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Exo7

Suites

1 Convergence

Exercice 1Montrer que toute suite convergente est bornée. Montrer qu"une suite d"entiers qui converge est constante à partir d"un certain rang.

Montrer que la suite(un)n2Ndéfinie par

u n= (1)n+1n n"est pas convergente. Soit(un)n2Nune suite deR. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si(un)nconverge vers un réel`alors(u2n)net(u2n+1)nconvergent vers`. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, il en est de même de(un)n. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, de même limite`, il en est de même de(un)n. Soitqun entier au moins égal à 2. Pour toutn2N, on poseun=cos2npq 1.

Montrer que un+q=unpour toutn2N.

2. Calculer unqetunq+1. En déduire que la suite(un)n"a pas de limite.

SoitHn=1+12

++1n 1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n>0 :1n+16ln(n+1)ln(n)61n 2.

En déduire que ln (n+1)6Hn6ln(n)+1.

3.

Déterminer la limite de Hn.

4. Montrer que un=Hnln(n)est décroissante et positive. 1

5.Conclusion ?

On considère la fonctionf:R!Rdéfinie par

f(x) =x39 +2x3 +19 et on définit la suite(xn)n>0en posantx0=0 etxn+1=f(xn)pourn2N: 1. Montrer que l"équation x33x+1=0 possède une solution uniquea2]0;1=2[: 2.

Montrer que l"équation f(x) =xest équivalente à l"équationx33x+1=0 et en déduire queaest

l"unique solution de l"équationf(x) =xdans l"intervalle[0;1=2]: 3. Montrer que la fonction fest croissante surR+et quef(R+)R+. En déduire que la suite(xn)est croissante. 4. Montrer que f(1=2)<1=2 et en déduire que 06xn<1=2 pour toutn>0: 5.

Montrer que la suite (xn)n>0converge versa:

Exercice 8Posonsu2=112

2et pour tout entiern>3,

u n= 112
2 113
2 11n 2

Calculerun. En déduire que l"on a limun=12

Déterminer les limites lorsquentend vers l"infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser en

quelques mots la méthode employée. 1.

1 ; 12

;13 ;:::;(1)n1n 2.

2 =1 ; 4=3 ; 6=5 ;:::; 2n=(2n1);:::

3.

0 ;23 ; 0;233 ;:::; 0;2333 ;:::

4. 1n 2+2n

2++n1n

2 5. (n+1)(n+2)(n+3)n 3 6.

1+3+5++(2n1)n+12n+12

7. n+(1)nn(1)n 2 8.

2n+1+3n+12

n+3n 9.

1=2+1=4+1=8++1=2npuisp2 ;

q2 p2 ; r2 q2 p2 ;::: 10. 113
+19 127
++(1)n3 n 11. pn+1pn 12. nsin(n!)n 2+1 13.

Démontrer la formule 1 +22+32++n2=16

n(n+1)(2n+1); en déduire limn!¥1+22+32++n2n 3.

On considère les deux suites :

u n=1+12! +13! ++1n!;n2N; v n=un+1n!;n2N:

Montrer que(un)net(vn)nconvergent vers une même limite. Et montrer que cette limite est un élément de

RnQ. Soita>0. On définit la suite(un)n>0paru0un réel vérifiantu0>0 et par la relation u n+1=12 u n+au n

On se propose de montrer que(un)tend verspa.

1.

Montrer que

u n+12a=(un2a)24un2: 2. Montrer que si n>1 alorsun>papuis que la suite(un)n>1est décroissante. 3.

En déduire que la suite (un)converge verspa.

4. En utilisant la relation un+12a= (un+1pa)(un+1+pa)donner une majoration deun+1paen fonction deunpa. 5.

Si u1pa6ket pourn>1 montrer que

u npa62pa k2 pa 2n1 6.

Application : Calculer

p10 avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenantu0=3.

Soientaetbdeux réels,a récurrente(un)ndéfinie par : u

02[a;b]et pour toutn2N;un+1=f(un):

3

1.On suppose ici que fest croissante. Montrer que(un)nest monotone et en déduire sa convergence vers

une solution de l"équationf(x) =x.

2.Application.Calculer la limite de la suite définie par :

u

0=4 et pour toutn2N;un+1=4un+5u

n+3: 3. On suppose maintenant que fest décroissante. Montrer que les suites(u2n)net(u2n+1)nsont monotones et convergentes.

4.Application.Soit

u 0=12 et pour toutn2N;un+1= (1un)2:

Calculer les limites des suites(u2n)net(u2n+1)n.

1.

Soient a;b>0. Montrer quepab6a+b2

2.

Montrer les inég alitéssui vantes( b>a>0) :

a6a+b2

6beta6pab6b:

3.

Soient u0etv0des réels strictement positifs avecu0 suivante : u n+1=pu nvnetvn+1=un+vn2 (a)

Montrer que un6vnquel que soitn2N.

(b)

Montrer que (vn)est une suite décroissante.

(c) Montrer que (un)est croissante En déduire que les suites(un)et(vn)sont convergentes et quelles ont même limite.

Soitn>1.

1.

Montrer que l"équation

nå k=1xk=1 admet une unique solution, notéean, dans[0;1]. 2. Montrer que (an)n2Nest décroissante minorée par12 3.

Montrer que (an)converge vers12

Indication pourl"exer cice1 NÉcrire la définition de la convergence d"une suite(un)avec les "e". Comme on a une proposition qui est vraie

pour toute>0, c"est en particulier vrai poure=1. Cela nous donne un "N". Ensuite séparez la suite en deux

: regardez lesnN(pour lequel on utilise notree=1).Indication pourl"exer cice2 NÉcrire la convergence de la suite et fixere=12

. Une suite eststationnairesi, à partir d"un certain rang, elle est

constante.Indication pourl"exer cice3 NOn prendra garde à ne pas parler de limite d"une suite sans savoir au préalable qu"elle converge !

Vous pouvez utiliser le résultat du cours suivant : Soit(un)une suite convergeant vers la limite`alors toute

sous-suite(vn)de(un)a pour limite`.Indication pourl"exer cice4 NDans l"ordre c"est vrai, faux et vrai. Lorsque c"est faux chercher un contre-exemple, lorsque c"est vrai il faut le

prouver.Indication pourl"exer cice5 NPour la deuxième question, raisonner par l"absurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes.

Indication pour

l"exer cice

6 N1.En se rappelant que l"intégrale calcule une aire montrer :

1n+16Z

n+1 ndtt 61n
2.

Pour chacune des majorations, il s"agit de f airela somme de l"inég alitéprécédente et de s"aperce voirque

d"un coté on calculeHnet de l"autre les termes s"éliminent presque tous deux à deux. 3.

La limite est +¥.

4.

Calculer un+1un.

5.

Que f aitune suite décroissante et minorée ? Indication pourl"exer cice7 NPour la première question : attention on ne demande pas de calculera! L"existence vient du théorème des

valeurs intermédiaires. L"unicité vient du fait que la fonction est strictement croissante.

Pour la dernière question : il faut d"une part montrer que(xn)converge et on note`sa limite et d"autre part il

faut montrer que`=a.Indication pourl"exer cice8 NRemarquer que 11k

2=(k1)(k+1)k:k. Puis simplifier l"écriture deun.Indication pourl"exer cice10 N1.Montrer que (un)est croissante et(vn)décroissante.

5

2.Montrer que (un)est majorée et(vn)minorée. Montrer que ces suites ont la même limite.

3.

Raisonner par l"absurde : si la limite `=pq

alors multiplier l"inégalitéuq6pq

6vqparq! et raisonner

avec des entiers.Indication pourl"exer cice11 N1.C"est un calcul de réduction au même dénominateur .

2.

Pour montrer la décroisance, montrer

un+1u n61. 3. Montrer d"abord que la suite con verge,montrer ensuite que la limite est pa. 4.

Penser à écrire u2n+1a= (un+1pa)(un+1+pa).

5.

Raisonner par récurrence.

6. Pour u0=3 on au1=3;166:::, donc 36p106u1et on peut prendrek=0:17 par exemple etn=4

suffit pour la précision demandée.Indication pourl"exer cice12 NPourlapremièrequestionetlamonotonieilfautraisonnerparrécurrence. Pourlatroisièmequestion, remarquer

que sifest décroissante alorsffest croissante et appliquer la première question.Indication pourl"exer cice13 N1.Re garderce que donne l"inég alitéen éle vantau carré de chaque coté.

2.

Petites manipulations des inég alités.

3. (a)

Utiliser 1.

(b)

Utiliser 2.

(c)

Une suite croissante et majorée con verge; une suite décroissante et minorée aussi. Indication pourl"exer cice14 NOn noterafn:[0;1]!Rla fonction définie parfn(x) =ånk=1xk1:

1.

C"est une étude de la fonction fn.

2.

On sait que fn(an) =0. Montrer par un calcul quefn(an1)>0, en déduire la décroissance de(an). En

calculantfn(12 )montrer que la suite(an)est minorée par12 3. Une fois établie la con vergencede (an)vers une limite`, composer l"inégalité12

6`

Conclure.6

Correction del"exer cice1 NSoit(un)une suite convergeant vers`2R. Par définition

8e>09N2N8n>Njun`j Choisissonse=1, nous obtenons leNcorrespondant. Alors pourn>N, nous avonsjun`j<1 ; autrement dit `1De même en posantm=minn=0;:::;N1fungetm0=min(m;`1)nous obtenons pour toutn2N,un>m0.Correction del"exer cice2 NSoit(un)une suite d"entiers qui converge vers`2R. Dans l"intervalleI=]`12

;`+12 [de longueur 1, il existe au plus un élément deN. DoncI\Nest soit vide soit un singletonfag.

La convergence de(un)s"écrit :

8e>09N2Ntel que(n>N) jun`j

Fixonse=12

, nous obtenons unNcorrespondant. Et pourn>N,un2I. Mais de plusunest un entier, donc n>N)un2I\N: En conséquent,I\Nn"est pas vide (par exempleuNen est un élément) doncI\N=fag. L"implication précédente s"écrit maintenant : n>N)un=a:

Donc la suite(un)est stationnaire (au moins) à partir deN. En prime, elle est bien évidemment convergente

vers`=a2N.Correction del"exer cice3 NIl est facile de se convaincre que(un)n"a pas de limite, mais plus délicat d"en donner une démonstration

formelle. En effet, dès lors qu"on ne sait pas qu"une suite(un)converge, on ne peut pas écrire limun, c"est un

nombre qui n"est pas défini. Par exemple l"égalité lim n!¥(1)n+1=n=limn!¥(1)n

n"a pas de sens. Par contre voilà ce qu"on peut dire :Comme la suite1=n tend vers0quand n!¥, la suite

u

nest convergente si et seulement si la suite(1)nl"est. De plus, dans le cas où elles sont toutes les deux

convergentes, elles ont même limite.Cette affirmation provient tout simplement du théorème suivant

Théorème: Soient(un)et(vn)deux suites convergeant vers deux limites`et`0. Alors la suite(wn)définie par

w n=un+vnest convergente (on peut donc parler de sa limite) et limwn=`+`0.

De plus, il n"est pas vrai que toute suite convergente doit forcément être croissante et majorée ou décroissante

et minorée. Par exemple,(1)n=nest une suite qui converge vers 0 mais qui n"est ni croissante, ni décroissante.

Voicimaintenantunexemplederédactiondel"exercice. Onveutmontrerquelasuite(un)n"estpasconvergente.

Supposons donc par l"absurde qu"elle soit convergente et notons`=limn!¥un. (Cette expression a un sens

puisqu"on suppose queunconverge).

Rappel.Unesous-suitede(un)(on dit aussisuite extraitede(un)) est une suite(vn)de la formevn=uf(n)où

fest une application strictement croissante deNdansN. Cette fonctionfcorrespond "au choix des indices

qu"on veut garder" dans notre sous-suite. Par exemple, si on ne veut garder dans la suite(un)que les termes

pour lesquelsnest un multiple de trois, on pourra poserf(n) =3n, c"est à direvn=u3n. Considérons maintenant les sous-suitesvn=u2netwn=u2n+1de(un). On a quevn=1+1=2n!1 et que w n=1+1=(2n+1)! 1. Or on a le théorème suivant sur les sous-suites d"une suite convergente:

Théorème: Soit(un)une suite convergeant vers la limite`(le théorème est encore vrai si`= +¥ou`=¥).

Alors, toute sous-suite(vn)de(un)a pour limite`.

Par conséquent, ici, on a que limvn=`et limwn=`donc`=1 et`=1 ce qui est une contradiction. L"hypothèse disant que(un)était convergente est donc fausse. Donc(un)ne converge pas. 7

Correction del"exer cice4 N1.Vrai. T outesous-suite d"une sui tecon vergenteest con vergenteet admet la même limite (c"est un résultat

du cours). 2. F aux.Un contre-e xempleest la suite (un)ndéfinie parun= (1)n. Alors(u2n)nest la suite constante (donc convergente) de valeur 1, et(u2n+1)nest constante de valeur1. Cependant la suite(un)nn"est pas convergente. 3. Vrai. La con vergencede la suite (un)nvers`, que nous souhaitons démontrer, s"écrit :

8e>09N2Ntel que(n>N) jun`j Fixonse>0. Comme, par hypothèse, la suite(u2p)pconverge vers`alors il existeN1tel

2p>N1) ju2p`j Et de même, pour la suite(u2p+1)pil existeN2tel que

2p+1>N2) ju2p+1`j

SoitN=max(N1;N2), alors

n>N) jun`j2.unq=cos2nqpq

=cos(2np) =1=u0etunq+1=cos2(nq+1)pq =cos2pq =u1. Supposons, par l"absurde que(un)converge vers`. Alors la sous-suite(unq)nconverge vers`commeunq=u0=1 pour toutnalors`=1. D"autre part la sous-suite(unq+1)nconverge aussi vers`, maisunq+1=u1=cos2pq donc`=cos2pq . Nous obtenons une contradiction car pourq>2, nous avons cos2pq

6=1. Donc la suite

(un)ne converge pas.Correction del"exer cice6 N1.La fonction t7!1t est décroissante sur[n;n+1]donc

1n+16Z

n+1 ndtt 61n
par l"aire de deux rectangles.) Par calcul de l"intégrale nous obtenons l"inégalité :

1n+16ln(n+1)ln(n)61n

2.Hn=1n

+1n1++12 +1, nous majorons chaque terme de cette somme en utilisant l"inégalité1k 6 ln(k)ln(k1)obtenue précédemment : nous obtenonsHn6ln(n)ln(n1)+ln(n1)ln(n2)+ ln(2)+ln(2)ln(1)+1. Cette somme est télescopique (la plupart des termes s"éliminent et en plus ln(1) =0) et donneHn6ln(n)+1.

L"autre inégalité s"obtient de la façon similaire en utilisant l"inégalité ln(k+1)ln(k)61k

8

3.Comme Hn>ln(n+1)et que ln(n+1)!+¥quandn!+¥alorsHn!+¥quandn!+¥.

4.un+1un=Hn+1Hnln(n+1)+ln(n) =1n+1(ln(n+1)ln(n))60 d"après la première question.

Doncun+1un60. Ainsiun+16unet la suite(un)est décroissante.

Enfin commeHn>ln(n+1)alorsHn>ln(n)et doncun>0.

5.

La s uite(un)est décroissante et minorée (par 0) donc elle converge vers un réelg. Ce réelgs"appellela

constante d"Euler(d"après Leonhard Euler, 1707-1783, mathématicien d"origine suisse). Cette constante

vaut environ 0;5772156649:::mais on ne sait pas sigest rationnel ou irrationnel.Correction del"exer cice7 N1.La fonction polynomiale P(x):=x33x+1 est continue et dérivable surRet sa dérivée estP0(x) =

3x23;qui est strictement négative sur]1;+1[:Par conséquentPest strictement décroissante sur

]1;+1[:CommeP(0) =1>0 etP(1=2) =3=8<0 il en résulte grâce au théorème des valeurs intermédiaires qu"il existe un réel uniquea2]0;1=2[tel queP(a) =0: 2. Comme f(x)x= (x33x+1)=9 il en résulte queaest l"unique solution de l"équationf(x) =xdans ]0;1=2[: 3. Comme f0(x) = (x2+2)=3>0 pour toutx2R;on en déduit quefest strictement croissante surR: Commef(0) =1=9 et limx!+¥f(x) = +¥;on en déduit quef(R+) = [1=9;+¥[:Commex1=f(x0) =

1=9>0 alorsx1>x0=0 ;fétant strictement croissante surR+;on en déduit par récurrence que

x n+1>xnpour toutn2Nce qui prouve que la suite(xn)est croissante. 4. Un calcul simple montre que f(1=2)<1=2:Comme 0=x0<1=2 et quefest croissante on en déduit par récurrence quexn<1=2 pour toutn2N(en effet sixn<1=2 alorsxn+1=f(xn)D"après les questions précédentes ,la suite (xn)est croissante et majorée, elle converge donc vers un

nombre réel`2]0;1=2]:De plus commexn+1=f(xn)pour toutn2N;on en déduit par continuité def que`=f(`):Commef(1=2)<1=2;On en déduit que`2]0;1=2[et vérifie l"équationf(`) =`:D"après

la question 2, on en déduit que`=aet donc(xn)converge versa:Correction del"exer cice8 NRemarquons d"abord que 11k

2=1k2k

2=(k1)(k+1)k:k. En écrivant les fractions deunsous la cette forme,

l"écriture va se simplifier radicalement: u

Tous les termes des numérateurs se retrouvent au dénominateur (et vice-versa), sauf aux extrémités. D"où:

u n=12 n+1n

Donc(un)tends vers12

lorsquentend vers+¥.Correction del"exer cice9 N1.0. 2. 1. 3.

7 =30.

9

4.1 =2.

5. 1.

6.3=2.

7. 1. 8. 3. 9.

1 ; 2.

10. 3 =4. 11. 0. 12. 0. 13.

1 =3.Correction del"exer cice10 N1.La suite (un)est strictement croissante, en effetun+1un=1(n+1)!>0. La suite(vn)est strictement

décroissante : v 1): Donc à partir den>2, la suite(vn)est strictement décroissante. 2. Comme un6vn6v2, alors(un)est une suite croissante et majorée. Donc elle converge vers`2R. De

mêmevn>un>u0, donc(vn)est une suite décroissante et minorée. Donc elle converge vers`02R. De

plusvnun=1n!. Et donc(vnun)tend vers 0 ce qui prouve que`=`0. 3.

Supposons que `2Q, nous écrivons alors`=pq

avecp;q2N. Nous obtenons pourn>2: u n6pq 6vn:

Ecrivons cette égalité pourn=q:uq6pq

6vqet multiplions parq!:q!uq6q!pq

6q!vq. Dans cette

double inégalité toutes les termes sont des entiers ! De plusvq=uq+1q!donc: q!uq6q!pq

6q!uq+1:

Donc l"entierq!pq

est égal à l"entierq!uqou àq!uq+1=q!vq. Nous obtenons que`=pq est égal à u qou àvq. Supposons par exemple que`=uq, comme la suite(un)est strictement croissante alors u q`=vqcar la suite(vn)est strictement décroissante. Pour conclure nous avons montré que`n"est pas un

nombre rationnel. En fait`est le nombree=exp(1).Correction del"exer cice11 N10 1. u

2n+1a=14

u2n+au nquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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