Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
On dit dans ce cas que la suite est définie par une relation de récurrence. Fondamental : Initialisation de la récurrence. Dans le cas de suites définies par
LES SUITES (Partie 1)
Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation). - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité)
Terminale S - Etude de limites de suites définies par récurrence
est continue en ? alors en passant à la limite dans la relation de récurrence
La démonstration par récurrence
Dans toute la suite n appartient à N . La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété dépendant de.
Suites 1 Convergence
Suites. 1 Convergence. Exercice 1. Montrer que toute suite convergente est Pour la première question et la monotonie il faut raisonner par récurrence.
Suites Prise en main des menus suite TI-82stats
3°) Afficher les valeurs u31 et v25. 4°) Représenter graphiquement les suites u et v par un nuage de points. ? Accès au mode
FICHE DE RÉVISION DU BAC
Raisonnement par récurrence. 6. Limites de suites. 1. Etude de suites. Définition : Une suite numérique est une fonction définie sur N (l'ensemble des
Suites définies par récurrence TI 83 Premium CE
Suites définies par récurrence. TI 83 Premium CE. On étudie la suite ( ) définie par : pour tout ? ?. =
Récurrence ; Sommes produits
27 sept. 2011 être devrais-je dire plutôt pour les suites puisqu'il s'agit du ... La démonstration par récurrence est un schéma de démonstration que nous ...
Suites f-définies par récurrence Sommaire
8 jan. 2021 est une suite f -définie par récurrence pour la fonction f : x ?? ?. ?. 1 + x. • De même la suite (un)n définie par. { u0 = 1. ?n ? N
PCSI3LycéeSainte-Geneviève
2020/20218 janvier 2021
Suitesf-définies par récurrencex
IyRy=xC
fu 0u 1u 1u 2u 2u 3u 3u 4u 4u 5u 5u6Représentation de(un)n,
une suitef-définie par récurrence.Sommaire
II.Dessins .................................................................................... p.3III.Principe d"étude des suitesf-récurrentes ................................................... p.4
IV.Restriction du domaine de vie de(un)n.....................................................p.4 V.Transferts de monotonie defà(un)n...................................................... p.7 VI.Points fixes def.......................................................................... p.10 VII.Position deCfpar rapport à(y=x)......................................................p.11VIII.Bilan ..................................................................................... p.12
IX.Exercices ................................................................................. p.12Suitesf-définies par récurrence1/12
I.Cadre
Dans tout ce qui suit, on fixe :
•Iun intervalle deR; •f:I-→Rune fonction; •(un)n>0?RNune suite réelle.Définition 1 On dit quela suite(un)nestf-définie par récurrencessi Δ ?n?N, un+1=f(un).Exemples et non-exemplesLa suite(un)ndéfinie par(
u 0= 18n2N;un+1=p1 +un
est une suitef-définie par récurrence pour la fonctionf:x7!p1 +x.De même, la suite(un)ndéfinie par
u 0= 18n2N;un+1=u2n+ 1
est une suitef-définie par récurrence pour la fonctionf:x7!1 +x2. Attentionaupiègeclassiquesuivant : la suite(un)ndéfinie par u 0= 18n2N;un+1=pn+unn"est pas
n"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pasn"est pas une suitef-définie par récurrence.
En effet, l"expression donnantun+1dépend deunmais aussi den.Dans toute la suite, on suppose que la suite(un)n>0estf-définie par récurrence.Remarque
En fait, dans la définition, plus précisément et plus exactement, il faudrait dire8n2N;un2Ietun+1=f(un).Suitesf-définies par récurrence2/12
II.Dessins
1.Cas cro issantIl est fondamental de pouvoir représenterCfet la suitef-définie par récurrence.
Dans le cas croissant, on a un escalier.x
IyRy=xC
fu 0u 1u 1u 2u 2u 3u 3u42.Cas d écroissant
Dans le cas décroissant, on a un escargot.
xIyRy=xC
fu 0u 1u 1u 2u 2u 3u 3u 4u 4u 5u 5u6Suitesf-définies par récurrence3/12
III.Princip ed"étude des suites f-récurrentes •Pour étudier(un)n, on étudie la fonctionf. •Les propriétés defvont se transférer à la suite(un)n.•Dans les preuves, passer d"une propriété defà une propriété de(un)nse fera toujours par récurrence
facile. C"est métamathématiquement logique puisque la suite(un)nest elle-même définie par récurrence.Les propriétés defse transfèrent à(un)n.
Se faire une idée rapide et précise de l"allure deCfpeut être très utile. On peut ensuite démontrer ce qu"on veut sur(un)n en faisant des petites récurrences.IV.Res trictiondu domaine de vie de (un)n 1.B onnedéfinition de la suite
a)Problématique
Sia?I, il n"est pas toujous vrai qu"il existe une suitef-définie par récurrence(un)n>0telle queu0=a.
En effet, il est possible qu"en itérant la fonctionf, on sorte du domaine def.Par exemple, si on considère la fonction
f:?R +//R x //⎷x-1 et qu"on part deu0:= 2, alors on aura : u1=f(u0) =f(2) =⎷2-1
etu2=f(u1) =f?⎷2-1? =?⎷2-1-1.Or, comme
⎷2-1<1(exercice), on a?⎷2-1<1et donc u2=?⎷2-1-1<0.
Ainsi, il est impossible de définiru3. On a démontré :Fait 2 Il n"existe pas de suite(un)n,f-définie par récurrence, telle queu0= 2, où f:?R +//R x //⎷x-1.Suitesf-définies par récurrence4/12b)Une solution p ossibleUne façon de régler une fois pour toutes cette question serait de supposer que la fonctionf:I-→R
stabilise son intervalle de définition,iede supposer que ?t?I, f(t)?I;dit autrement, on aurait pu supposer dès le début qu"on considère une fonctionf:I-→I. En effet, dans
ce cas, siu0?Ialors, on au1, qui est égal àf(u0), est aussi dansI,etc.Autrement dit, on aProposition 3
SoitIun intervalle deR, soitf:I-→I. Alors,
?a?I,?!(un)n?RN:? (un)n?RNestf-définie par récurrence u0=a.Remarque
En fait, dans cette proposition, le fait queIest un intervalle ne joue aucune rôle. On peut le remplacer
par un ensembleDquelconque. Par exemple, on peut très bien considérer la fonction f:8 :R //R x //1 x .c)Retour au cas généralOn choisit de ne pas faire cette hypothèse ici, car, généralement, la fonctionfvient plutôt définie sous la
formef:I-→R. À la place, on suppose que la suite(un)nest bien définie. 2.Res trictionde fà des parties stables
SoitJ?Iun intervalle.
Rappelons qu"on dit queJest stable parfssiΔ
?t?J, f(t)?J.Proposition 4 AlorsJest stable parf
u 0?J? =? ?n?N, un?J. Démonstration.--C"est très simple. On suppose queJest stable parfet queu0?J. Montrons le résultat par récurrence. •On note, pourk?N,P(k) :"uk?J». •Déjà,P(0), par hypothèse, est vraie. •Montrons que ?k?N,P(k) =?P(k+ 1). Soitk?Ntel queP(k)est vraie. Comme(un)nestf-définie par récurrence, onuk+1=f(uk). Or, uk?JetJest stable parf. Donc, on a bienf(uk)?J. D"où le résultat.D"après le principe de récurrence, le résultat est démontré.Suitesf-définies par récurrence5/12
Remarques
Comme annoncé, la preuve est très simple. C"est ce qu"on appelle unerécurrence immédiate.
Très important :Il faudra s"entraîner dans l"étude des suitesf-définies par récurrence à éviter d"essayer de prouver
les résultats directement sur la suite mais à s"efforcer d"étudier d"abord la fonctionf. En effet,onestbeaucouppluspuissantpourétudierlafonctionfque pour étudier la suite(un)n: pour étudierf, on peut utiliser toute la puissance du calcul différentiel et dériverf; en traçant rapidement l"aspect deCf, on a beaucoup d"informations;de même, le tableau des variations defdonne de façon synthétique beaucoup d"informations.En particulier, on en déduit le résultat suivant.
Corollaire 5
Soita?I. Alors, on a
?t?I, t>a=?f(t)>a? u0>a=? ?n?N, un>a?
.On peut décliner et raffiner ce résulat. Par exempleCorollaire 6
Soientb?Ietn0?N. Alors, on a
?t?I, t6b=?f(t)6b u n06b? =? ?n>n0, un6b.Corollaire 7Soienta,b?Ietn0?N. Alors, on a
?t?I, a6t6b=?a6f(t)6b a6u06b? =? ?n?N, a6un6b.On retiendra :Restreindrefà un intervalle stable permet
de restreindre le domaine de vie de(un)n.Exercice 8Soit(un)n?RNla suite définie par
u 0>0 ?n?N, un+1=unun.Montrer que?n?N?, un>1e
1/e.Suitesf-définies par récurrence6/12
V.T ransfertsde monotonie de fà(un)n
1.Cas croissan t
Voici un principe très important :Quandfest croissante,(un)nest montone.Plus précisément, grâce au principe précédent de restriction du domaine de vie, on a : " là oùfest
croissante,(un)nest croissante ». Connaître les variations defest donc fondamental dans l"étude des
suitesf-récurrentes.Théorème 9On supposefcroissante. Alors, on a
u1>u0=?(un)ncroissante
etu16u0=?(un)ndécroissante.Ce théorème admet également une version " stricte » qu"on laisse au lecteur le soin d"énoncer.
Démonstration.--
•On supposeu1>u0. Comme annoncé, et comme précédemment, la preuve se fera par récurrence immédiate.On note, pourn?N,P(n) :"un+1>un».
Déjà,P(0)est vraie par hypothèse.
Montrons que?n?N,P(n) =?P(n+ 1).
Soitn?Ntel queP(n)soit vraie. On a doncun6un+1. Or,fest croissante. Donc, on a f(un)6f(un+1)ieun+16un+2ieP(n+ 1). Ainsi, d"après le principe de récurrence, on a?n?N, un6un+1: la suite(un)nest croissante. •Si on au0>u1, on procède de même.On retiendra :Sifest croissante, alors :
•la suite(un)nest monotone; le sens de variation de(un)nest déterminé par la position relative des deux premiers termes,u0etu1.Suitesf-définies par récurrence7/122.Cas décroissan t
Remarque
Dans ce paragraphe, on se place dans le cas oùf:I!I.a)Une astuce •La suite des termes pairs(u2n)n?Nvérifie u2n+2=f(u2n+1) =f?
f(u2n)? = (f◦f)(u2n)pourn?N. •De même, la suite des termes impairs(u2n+1)n?Nvérifie u2n+3=f(u2n+2) =f?
f(u2n+1)? = (f◦f)(u2n+1)pourn?N.Autrement dit, on a prouvé :Proposition 10
Soitf:I-→Ret soit(un)n?RN.
Alors,
(un)nestf-définie par récurrence=?? (u2n)nest(f◦f)-définie par récurrence (u2n+1)nest(f◦f)-définie par récurrence.b)Application au cas décroissan tSupposonsfdécroissante.Ce cas est plus subtil. En tout état de cause, il faut faire un dessin deCfet représenter les premiers
termes de(un)npour comprendre ce qui se passe : c"est le cas de " l"escargot ».xIyRy=xC
fu 0u 1u 1u 2u 2u 3u 3u 4u 4u 5u 5u6Pour analyser cette situation, on utilise l"astuce suivante :
fdécroissante=?f◦fcroissante.On peut donc appliquer les résultats du cas croissant aux suites(u2n)net(u2n+1)n.Suitesf-définies par récurrence8/12
Proposition 11
On supposefdécroissante. Alors, on a
u2>u0=??
(u2n)ncroissante (u2n+1)ndécroissante etu26u0=?? (u2n)ndécroissante (u2n+1)ncroissante.Démonstration.-- •Supposons queu2>u0. On peut alors montrer par récurrence que?n?N, u2n+2>u2n. ~On note, pourn?N,P(n) :"u2n+2>u2n». ~Par hypothèse,P(0)est vraie.~Montrons que?n?N,P(n) =?P(n+ 1).Soitn?Nest tel queu2n+2>u2n. Alors, en utilisant la croissance de la fonctionf◦f, on
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