

ligne de Debeaune dans lesNotes Br`eves. . . . . . . . 354

Conclusion357

III LeProblema Astronomicum361

Introduction363

11 L"histoire du probl`eme365

11.1 Prologue : une lettre de Descartes de juin 1645 . . . . . . . . . 366

11.2 Descartes et la gnomonique math´ematique . . . . . . . . . . . 367

11.2.1 LesCogitationes Privataede 1619-1621 . . . . . . . . . 369

11.2.2 La lettre du 15 avril 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . 371

11.3 LeProblema astronomicum: 1638-1640 . . . . . . . . . . . . . 373

11.3.1 Stampioen et leProblema Astronomicum. . . . . . . . 373

11.3.2 L"´ecrit flamand de Waessenaer . . . . . . . . . . . . . . 376

11.3.3 L"implication de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . 378

11.3.4 La question de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . 380

11.4 Schooten et les ´editions latines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

11.4.1 L"Additamentumde Frans van Schooten . . . . . . . . 382

11.4.2 Les notes d"

´Erasme Bartholin . . . . . . . . . . . . . . 383

11.5 Les math´ematiciens fran¸cais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

11.5.1 Une suggestion de Claude Mylon? . . . . . . . . . . . . 386

11.6 Une solution de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

12 Les solutions du probl`eme389

12.1 Le probl`eme et ses hypoth`eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

12.1.1 Les pr´e-requis math´ematiques du probl`eme . . . . . . . 389

12.1.2 La gnomonique et le probl`eme des cercles tangents . . 393

12.1.3 Les hypoth`eses physiques du probl`eme et leur traduc-

tion g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

12.1.4 Le nombre des hypoth`eses et la nature des solutions . . 399

12.2 La solution de Descartes-Waessenaer . . . . . . . . . . . . . . 403

TABLE DES MATI`ERESix

12.2.1 Une analyse alg´ebrique pr´eliminaire : l"´equation de l"el-

lipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

12.2.2 Premi`ere partie de l"analyse : la d´etermination de la

position du pointAsur le grand axe de l"ellipse . . . . 405

12.2.3 Seconde partie de l"analyse : une double expression du

cˆot´e droitrde l"ellipse conduisant `a la d´etermination du grand axePQ=qde l"ellipse . . . . . . . . . . . . . 409

12.3 La solution de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

12.3.1 L"´equation de l"ellipse selon Newton . . . . . . . . . . . 414

12.3.2 Premi`ere partie de l"analyse : une expression du coef-

ficient enX2de l"´equation de l"ellipse en fonction des deux autres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

12.3.3 Seconde partie de l"analyse : une double expression du

coefficient enXde l"´equation de l"ellipse conduisant `a la d´etermination du coefficient constant . . . . . . . . . 417

12.4 Une comparaison des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

13 Un th´eor`eme g´eom´etrique423

13.1 Les d´emonstrations de van Schooten . . . . . . . . . . . . . . 425

13.1.1 La d´emonstration synth´etique de 1661 . . . . . . . . . 425

13.1.2 La d´emonstration analytique de 1661 . . . . . . . . . . 427

13.2 Une d´emonstration possible de Descartes . . . . . . . . . . . . 430

13.3 Une question de lieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

13.4 Une d´emonstration projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

Conclusion435

Conclusion G´en´erale437

Bibliographie439

xTABLE DES MATI`ERES

Pr´efaceIntroduction

Pour

1relater l"histoire de ma recherche et, par l`a, tˆacher de m"expliquer

sur ce qui fut mon projet, je veux d"abord citer une autobiographie scienti- fique, une fable selon les mots mˆeme de l"auteur. Je veux bien sˆur parler du Discours de la M´ethode. Descartes y ´ecrit : Mais apr´es que i"eu employ´e quelques ann´ees a estudier ainsi dans le livre du monde & a tascher d"acquerir quelque experience, ie pris un jour resolution d"estudier aussy en moymesme, & d"em- ployer toutes les forces de mon esprit a choysir les chemins que ie devois suivre. Ce qui me reussit beaucoup mieux, ce me semble, que si ie ne me fusse jamais esloign´e, ni de mon pa¨ıs, ny de mes livres. 2 J"ai choisi cet extrait car Descartes y rapporte trois p´eriodes de sa vie intellectuelle marqu´ees par l"´etude de trois domaines distincts : les livres, le monde, soi-mˆeme. C"est par ces trois domaines d"´etude que je souhaite `a pr´esent rendre compte du projet de cette th`ese car, apr`es coup, il me semble qu"ils se sont impos´es successivement `a moi pour ´etudier la G´eom´etrie cart´esienne dans l"ordre inverse de celui o`u ils sont apparus `a Descartes.`A cela, il existe une raison simple qui tient `a la biographie intellectuelle ou, peut-ˆetre, `a la fabrication de cette biographie par l"auteur duDiscours de la M´ethode: la disparition des deux premi`eres p´eriodes derri`ere la derni`ere, une fois advenue.

1Cette pr´eface est une version remani´ee de l"expos´e donn´e lors de la soutenance de

th`ese qui a eu lieu le mercredi 19 septembre 2007 `a Paris.

2Cf. [Descartes(1637b), p. 10-11].

xi xiiPR´EFACE

Soi-mˆeme : l"´episode du poˆele

[...] le commencement de l"hyver m"aresta en un quartier, ou ne trouvant aucune conversation qui me divertist, & n"ayant d"ail- leurs, par bonheur, aucuns soins ny passions qui me troublassent, ie demeurois tout le iour enferm´e seul dans un po¨esle, ou i"avois tout loysir de m"entretenir de mes pens´ees. 3 Lisant leDiscours de la M´ethodeet laG´eom´etrie, on ne peut qu"ˆetre frapp´e par l"ambition du projet cart´esien : reconstruire les math´ematiques par soi-mˆeme en r´einventant la G´eom´etrie par le truchement de l"Alg`ebre. La figure de l""Architecte»4s"impose : Descartes ne dit pas tout, invite le lecteur `a combler les"omissions»5pour s"instruire lui-mˆeme. Pour cette raison, la lecture de laG´eom´etrieest autant passionnante qu"irritante, parfois. Ainsi une fois accept´e le postulat de la modernit´e math´ematique, en parti- culier alg´ebrique, de laG´eom´etrie, j"ai cherch´e d"abord `a restituer les raisons d"ˆetre des calculs alg´ebriques dans la r´esolution des probl`emes g´eom´etriques. Ce fut l"objet de la partie consacr´ee auProblema astronomicum6: j"ali- gnais alors les calculs alg´ebriques pour tˆacher de comprendre la M´ethode cart´esienne. Ce qui apparaˆıt sous la plume de Schooten comme une succes- sion de calculs maladroits qui visent `a ´etablir la d´ependance d"une condition du probl`eme par rapport aux cinq autres, masque un ´el´egant raisonnement alg´ebrique, comme j"ai essay´e de le montrer 7. Je fis plus tard les mˆemes observations en´etudiant la solution du probl`eme de Pappus. La construction du lieu me semble ainsi fond´ee sur une analyse purement alg´ebrique r´esidant dans l"´etude de l"´equation alg´ebrique du lieu g´eom´etrique sans recours v´eritable `a la figure. Je ne peux n´eanmoins pas affirmer cette th`ese sans restriction aucune car Descartes ne donne pas l"ana- lyse mais seulement la construction, ce qu"il souligne, avec malice, dans une lettre `a Mersenne d´ej`a cit´ee auparavant

8. Descartes all`egue dans cette mˆeme

lettre qu"il souhaitait se garder ainsi des"esprits malins».

3Cf. [Descartes(1637b), p. 11].

4J"emprunte ce terme `a Descartes lui-mˆeme. Cf. la lettre bien connue `a Mersenne du

31 mars 1638 : [Descartes(1964-1974), II, p. 83].

5J"emprunte `a nouveau ce terme `a Descartes qui figure entre autresdans cette mˆeme

lettre `a Mersenne du 31 mars 1638 : [Descartes(1964-1974), II, p. 83].

6Cf. [Partie III, p. 363].

7Cf. [Chapitre 13, p. 423].

8Cf. [Descartes(1964-1974), II, p. 83].

PR´EFACExiii

Bien sˆur, une r´eaction spontan´ee au style de laG´eom´etrieet `a la publi- cit´e qui en est faite par son auteur est d"´eprouver la M´ethode et le projet, r´epondant en cela `a l"affirmation cart´esienne selon laquelle un tel trait´e ma- nifesterait une originalit´e irr´eductible `a la tradition et `a la discussion scienti- fique. Je me livre `a cette mise `a l"´epreuve dans la partie consacr´ee au probl`eme de Pappus

9, en ´etudiant plus pr´ecis´ement la question des signes et celle de

la deuxi`eme courbe solution

10, marchant sur les traces de Roberval qui, sous

une forme diff´erente, fit une remarque semblable 11.

Le monde : le"cavalier Descartes»

[...] i"employay le reste de ma ieunesse `a voyasger, a voir des cours & des arm´ees, a fr´equenter des gens de diverses humeurs & conditions, a recueillir diverses experiences, a m"esprouver moy- mesme dans les rencontres que la fortune me proposoit, & partout a faire telle reflexion sur les choses qui se presentoient, que i"en pˆusse tirer quelque profit. 12 Ce qu"il reste de ces rencontres, on le trouve ´eparpill´e dans les cinq vo- lumes de la la Correspondance cart´esienne ´edit´es par Adam-Tannery, que j"ai lus `a la suite. Dans les lettres de la Correspondance, j"ai d´ecouvert l"autre versant de l"OEuvre cart´esienne, la"G´eom´etrie que Descartes n"a pas pu- bli´ee»13, mais aussi l"accueil m´el´e d"incompr´ehension et de d´efiance deLa

G´eom´etrieen France.

Le trait´e qui constituait la nouvelle bible math´ematique aux yeux de son auteur, qui le voyait d´ej`a semble-t-il enseign´e par les J´esuites

14, fut l"objet

de controverses qui touchent ses parties les plus essentielles. La solution du probl`eme de Pappus est ainsi critiqu´ee par Roberval tandis que la m´ethode des normales se trouve affront´ee `a la m´ethode des tangentes de Fermat. Des- cartes r´epond aux controverses avec d´edain, puis emportement, refusede

9Cf. [Partie I, p. 33].

10Cf. [section 2.3.2, p. 46].

11Cf. [section 4.5, p. 126] et [section 4.6, p. 132].

12Cf. [Descartes(1637b), p. 9].

13J"emprunte cette formule `a Pierre Costabel.

14C"est ce qu"on peut inf´erer d"un passage de la lettre `a Mersennedu 27 juillet 1638 :

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