[PDF] Corrigé du devoir maison no 1

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Universit´e Bordeaux 1Ann´ee universitaire 2007-2008

MHT204(Analyse 1 pour informaticiens)

Corrig´e du devoir maison n

o1

Exercice 1

1. Soienta,b?R+. On peut ´ecrire

a-⎷b)2=a+b-2⎷ab Un carr´e ´etant toujours positif ou nul, nous avons donc ab d"o`u

2⎷

d"o`u le r´esultat en divisant par 2. et d"autre part, en aditionnantb`a la mˆeme in´egalit´e, on trouve c"est-`a-dire, en regroupant les termes

d"o`u (en divisant par 2) la premi`ere in´egalit´e que l"on cherchait `a ´etablir. La deuxi`eme in´egalit´e

s"obtient par une strat´egie analogue : en multipliant para(qui est positif) les deux membres de a et d"autre part, en multipliant parbla mˆeme in´egalit´e, on trouve c"est-`a-dire, en regroupant les termes a

d"o`u, en prenant les racines carr´ees, la seconde in´egalit´e cherch´ee. En effet, les r´eelsaetb´etant

positifs, on a bien⎷ a2=aet⎷b2=b.

3. Soientu0etv0des r´eels strictement positifs avecu0< v0. On d´efinit deux suites (un) et (vn) de la

fa¸con suivante : u n+1=⎷ unvnetvn+1=un+vn2. (a) Tout d"abord, on remarque que les suitesunetvnsont `a termes positifs (ceci se montre u u n=⎷ un-1vn-1etvn=un-1+vn-12 licite, les r´eelsun-1etvn-1´etant positifs). 1 question (a). Donc en posanta=unetb=vndans la premi`ere in´egalit´e de la question 2 on trouve que u de la question 2 on trouve que u avons, pour tout entiern, l"in´egalit´e u La suiteunest croissante, major´ee parv0, donc elle converge vers une certaine limite?. De

mˆeme, la suitevnest d´ecroissante, minor´ee paru0, donc elle converge vers une certaine limite

?. La relation v n+1=un+vn 2 donne, par passage `a la limite, l"´egalit´e 2 d"o`u l"on d´eduit ais´ement que?=??.

Exercice 2

1. Tout d"abord, remarquons que la fonctiongest continue (car obtenue par somme et composition

de fonctions continues). On calcule facilement que g(a) =f?a+b 2? -f(a) etg?a+b2? =f(b)-f?a+b2?

Commef(a) =f(b) on en d´eduit que

g(a) =-g?a+b 2? donc ou bieng(a) = 0 et on a gagn´e, ou bieng(a)?= 0 et alorsgchange de signe entreaeta+b 2.

Donc d"apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, la fonctiong´etant continue, elle s"annule en

au moins un point l"intervalle [a,a+b 2].

2. Soittle temps (mesur´e en heures), on fait commencer le trajet `a l"instantt= 0. Soitd(t) la distance

totale (mesur´ee en kilom`etres) parcourue `a l"instantt, nous supposons que la fonctiont?→d(t) est

continue. Soitf: [0,1]→Rla fonction d´efinie par f(t) =d(t)-4t Alorsf(0) = 0 et par hypoth`esef(1) = 0. En appliquant la question pr´ec´edente aveca= 0 et b= 1, on trouve qu"il existet0?[0,1

2] tel queg(t0) = 0, c"est-`a-diref(t0+12) =f(t0). Donc

d(t0+1

2)-d(t0) = 4(t0+12)-4t0= 2

ce qui signifie que la distance parcourue entre l"instantt0et l"instantt0+1

2est de 2 km.

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