[PDF] Statistique Mathématique Année 2021-2022. Statistique

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Annee 2022-2023

Statistique Mathematique

Vincent RivoirardLicence 3 - Mathematiques appliquees

Departement MIDO

Universite Paris Dauphine - PSL

2Statistique Mathematique

Table des matieres

1 Outils de probabilite 7

1.1 Loi d'une variable aleatoire reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1 Variables discretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2 Variables de loi absolument continue . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3 Formules d'integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2 Parametre de positions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1 Esperance - variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Concepts fondamentaux de la statistique 15

2.1 Exemples et problematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2 Modele statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3 Estimation ponctuelle 19

3.1 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3 Methode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.4 Methode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.5 Normalite asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.6 Estimation sans biais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

4 Intervalles et regions de conance 29

4.1 Denitions et premieres constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.2 Utilisation d'inegalites de probabilite pour l'obtention d'intervalles de conance

exacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.1 Cas de variances uniformement bornees . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.2.2 Cas de lois a supports tous inclus dans un compact donne . . . . .

31

4.3 Intervalles de conance asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.3.1 Cas de variances uniformement bornees . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.3.2 Estimation consistante de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.3.3 Stabilisation de la variance par methode delta . . . . . . . . . . . .

34
3

4Statistique Mathematique

5 Tests d'hypotheses - Generalites 35

5.1 Formalisme et demarche experimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

5.1.1 Mesure de la qualite d'un test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

5.1.2 Dissymetrie des r^oles des hypothesesH0etH1. . . . . . . . . . . .37

5.1.3 Demarche de construction et mise en uvre d'un test . . . . . . . .

38

5.1.4 Premiere propriete d'un test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5.2p{valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

5.3 Botanique des tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

5.4 Dualite entre tests et regions de conance . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

6 Tests fondes sur la vraisemblance 45

6.1 Tests UPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

6.2 Tests d'hypotheses simples - Lemme de Neyman-Pearson . . . . . . . . . .

47

6.3 Tests d'hypotheses composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

7 Tests asymptotiques - Tests du251

7.1 Consistance d'une suite de tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

7.2 Test de Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

7.3 Test du2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

7.3.1 Test d'ajustement a une loi donnee . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

7.3.2 Test d'ajustement a une famille parametree de lois . . . . . . . . .

57

7.3.3 Application : test du2d'independance . . . . . . . . . . . . . . .58

A Denitions et proprietes des lois classiques 63

A.1 Lois discretes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.2 Lois classiques a densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

B Vecteurs gaussiens 65

B.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B.2 Proprietes des vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
B.3 Lois du2, de Student et de Fisher - Theoreme de Cochran . . . . . . . .69

C Annales 75

C.1 Partiel 2019-2020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
C.2 Examen 2019-2020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
C.3 Partiel 2020-2021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C.4 Examen 2020-2021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
C.5 Partiel 2021-2022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
C.6 Examen 2021-2022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Avant-propos

Ces notes de cours presentent une introduction a la theorie statistique classique. Elles prolongent le cours du premier semestre en insistant sur le formalisme mathematique de la statistique. On se place donc volontairement dans un cadre un peu abstrait. L'objectif de ce cours est de presenter des methodes quantitatives qui s'appuient sur des principes relativement generaux et qui permettent de retrouver les parametres d'un modele et de prendre des decisions a partir d'observations issues de ce modele. L'approche decrite dans ce polycopie s'appuie sur le triptyque classique estimer { encadrer { tester. On accorde une attention particuliere a la question des tests d'hypotheses qui illustrent les dicultes inherentes a la modelisation mathematique de questions simples et naturelles que l'on se pose dans des situations tres concretes. 5

6Statistique Mathematique

Chapitre 1

Outils de probabilite

L'objectif de ce chapitre est de decrire les outils de probabilite qui seront indispensables pour l'etude mathematique des problematiques statistiques envisagees dans les chapitres ulterieurs.

1.1 Loi d'une variable aleatoire reelle

On designe par (;A;P) un espace probabilise. Les pointsw2 s'interpretent comme les resultats d'une experience aleatoire. On s'interesse aux evenements, c'est-a-dire aux elements de la tribuA. On rappelle dans la suite un certain nombre de notions et de proprietes associees. On noteBla tribu des boreliens surR. Denition 1.1.Unevariable aleatoire reelle(souvent abregee en v.a.r.) est une application mesurable

X: (;A)7!(R;B):

Denition 1.2.On appelleloi ou distributiond'une v.a.r.Xla mesure image deP parXsur(R;B), noteePXet denie, pour toutB2 B, par P

X(B) :=P(X2B):

A chaque variable aleatoire reelle, on peut associer sa fonction de repartition. Denition 1.3.Lafonction de repartitionde la variable aleatoire reelleXest l'ap- plicationF:R7![0;1]denie, pourx2R, par

F(x) :=P(Xx) =Pw2 :X(w)x

Proposition 1.1.SiFest la fonction de repartition d'une v.a.r.X, elle verie :

1.Fest croissante

7

8Statistique Mathematique

2.Fest continue a droite en tout point deR

3.Fadmet une limite a gauche en tout point deR

4.limx!+1F(x) = 1,limx!1F(x) = 0

Remarque 1.1.En notant pour toutx2R,

F(x) := limu%xF(u) =P(X < x);

on a

P(X=x) =F(x)F(x):

La fonction de repartition caracterise la loi d'une variable aleatoire via la formule P

X(]a;b]) =F(b)F(a);8(a;b)2R2:

Remarque 1.2.Puisque la fonction de repartitionFcaracterisePX, par abus de langage, on dit parfois queFest la loi deX.

1.1.1 Variables discretes

Une v.a.r.Xestdiscretesi elle prend un ensemble de valeurs au plus denombrable fxi; i2 Ig R, avecI Q. Dans ce cas, les valeurs (P(X=xi))i2Icaracterisent la loi deX. A noter queP(X =2 fxi; i2 Ig) = 0. Les exemples suivants denissent respectivementles lois de Bernoulli, binomiale, de Poisson et geometrique. Exemple 1.1.Loi de Bernoulli. Pourp2]0;1[, on noteXBer(p)si on aX2 f0;1g et

P(X= 1) =p;P(X= 0) = 1p:

Exemple 1.2.Loi binomiale. Pourn2Netp2]0;1[, on noteXBin(n;p)si

X2 f0;1;:::;nget

P(X=k) =Cknpk(1p)nk;8k2 f0;1;:::;ng:

Exemple 1.3.Loi de Poisson. Pour >0, on noteX P()siX2Net

P(X=k) =ekk!;8k2N:

Exemple 1.4.Loi geometrique. Pourp >0, on noteX G(p)siX2Net

P(X=k) =p(1p)k1;8k2N:

Vincent Rivoirard9

1.1.2 Variables de loi absolument continue

Une v.a.r.Xestde loi absolument continue (ou a densite)si sa fonction de repartition s'ecrit

F(x) =Z

x 1 f(t)dt;8x2R: La fonctionf, denie a un ensemble negligeable pres, est une densite de probabilite, i.e. f0 etZ +1 1 f(t)dt= 1: Dans ce cas, la fonction de repartitionFest derivable presque partout et on a, pour presque toutx,F0(x) =f(x): Exercice 1.1.Redemontrer que sifest continue surR, alors8x2R,F0(x) =f(x): Si elle existe, la densite d'une v.a.r. determine entierement sa fonction de repartition et donc caracterise sa loi. Proposition 1.2.La loi d'une variable absolument continue est diuse : pour toutx2R, on aP(X=x) = 0. Demonstration.Cela decoule du fait que pour toutx2R,Rx xf(t)dt= 0:Les exemples suivants denissent respectivementles lois normale, uniforme, ex- ponentielle et de Cauchy. Exemple 1.5.Loi normale (ou gaussienne). Pour2Ret >0, on noteX N(;2), siXadmet pour densite f(t) =1p2e(t)222;8t2R: Exemple 1.6.Loi uniforme. Pour1< a < b <+1, on noteXU[a;b]siXadmet pour densite la fonction f(t) =1ba1[a;b](t);8t2R: Exemple 1.7.Loi exponentielle. Pour >0, on noteX E()siXadmet pour densite f(t) =et1[0;+1[(t);8t2R: Exemple 1.8.Loi de Cauchy. On noteX CsiXadmet pour densite f(t) =1(1 +t2);8t2R: Remarque 1.3.Une v.a.r. peut ^etre ni discrete ni absolument continue. Par exemple, on considereY N(0;1)et on poseX=Y1fY0gqui n'est ni discrete ni absolument continue. En eet, elle est a valeurs dans[0;+1[mais n'est pas diuse carP(X=

0) = 0:5:

10Statistique Mathematique

1.1.3 Formules d'integration

SiXest une v.a.r. de fonction de repartitionFet de loiPX, on a alors pour toute fonction mesurablebornee, positive ou integrable (i.e. telle queE[j(X)j]<1)

E[(X)] =Z

(X(w))P(dw) =Z R (x)PX(dx) = "Z R (x)dF(x)":

Exemple 1.9.Cas discret :X2 fxi; i2 Ig

E[(X)] =X

i2I(xi)P(X=xi):

Exemple 1.10.Cas absolument continu :Xde densitef

E[(X)] =Z

(x)f(x)dx:

Exemple 1.11.X=Y1fY0getY N(0;1).

E[(X)] =12

(0) +Z +1 0 (t)1p2et22 dt:

1.2 Parametre de positions

Etant donnee une v.a.r., on peut chercher a decrire sa loi a l'aide d'indicateurs determi- nistes les plus simples possibles. On utilise en premiere approximation 2 indicateurs (s'ils existent) bases sur les 2 premiers moments, ou plus precisement sur la moyenne et la variance. On pourrait egalement considerer le coecient d'asymetrie (ou skewness) et le coecient d'aplatissement (ou kurtosis). Ils sont bases sur les moments d'ordres 3 et 4. Un autre type d'approximation se base sur les quantiles de la loi consideree, qui mesurent, dans un certain sens, la dispersion de la loi. Plus diciles a manipuler, ils presentent l'avantage d'^etre toujours denis.

1.2.1 Esperance - variance

Une variable aleatoire reelleXadmet un moment d'ordrep2Nsi

E[jXjp] =Z

jX(w)jpP(dw) =Z R jxjpPX(dx)<1:

Dans ce cas, le moment d'ordrepest

E[Xp] =Z

Xp(w)P(dw) =Z

R xpPX(dx):

Vincent Rivoirard11

Remarque 1.4.L'integraleR

RxpPX(dx)s'ecrit sous la forme d'une somme dans le cas discret. Denition 1.4.Lamoyenne ou esperancede la v.a.r.X, noteeX, si elle existe, est le moment d'ordre 1 deX:

X:=E[X]:

Lavariancede la v.a.r.X, notee2X, si elle existe, est le moment d'ordre 2 de la v.a.r.

Xrecentree :

2X:=E[(XX)2] =E[X2]2X:

Proposition 1.3.SiXadmet un moment d'ordre 2, alors

E[(XX)2] = minc2RE[(Xc)2]:

Demonstration.Pour toutc2Rdeterministe, on a la decomposition biais-variance

E[(Xc)2] =Eh

(XX)2+ (Xc)2+ 2(XX)(Xc)i =2X+ (Xc)2+ 0:Le couple esperance/variance fournit un indicateur tres simple pour contr^oler les uc- tuations deXautour deX, vial'inegalite de Bienayme-Tchebychev: P jXXj t 2Xt

2;8t >0:(1.1)

1.2.2 Quantiles

Denition 1.5.A toute fonction de repartitionF, on associe soninverse generalise F (1)deni, pour toutq2]0;1[, comme suit : F (1)(q) := infx2R:F(x)q: La fonctionF(1)est aussi appelee lafonction quantile.

Proposition 1.4.On a les resultats suivants :

1.

L orsqueFest bijective,F(1)=F1.

2.F(1)est croissante.

3.

Pour tout x2R, pour toutq2]0;1[, on a :

F(x)q()xF(1)(q):

12Statistique Mathematique

Demonstration.On pose pour toutq2]0;1[,

A q:=fx2R:F(x)qg etF(1)(q) := infAq. On montre :

Lemme 1.1.Pour toutq2]0;1[,

F(F(1)(q))q:

Demonstration.On considere une suite (un)ntelle que pour toutn,un2Aqet (un)ntend en decroissant versF(1)(q):Par exemple, on peut poser pour toutn,un=F(1)(q)+n1.

On a donc que pour toutn,F(un)q. Et par continuite deFa droite,F(F(1)(q))q:On demontre a present les 3 points de la proposition.

1. Lorsqu eFest bijective deRdans ]0;1[ alors8q2]0;1[,9!x2Rtel queF(x) =q: Alors, pour touty > x,F(y)> F(x) =qet pour toutz < x,F(z)< F(x) =q. Donc x=F1(q) =F(1)(q): 2. P ourtous 0 < q1q2<1, on aAq2Aq1et infAq1infAq2. Cela implique que F (1)(q1)F(1)(q2): 3. On supp osed'ab ordF(x)q. Doncx2AqetxinfAq=F(1)(q): On supposexF(1)(q) et doncF(x)F(F(1)(q)). On conclut en utilisant le

Lemme 1.1.Exercice 1.2.Soitq2]0;1[. On note

I q=fx2R:F(x) =qg: Determiner (par exemple a l'aide d'un graphique)F(1)(q)dans les 3 cas suivants :Iq=;, I qest reduit a un singleton etIqest un intervalle. Pour la construction de tests et de regions de conance, on s'appuie sur la notion de quantile d'une loi. Denition 1.6.SoitFune fonction de repartition. Pour2]0;1[, on appellequantile d'ordrede (la loi associee a)Fla quantite q :=F(1)() = inffx2R:F(x)g:

Lamediane de Festq12

, le quantile d'ordre12

Lesquartiles de Fdesignentq14

,q12 etq34

Vincent Rivoirard13

Exemple 1.12.Pour le calcul de la mediane, on a par exemple les resultats suivants. - SiX N(;2), alorsq12 - SiXBer(p), alorsq12 = 0sip12 etq12 = 1sip >12 Proposition 1.5.Pour2]0;1[etXde fonction de repartitionF,

P(Xq)1etP(Xq):

Demonstration.Soit (un)nune suite strictement croissante convergeant versq(on peut prendre par exempleun=qn1). On note C un:=fw:X(w)ung; Cq :=fw:X(w)< qg:

Pour toutn,un< qdoncCunCqet

nC unCq Soitw2CqdoncX(w)< q. Par denition de (un)n, il existentel queX(w)un< q etw2Cun. On a donc[ nC un=Cq

Cela implique

lim n!+1F(un) = limn!+1P(w:X(w)un) = limn!+1P(Cun) =P(Cq ) =F(q A present, commeun< q,F(un)< . Donc, par passage a la limite,F(q ). Cette derniere inegalite est equivalente aP(Xq)1: Pour le dernier point, en utilisant le Lemme 1.1, on obtient :

P(Xq) =F(q) =F(F(1)()):Remarque 1.5.En prenant=12

, on obtient pour la mediane :

P(Xq12

)12 etP(Xq12 )12 Proposition 1.6.SiXadmet un moment d'ordre 1 alors pour touta2Rveriant

P(Xa)12

etP(Xa)12 on a

E[jXaj] = minc2RE[jXcj]:

En particulier,

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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