[PDF] Suites Suites récurrentes · Fiche d'

Remarque.

Si(un)n∈Nest une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si∀n∈Nun+1u

Exemple 2.

•La suite(un)n⩾1définie parun= (-1)n/npourn⩾1, n"est ni croissante ni décroissante. Elle est majorée par1/2

LES SUITES2. LIMITES31234561

•La suite1n

n⩾1est une suite strictement décroissante. Elle est majorée par1(borne atteinte pourn=1), elle est

La suite nn+1

La suite

Réécrire les phrases suivantes en une phrase mathématique. Écrire ensuite la négation mathématique de chacune

des phrases. (a) La suite(un)n∈Nest majorée par7. (b) La suite(un)n∈Nest constante. (c) La suite(un)n∈Nest

Soit x>0 un réel. Montrer que la suitexnn!

2.1. Introduction

Pour un trajet au prix normal de 20 euros on achète une carte d"abonnement de train à50euros et on obtient chaque

est le prix payé au bout denachats au tarif plein, etvncelui au tarif réduit, y compris le prix de l"abonnement. La

LES SUITES2. LIMITES4

2.2. Limite finie, limite infinie

Soit(un)n∈Nune suite.Définition 4.La suite(un)n∈Na pourlimiteℓ∈Rsi : pour toutε >0, il existe un entier naturelNtel que sin⩾Nalors

|un-ℓ|⩽ε:∀ε >0∃N∈N∀n∈N(n⩾N=⇒ |un-ℓ|⩽ε)

On dit aussi que la suite(un)n∈Ntend versℓ. Autrement dit :unest proche d"aussi près que l"on veut deℓ, à partir

La suite (un)n∈Ntend vers+∞si :

La suite (un)n∈Ntend vers-∞si :

On note lim

n→+∞un=ℓou parfoisun----→n→+∞ℓ, et de même pour une limite±∞.

On raccourcit souvent la phrase logique en :

Noter queNdépend deεet qu"on ne peut pas échanger l"ordre du " pour tout » et du " il existe ».

L"inégalité|un-ℓ|⩽εsignifieℓ-ε⩽un⩽ℓ+ε. On aurait aussi pu définir la limite par la phrase :∀ε >0∃N∈

N(n⩾N=⇒ |un-ℓ|< ε), où l"on a remplacé la dernière inégalité large par une inégalité stricte.Définition 6.

Une suite(un)n∈Nestconvergentesi elle admet une limitefinie. Elle estdivergentesinon (c"est-à-dire soit la suite

tend vers±∞, soit elle n"admet pas de limite).On va pouvoir parler delalimite, si elle existe, car il y a unicité de la limite :Proposition 1.

On procède par l"absurde. Soit(un)n∈Nune suite convergente ayant deux limitesℓ̸=ℓ′. Choisissons

ε >0 tel queε <|ℓ-ℓ′|2

Comme lim

De même lim

NotonsN=max(N1,N2), on a alors pour ceN:

LES SUITES2. LIMITES5Donc|ℓ-ℓ′|=|ℓ-uN+uN-ℓ′|⩽|ℓ-uN|+|uN-ℓ′|d"aprèsl"inégalitétriangulaire. On en tire|ℓ-ℓ′|⩽ε+ε=2ε <|ℓ-ℓ′|.

On vient d"aboutir à l"inégalité|ℓ-ℓ′|<|ℓ-ℓ′|qui est impossible. Bilan : notre hypothèse de départ est fausse et

Proposition 2.

1.limn→+∞un=ℓ⇐⇒limn→+∞(un-ℓ) =0⇐⇒limn→+∞|un-ℓ|=0,

2.limn→+∞un=ℓ=⇒limn→+∞|un|=|ℓ|.Démonstration.Cela résulte directement de la définition.Proposition 3(Opérations sur les limites).

Si limn→+∞un=ℓ, oùℓ∈R, alors pourλ∈Ron alimn→+∞λun=λℓ.

Si limn→+∞un=ℓetlimn→+∞vn=ℓ′, oùℓ,ℓ′∈R, alors

Si limn→+∞un=ℓoùℓ∈R∗=R\{0}alors un̸=0pour n assez grand etlimn→+∞1u

Exemple 3.

Siun→ℓavecℓ̸=±1, alors

2-1.Proposition 4(Opérations sur les limites infinies).

1.limn→+∞1v

La suite(pn)tend vers+∞, donc la suite(1pn

2.4. Des preuves!

Nous n"allons pas tout prouver mais seulement quelques résultats importants. Les autres se démontrent de manière

Démonstration.

Fixonsε >0. Commelimn→+∞un= +∞, il existe un entier naturelNtel quen⩾Nimpliqueun⩾1ε.

On obtient alors 0⩽1u

n=0.Afin de prouver que la limite d"un produit est le produit des limites nous aurons besoin d"un peu de travail.

Proposition 5.

Toute suite convergente est bornée.

LES SUITES2. LIMITES6

Démonstration.Soit(un)n∈Nune suite convergeant vers le réelℓ. En appliquant la définition de limite (définition4 )

avecε=1, on obtient qu"il existe un entier naturelNtel que pourn⩾Non ait|un-ℓ|⩽1, et donc pourn⩾Non a

Donc si on pose

Si la suite(un)n∈Nest bornée etlimn→+∞vn=0alorslimn→+∞(un×vn) =0.Exemple 5.

Démonstration.

La suite(un)n∈Nest bornée, on peut donc trouver un réelM>0tel que pour tout entier naturelnon

ait|un|⩽M. Fixonsε >0. On applique la définition de limite (définition4 ) à la suite(vn)n∈Npourε′=εM. Il existe

On a bien montré que lim

n→+∞(un×vn) =0.Prouvons maintenant la formule concernant le produit de deux limites (voir proposition3 ).

D"après la proposition

, la suite de terme généralℓ(vn-ℓ′)tend vers0. Par la même proposition il en est de même de la

suite de terme général(un-ℓ)vn, car la suite convergente(vn)n∈Nest bornée. On conclut quelimn→+∞(unvn-ℓℓ′) =0,

Dans certaines situations, on ne peut rien dire à priori sur la limite, il faut faire une étude au cas par cas.

Exemple 6.

"+∞-∞» Cela signifie que siun→+∞etvn→ -∞il faut faire faire l"étude en fonction de chaque suite

LES SUITES2. LIMITES7

×lnn=0

×(n+1) =1

», "00

», " 1∞», ...

2.6. Limite et inégalitésProposition 7.

Soient (un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites convergentes telles que :∀n∈N, un⩽vn. Alors

2.Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites telles quelimn→+∞un= +∞et∀n∈N,vn⩾un. Alorslimn→+∞vn= +∞.

Théorème des " gendarmes » : si (un)n∈N,(vn)n∈Net(wn)n∈Nsont trois suites telles que

etlimn→+∞un=ℓ=limn→+∞wn, alors la suite(vn)n∈Nest convergente etlimn→+∞vn=ℓ.ℓw

Remarque.

Soit (un)n∈Nune suite convergente telle que :∀n∈N,un⩾0. Alors limn→+∞un⩾0.

Attention, si(un)n∈Nest une suite convergente telle que :∀n∈N,un>0, on ne peut affirmer que la limite est

strictement positive mais seulement quelimn→+∞un⩾0. Par exemple la suite(un)n∈Ndonnée parun=1n+1est à

Démonstration de la proposition

En posantwn=vn-un, on se ramène à montrer que si une suite(wn)n∈Nvérifie∀n∈N,wn⩾0et converge,

alorslimn→+∞wn⩾0. On procède par l"absurde en supposant queℓ=limn→+∞wn<0. En prenantε=|ℓ2

Laissé en exercice.

En soustrayant la suite(un)n∈N, on se ramène à montrer l"énoncé suivant : si(un)n∈Net(vn)n∈Nsont deux suites

telles que :∀n∈N,0⩽un⩽vnetlimn→+∞vn=0, alors(un)converge etlimn→+∞un=0. Soitε >0etNun

entier naturel tel quen⩾Nimplique|vn|< ε. Comme|un|=un⩽vn=|vn|, on a donc :n⩾Nimplique|un|< ε.

On a bien montré que limn→+∞un=0.

LES SUITES3. EXEMPLES REMARQUABLES8Exemple 7(Exemple d"application du théorème des " gendarmes »).