Marianne Tenand marianne.tenand@ens.fr PDF

Théorie du consommateur

Question 4 Calculez la fonction d'utilité indirecte. Question 5 Vérifiez l'identité de Roy pour le bien x. Question 6 Application numérique : déterminez les

Chapitre 1 La théorie du comportement du consommateur

La fonction d'utilité est la deuxième façon de représenter les La fonction d'utilité indirecte décrit l'utilité maximale qui peut être obtenue pour ...

ASPECTS NORMATIFS DE LA CONSOMMATION DES MENAGES

II - Utilité indirecte. III - Fonction dépense et demande hicksienne. IV - Mesures de la variation du bien être avec prix et revenu. V - Utilité et surplus.

Introduction `a lanalyse microéconomique Compléments utiles sur

l'expression de la fonction d'utilité indirecte. Démonstration : Supposons que x? soit solution au PMU pour un revenu R? et un vecteur de prix p?. On.

Exercice 1: problème de maximisation de lutilité

Si on vous avait donné directement la fonction d'utilité indirecte associée au PMU v(p

EP ZZZ 2010 Annexe 3 quelques fonctions

que le revenu est entièrement dépensé (sous l'hypothèse de non-satiété). Les propriétés de cette fonction d'utilité indirecte sont :

Marianne Tenand marianne.tenand@ens.fr

On peut le voir en définissant V la fonction d'utilité indirecte qui pour tout vecteur de prix p et niveau de revenu R donne le niveau d'utilité donné par

Exercices Chapitre 1

e). Quelle est la fonction d'utilité indirecte de ce consommateur? Page 4. 4. QUESTION 4. Soit trois consommateurs ayant les fonctions d'

Résolution du problème de minimisation de la dépense (PMD)

représentées par la fonction d'utilité de type Cobb-Douglas suivante : U(x1x2) = x On peut en déduire la fonction d'utilité indirecte :.

Titre II

La fonction d'utilité mesure donc la satisfaction du consommateur. Elle varie d'une personne à une autre. Le comportement de consommation varie selon l'individu

[PDF] Exercice 1: problème de maximisation de lutilité

Si on vous avait donné directement la fonction d'utilité indirecte associée au PMU v(p m) comment auriez-vous pu trouver directement la fonction de demande

[PDF] Théorie du consommateur

La fonction d'utilité indirecte est la fonction qui permet de déterminer l'utilité atteinte en fonction d'un revenu et d'un système de prix donnés Pour la

[PDF] Chapitre 1 La théorie du comportement du consommateur

La fonction d'utilité est la deuxième façon de représenter les préférences des consommateurs Elle aide à classer les différents complexes x suivant l'ordre

[PDF] cours-micro-J-Berrebehpdf

La fonction d'utilité est la relation entre la quantité consommée et la satisfaction générée par cette consommation Pour simplifier la démonstration on

[PDF] EP ZZZ 2010 Annexe 3 quelques fonctions - Pierre Kopp

La fonction qui relie ainsi le revenu et l'utilité c'est-à-dire l'inverse de la fonction d'utilité indirecte s'appelle la fonction de dépense et est notée E(p

[PDF] TD 4 - Le choix du consommateur - Paris School of Economics

consommateur : taux marginal de substitution maximisation de l'utilité demande marshallienne fonction d'utilité indirecte (exercice 1

[PDF] Chapitre II : Choix du consommateur dans un environnement certain

Propiétés de la fonction d'utilité indirecte : 1 v(pb) est non croissante (décroissante) par rapport à p: si p/ ? p v(pb) ? v(p

[PDF] ECO 7001 – Microéconomie avancée – Automne 2013 Professeur

degree zéro typique des fonctions d'utilités indirectes? Exercice 8 : On suppose qu'en maximisant son utilité un individu dépense tout son rev enu sur les biens

[PDF] ASPECTS NORMATIFS DE LA CONSOMMATION DES MENAGES

25 sept 2006 · II - Utilité indirecte III - Fonction dépense et demande hicksienne IV - Mesures de la variation du bien être avec prix et revenu

[PDF] LA DEMANDE : ANALYSE MICROÉCONOMIQUE APPLIQUÉE

Cette fonction d'utilité indirecte précise l'utilité maximale que l'on peut atteindre pour des niveaux donnés de prix des biens et de revenu du consommateur ;

C'est quoi la fonction d'utilité indirecte ?
La fonction d'utilité indirecte est la fonction qui permet de déterminer l'utilité atteinte en fonction d'un revenu et d'un système de prix donnés. Pour la déterminer, on injecte dans la fonction d'utilité l'expression des demandes marshaliennes en fonction des prix et du revenu.
Comment déterminer la fonction d'utilité ?
L'utilité est une fonction des quantités consommées. Supposons que le consommateur achète deux biens X et Y. La fonction d'utilité s'écrit : U = U (X,Y) C'est cette fonction que le consommateur rationnel doit maximiser.
Comment interpréter le TMS ?
Le TMS c'est la valeur objective que l'on donne à l'acquisition de une unité de bien 1. Plus on dispose de bien 1, plus ce TMS est faible. Donc, l'hypothèse standard est ce que TMS de bien 1 en bien 2 décroisse avec le stock de bien 1 dont on dispose déjà.
En microéconomie, un consommateur de demande hicksienne est la demande d'un consommateur sur un ensemble de biens qui réduit au minimum leurs dépenses tout en offrant un niveau fixe d'utilité. La correspondance est une fonction, elle est appelée la fonction de demande hicksienne, ou fonction de demande de compensation.

Marianne Tenand

marianne.tenand@ens.fr

Microéconomie 1

GpSMUPHPHQP G·pŃRQRPLH (16

2016 -2017

Théorie du consommateur (2):

Résolution analytique de la

demande 1

Questions fondamentales

Nous avons vu comment résoudre graphiquement le

SURNOqPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp SMU OH

consommateur et en déduire la demande marshallienne

Objectif du cours :

Déterminer de manière analytique la demande

Solutions intérieures et solutions en coin

Applications numériques

Caractériser certaines propriétés de la fonction de demande marshallienne Déterminer les relations entre demande hicksienneet demande marshallienne 2

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Def:6RLP XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp 8 XQ HQVHPNOH GHV RNÓHPV

X, un vecteur de prix p> 0 et un niveau de revenu

individuel Ri> 0. Le SURJUMPPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp sous contrainte budgétaire V·pŃULP maxx Ui(x) s.c.p.x" 5iet[ 0 On note xi(p,Ri) la solutionG·XQ PHO SURJUMPPH HP RQ définit xi(p,R) la fonction de demande marshallienne : xi (p,R) = {arg[ 0 [ B(p,R) [max Ui(x)], p > 0, R 0 } 3

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Def: Dans le cadre du problème précédent, on appelle Lagrangien la fonction, notée L(.), définie comme suit:

L([zź) = U(x) ²zp.x²R) + źB[

Où zHP ź VRQP MSSHOpV OHV multiplicateurs de Lagrange associés respectivement aux contraintes: p.x" 5HP [ 0 Intuition : le multiplicateur de Lagrange représente la variation marginalede la valeur atteinte par la fonction objectif U suite à un desserrement marginal de la contrainte auquel il est associé Il est parfois appelé prix implicite de la contrainte 4

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Def: Les conditions de Kuhn et Tuckerassociées au Lagrangien L(x z ź) défini précédemment sont les suivantes :

1.I[zźC[ 0

2.I[zź)/z 0

etI[zź)/ź 0

3.z 0

etź 0

4.z(p.x²R) = 0

et źB[= 0 5

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

On peut réécrire les conditions de Kuhn et Tucker ainsi :

1.I[ z źC[ 0Ù8[C[ ²zSĄ ź 0

2.I[ z źCz 0Ùp.x" 5 (contrainte n°1 =

contrainte budgétaire) etI[ z źCź 0Ùx 0 (contraintes n°2 = contraintes de non-négativité)

3.z 0

etź 0

4.z(p.x²R) = 0

et źB[= 0 6

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

1ercas possible :

1) Solutions intérieures : cas où x > 0 ; alors la condition [4] implique : ź 0 Rappel :lorsque x est de dimension k, ieque x=(x1, x2 " xk), x > 0 ÙSRXU PRXP Ó 1" N xj> 0

La condition [1] peut se réécrire :

U(x)/[ = zBS

AEComme x et p sont des vecteursGH GLPHQVLRQ N1 HP z est un scalaire, la condition [1] se réécrit comme : pour tout j = 1,.., k, 8[Cxj= zSj 7

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Solutions intérieures : ex. avec ŃMV G·XQ HQVHPNOH G·RNÓHPV avec deux biens seulement, xiet xj.

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

8[C[i= zSi

8[Cxj= zSj

Donc :

L 8[Cxi] / pi z L 8[Cxj] / pj

G·RZ

TMSij= L U(x)/[i] / L U(x)/xj] = pi/pj $ O·RSPLPXP OH 706 HQPUH OHV GHX[ NLHQV GRLP rPUH pJMO MX rapport de leurs prix

Rings a bell?

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

2ème cas possible :

2) Solutions en coins : cas où pour un certain j, xj= 0 ;

en revanche on ne peut pas neutraliser źj

Rappel ź HVP XQ vecteurde dimension (1,k)

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP MORUV

8[Cxj= zSj²źj

AEComme x et p sont des vecteursGH GLPHQVLRQ N1 HP z est scalaire, la condition [1] implique que : et8[Cxj൑zSj(car źj൒0) 9

1. Résolution analytique du

problème de maximisation de

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Solutions en coins : ex. avec cas G·XQ HVSMŃH G·RNÓHPV avec deux biens seulement, x1et x2, avec x1= 0.

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

U(x)/x2= zS2

8[C[1= zS1-ź1

GMQV OH ŃMV RZ RQ M ź1> 0 ("vraie» solution en coin, et pas tangence de la courbe G·XPLOLPp j OM GURLPH GH NXGJHP VXU XQ GHV M[HV

Ou encore :

L 8ݔכ)/x1] / p1 Interprétation pPMQP GRQQpV OHV SUL[ GHV NLHQV O·XPLOLPp PMUJLQMOH SMU HXUR dépensé pour le bien 1 est plus faible TXH O·XPLOLPp PMUJLQMOH SMU HXUR GpSHQVp pour le bien 2, de sorte que le consommateur serait prêt à échanger GMYMQPMJH GX NLHQ 1 SRXU MYRLU GMYMQPMJH GH NLHQ 2" Mais il ne peut plus ! 10
1. Résolution analytique du
problème de maximisation de
O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Signification du multiplicateur de Lagrange (solution intérieure) 3RXU XQ ŃRQVRPPMPHXU OH PXOPLSOLŃMPHXU UHSUpVHQPH O·MXJPHQPMPLRQ PMUJLQMOH GH O·XPLOLPp LQGXLPH SMU OH UHOkŃOHPHQP GH OM ŃRQPUMLQPH NXGJpPMLUH SMU H[B XQH augmentation marginale du revenu) On peut le voir en définissant Vla IRQŃPLRQ G·XPLOLPp LQGLUHŃPH, qui pour tout YHŃPHXU GH SUL[ S HP QLYHMX GH UHYHQX 5 GRQQH OH QLYHMX G·XPLOLPp GRQQp SMU OH panier optimal (compte tenu de p et de R) : v(p,R) = U(x) = U(x(p,R)) $ORUV HQ XPLOLVMQP OHV F32 GX SURNOqPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp HP OM ORL GH
Walras, on peut montrer que :

Yp,RC5 z
NB :GqV ORUV TXH OM ORL GH JMOUMV Q·HVP SMV UHVSHŃPpH GRQŃ TXH 8B Q·HVP SMV PRQRPRQH OH GHVVHUUHPHQP GH OM ŃRQPUMLQPH NXGJpPMLUH Q·MSSRUPH MXŃXQ VXSSOpPHQP G·XPLOLPp SXLVTXH OM ŃRQPUMLQPH Q·pPMLP SMV UpHOOHPHQP ŃRQPUMLJQMQPH RX ©binding»). Comme O·LQGLTXHQP OHV ŃRQGLPLRQV GH .XOQ HP 7XŃNHU RQ HVP NLHQ GMQV OH ŃMV RZ z 0 11
1. Résolution analytique du
problème de maximisation de
O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (1)
FMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ VRXV XQH ŃRQPUMLQPH G·pJMOLPp maxU(x1" xk)s.c.g(x1" xk) = c La contrainte peut être une contrainte budgétaire, une contrainte de temps, etc. IH IMJUMQJLHQ V·pŃULP L(x,z 8[ ²z(g(x) ²c)
Conditions de premier ordre (CPO) :

1.3RXU PRXP Ó 1" N L(x,z)Cxj= 0 ÙU(x)Cxj= z J[Cxj

2.L(x,z)Cz= 0 Ùg(x) = c (on retrouve la contrainte)
Exemple :6RLP O OH QRPNUH G·OHXUHV PUMYMLOOpHV SMU ÓRXU O OH QRPNUH G·OHXUHV GH ORLVLUV G OH QRPNUH G·OHXUHV GH VRPPHLOB 2Q VXSSRVH XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp TXL GpSHQG GH O O HP G 8 Ih,l,d). Alors le pbde PM[LPLVMPLRQ SHXP V·pŃULUH Max U(h,l,d) s.c. h + l + d = 24 12
1. Résolution analytique du
problème de maximisation de
O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (2)
FMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ sous P ŃRQPUMLQPHV G·pJMOLPp maxU(x1" xk) s.c.gi(x1" xk) = ci pour i = 1,.., m ziest appelé le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte i
Conditions de premier ordre (CPO) :

2.3RXU PRXP L 1" P L(x,zCzi= 0 Ùgi (x) = ci(on retrouve les m
contraintes) Exemple :FRQVLGpURQV OH ŃMV G·XQH YLHLOOH GMPH ULŃOH VMQV GHVŃHQGMQŃH TXL GRLP décider de la transmission de sa fortune, notée F. Son utilité dépendra des sommes
w, x, y et z versées à quatre fondations. Elle a juré à son défunt mari de léguer un
PLHUV GH OHXUV NLHQV MX[ GHX[ SUHPLqUHV IRQGMPLRQVB FRPPHQP V·pŃULP OH SURNOqPH de maximisation de Madame ? 13
1. Résolution analytique du
problème de maximisation de
O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (3)
FMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ VRXV m ŃRQPUMLQPHV G·inégalité : maxU(x1" xk) s.c.gi(x1" xk " Ńi pour i = 1,.., m FRPPH SUpŃpGHPPHQP OH IMJUMQJLHQ V·pŃULP :
Conditions de premier ordre (CPO) :

2.3RXU PRXP L 1" P L(x,z)/zi 0 Ùgi(x) "ci(on retrouve les m
contraintes) Exemple :Soit un individu qui arbitre entre sa consommation c et son temps de ORLVLU I PRLQV LO SMVVH GH PHPSV j PUMYMLOOHU PRLQV LO M G·MUJHQP SRXU ŃRQVRPPHUB Chaque heure de travail est rémunérée à un salaire horaire net de 9 euros, et O·LQGLYLGX GRLP HIIHŃPXHU MX PLQLPXP 7 OCÓRXUB 6MŃOMQP TXH OM GXUpH G·XQH ÓRXUQpH
HVP GH 24O HP TX·LO M XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp 8 8c,L ŃRPPHQP V·pŃULP HP VH UpVRXP OH
pbG·RSPLPLVMPLRQ GH O·LQGLYLGX VMŃOMQP TX·LO PUMYMLOOH " 14
1. Résolution analytique du
problème de maximisation de
O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (4)
Vous pouvez imaginer toutes les combinaisons possibles : m contraintes de non-QpJMPLYLPp Q ŃRQPUMLQPHV G·pJMOLPp N
ŃRQPUMLQPHV G·LQpJMOLPp HPŃB
Vous devez être capable de résoudre les différents types de
SURNOqPHV G·RSPLPLVMPLRQ
Et au préalable, vous devez savoir poser le problème (!)
Pour vous aider :
4XHOTXHV VOLGHV GH V\QPOqVH VXU O·Optimisation statique VademecumVXU O·RSPLPLVMPLRQ VRXV ŃRQPUMLQPHV pŃULP SMU
Julien Grenet
Le cours de Mathématiques pour économistes 15
1. Résolution analytique du
problème de maximisation de
O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
([HPSOH XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp FRNN-Douglas En posant les conditions de K-T, déterminer la demande marshallienne associée aux préférences représentées par la
IRQŃPLRQ G·XPLOLPp VXLYMQPH

U(x1,x2) = x1ǂx2ǃ

Sachant que:
-LH ŃRQVRPPMPHXU QH SHXP ŃRQVRPPHU TX·XQH TXMQPLPp SRVLPLYH ou nulle des deux biens -Le revenu du consommateur est égal à 20 -Le prix du bien 1 est égal à 2 euros, et le prix du bien 2 à 3 euros La loi de Walras est-elle vérifiée ? La demande marshallienne est- elle homogène de degré 0 ? 16
2. Minimisation de la dépense et
dualité Le problème de minimisation de la dépense (PMD) F·HVP OH SURNOqPH V\PpPULTXH GH ŃHOXL GH OM PM[LPLVMPLRQ GH
O·XPLOLPp 308

On parle de dualitédu PMD et du PMU
Def: Etant donné une fonction U, un ensemble de ŃRQVRPPMPLRQ ; XQ YHŃPHXU GH SUL[ S ! 0 HP XQ QLYHMX G·XPLOLPp
ŃRQPUMLQPH G·XPLOLPp V·pŃULP

Minxp.x
s.c.8[ ഥܷ 17 Def: le Lagrangienassociée au PMD est la fonction, notée L, définie comme suit : I[ z ź -S[ Ą z8[ ²ഥࢁ) + źB[
2Z z HP ź VRQP MSSHOpV OHV multiplicateurs de Lagrange associés
respectivement aux contraintes :
8[ ഥܷ
Les conditions de Kuhn et Tucker se posent de la même manière que pour le PMU Rappel : minimiserune fonction f revient à maximiserla fonction (²f)
2. Minimisation de la dépense et
dualité 18 Def:On note h(p, ഥܷ OM VROXPLRQ G·XQ PHO SURJUMPPH RZ OS ഥܷ est la fonction de demande hicksienne h(p, ഥܷ
S[ 8[ Ö` [min p.x]
Propriétés : VRLP 8 XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp ŃRQPLQXH UHSUpVHQPMQP GHV préférences monotones. Alors pour tout p > 0, ഥܷ de demande hicksienneh(p, ഥܷ
h(p, ഥܷ

Homogénéité de degré 0 en p

Pour tout x
h(p, Ù), U(x) = ഥࢁSMV G·©excèsª G·XPLOLPp Si les préférences sont strictement convexes alors h(p, ഥܷ ŃRQVPLPXp G·XQ uniqueélément pour p et ഥܷ
2. Minimisation de la dépense et
dualité 19 Def:La fonction de dépense, notée e(p, ഥࢁ) est la grandeur p.x, où x* est une solution du programme de minimisation de la dépense (PMD) Equivalent dans le PMU : la IRQŃPLRQ G·XPLOLPp LQGLUHŃPH v(p,R) Si les préférences sont monotones et continues, la fonction de dépense est :
Homogène de degré 1en p

Strictement croissante en ഥܷ

Non-décroissante enpjpour tout j

Concaveen p

Continueen pet en ഥܷ

2. Minimisation de la dépense et
dualité 20
La dualité
On peut montrer que, si U représente des préférences monotones et continues, on a les propriétéssuivantes : Si x* est solution au PMU (avec R > 0), alorsx* est solution au
30G ORUVTXH OH QLYHMX G·XPLOLPp j MPPHLQGUHഥܷ
De plus, le niveau de dépenses (minimum) atteint par le
PMD est exactement égal à R : e(x) = R

Si x est solution au PMD (avec ഥܷ
au PMU lorsque le revenu R est égal à p.x* GH SOXV OH QLYHMX G·XPLOLPp PM[LPXP MPPHLQP GpŃRXOMQP GX PMU est exactement égal à ഥܷ: v(x*) = ഥܷ
GpPRQVPUMPLRQ SMU O·MNVXUGH

2. Minimisation de la dépense et
dualité 21
La dualité implique plusieurs propriétés : Si les préférences sont continues et monotones, alors : Pour les fonctions de demande hicksienneet marshallienne : h(p, ഥࢁ) = x(p, e(p, ഥࢁ))(AEfonction de demande compensée)
x(p,R) = h(p, v(p,R))
Pour les fonctions de GpSHQVH HP G·XPLOLPp LQGLUHŃPH:
e(p, v(p,R)) = R

v(p,e(p, ഥࢁ)) = ഥࢁ

2. Minimisation de la dépense et
dualité 22
Relations entre demandes hicksienneet marshallienne Propriétés : Soit un niveau de revenu R > 0 etഥܷ Les fonctions de demande hicksienneet de demande marshallienne QH VH ŃURLVHQP TX·HQ XQ VHXO SRLQP, le point x tq x(p,R) = h(p,ഥܷ) avec R = e(p,ഥܷ IRUVTX·RQ UHSUpVHQPH OHV IRQŃPLRQV GH GHPMQGH hicksienneet marshallienne dans le plan (p,x), la fonction de demande hicksienneest plus "pentue» que la fonction de demande marshallienne lorsque x est un bien normal F·HVP O·LQYHUVH lorsque x est un bien inférieur Loi de la demande compensée :On suppose que h(p,ഥܷ pour tout p > 0. Alors la fonction de demande hicksiennevérifie :
3RXU PRXP S· S·· ! 0S··-S·BLOS··ࢁ) ²OS·ࢁ@ " 0

2. Minimisation de la dépense et
dualité 23

Identité de Roy

3RXU PRXP Ó 1"N xj(p,R) = -LYp,RCpj@CLYp,R)/R]

Lemme de Shepard

3RXU PRXP Ó 1"N Hp,u0)Cpj= hj(p,u0)

Equation de Slutsky
[i(p,RCpj= LOi(p, u0)/pj]²xj(p,R)Lxi(p,R)/5@
Effet de substitution : toujours négatif

Effet-revenu : bien normal ou inférieur ?

3. Propriétés et théorèmes
importants 24
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] fonction d'utilité de type ces

[PDF] fonction d'utilité concave

[PDF] axiome de convexité

[PDF] taux marginal de substitution calcul

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[PDF] Marianne Tenand marianne.tenand@ens.fr

C'est quoi la fonction d'utilité indirecte ?

Comment déterminer la fonction d'utilité ?

Comment interpréter le TMS ?

Marianne Tenand

Microéconomie 1

GpSMUPHPHQP G·pŃRQRPLH (16

2016 -2017

Théorie du consommateur (2):

Résolution analytique de la

Questions fondamentales

SURNOqPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp SMU OH

Objectif du cours :

Solutions intérieures et solutions en coin

Applications numériques

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

X, un vecteur de prix p> 0 et un niveau de revenu

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

L([zź) = U(x) ²zp.x²R) + źB[

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

1.I[zźC[ 0

2.I[zź)/z  0

3.z 0

4.z(p.x²R) = 0

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

1.I[ z źC[ 0Ù8[C[ ²zSĄ ź 0

2.I[ z źCz  0Ùp.x" 5 (contrainte n°1 =

3.z  0

4.z(p.x²R) = 0

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

1ercas possible :

La condition [1] peut se réécrire :

U(x)/[ = zBS

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

8[C[i= zSi

8[Cxj= zSj

Donc :

L 8[Cxi] / pi z L 8[Cxj] / pj

G·RZ

Rings a bell?

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

2ème cas possible :

en revanche on ne peut pas neutraliser źj

Rappel ź HVP XQ vecteurde dimension (1,k)

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP MORUV

8[Cxj= zSj²źj

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

U(x)/x2= zS2

8[C[1= zS1-ź1

Ou encore :

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Walras, on peut montrer que :

Yp,RC5 z

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (1)

Conditions de premier ordre (CPO) :

1.3RXU PRXP Ó 1" N L(x,z)Cxj= 0 ÙU(x)Cxj= z J[Cxj

2.L(x,z)Cz= 0 Ùg(x) = c (on retrouve la contrainte)

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (2)

Conditions de premier ordre (CPO) :

2.3RXU PRXP L 1" P L(x,zCzi= 0 Ùgi (x) = ci(on retrouve les m

1. Résolution analytique du

O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH

Généralisation (3)

Conditions de premier ordre (CPO) :

2.3RXU PRXP L 1" P L(x,z)/zi 0 Ùgi(x) "ci(on retrouve les m

Objectif du cours :

Solutions intérieures et solutions en coin

Applications numériques

1.I[zźC[ 0

2.I[zź)/z 0

3.z 0

1.I[ z źC[ 0Ù8[C[ ²zSĄ ź 0

2.I[ z źCz 0Ùp.x" 5 (contrainte n°1 =

3.z 0

1ercas possible :

La condition [1] peut se réécrire :

U(x)/[ = zBS

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

8[C[i= zSi

8[Cxj= zSj

L 8[Cxi] / pi z L 8[Cxj] / pj

Rings a bell?

2ème cas possible :

en revanche on ne peut pas neutraliser źj

Rappel ź HVP XQ vecteurde dimension (1,k)

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP MORUV

8[Cxj= zSj²źj

IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP

U(x)/x2= zS2

8[C[1= zS1-ź1

Ou encore :

Yp,RC5 z

Généralisation (1)

1.3RXU PRXP Ó 1" N L(x,z)Cxj= 0 ÙU(x)Cxj= z J[Cxj

2.L(x,z)Cz= 0 Ùg(x) = c (on retrouve la contrainte)

Généralisation (2)

2.3RXU PRXP L 1" P L(x,zCzi= 0 Ùgi (x) = ci(on retrouve les m

Généralisation (3)

2.3RXU PRXP L 1" P L(x,z)/zi 0 Ùgi(x) "ci(on retrouve les m

Généralisation (4)

Pour vous aider :

On parle de dualitédu PMD et du PMU

8[ ഥܷ

S[ 8[ Ö` [min p.x]

h(p, ഥܷ

Homogénéité de degré 0 en p

Pour tout x

Homogène de degré 1en p

Strictement croissante en ഥܷ

Non-décroissante enpjpour tout j

Concaveen p

Continueen pet en ഥܷ

La dualité

Si x* est solution au PMD (avec ഥܷ

x(p,R) = h(p, v(p,R))

e(p, v(p,R)) = R

v(p,e(p, ഥࢁ)) = ഥࢁ

Identité de Roy

3RXU PRXP Ó 1"N xj(p,R) = -LYp,RCpj@CLYp,R)/R]

Lemme de Shepard

3RXU PRXP Ó 1"N Hp,u0)Cpj= hj(p,u0)

Equation de Slutsky

Effet de substitution : toujours négatif