[PDF] 3.3 Suites arithmético-géométriques

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Exemple 41.

On considère la suite (

x n n 1 de terme général x n

2+ ... +1

n= n i =1 1 k.

Exemple 42.

On considère la suite (

a n n N pour a > 1.

3.3 Suites arithmético-géométriques

Dé fi nition 32.

Une suite

x n n N est dite arithmético-géométrique si elle est dé fi nie par un processus itératif de la forme : x 0 b pour tout n 0 x n +1 q x n a où a b et q sont des réels fi xés.

On a les cas particuliers suivants :

- Lorsque q = 1, la suite ( x n n N ainsi obtenue est une suite arithmétiqu e de raison a - Lorsque a = 0, q = 0 et q = 1, la suite ( x n n N obtenue est une suite géométrique de raison q Pour chacun de ces cas particuliers, on peut calculer la limite de la suite ( x n n N (quand elle existe) et la somme des n + 1 premiers termes selon les règ les suivantes :

3.5. Propriété - Cas des suites arithmétiques.

Soit (

x n n N la suite arithmétique donnée par le processus itératif x 0 b pour tout n 0, x n +1 x n a avec a = 0, alors on a - la suite ( x n n N admet une limite, et si a >

0, alors lim

n x n = lim n an b si a <

0, alors lim

n x n = lim n an b - la somme des n + 1 premiers termes de la suite ( x n n N est x 0 x n n k =0 x k n k =0 ak b ) =n(n + 1)

2a + (n + 1)b

Exemple 43.

Calculer la somme des n+1 premiers entiers pairs : 0 + 2 + 4 + + 2 n 35

3.6. Propriété - Cas des suites géométriques.

Soit (

x n n N la suite géométrique donnée par le processus itératif x 0 b pour tout n 0, x n +1 qx n avec q = 0 et q = 1 et b = 0, alors on a - la suite ( x n n N peut admettre ou non une limite : si q > 1 et b >

0, alors lim

n x n = lim n bq n si q > 1 et b <

0, alors lim

n x n = lim n bq n si q 1

1[, alors lim

n x n = lim n bq n = 0 si q

1, alors la suite (

x n n N diverge. - la somme des n + 1 premiers termes de la suite ( x n n N est x 0 x n n k =0 x k n k =0 bq n =q n +1 1 q 1b

Exemple 44.

Calculer la somme 1+

1

2+14+...+12

n n k =0 1 2 k . Quelle est la limite de cette somm e?

Exemple 45.

Une population microbienne augmente de 10% toutes les heures. On l'observe initiale- ment avec 200 individus. Combien d'heures s'écouleront pour atteindre

10000 individus?

Le cas général est le suivant :

3.7. Propriété - Cas des suites arithmético-géométriques.

Soit (

x n n N la suite arithmético-géométrique donnée par le processus itératif x 0 b pour tout n 0, x n +1 qx n a alors - le terme général de la suite ( x n n N est donné par x n b +a q 1 q n -a q 1 - la somme des n + 1 premiers termes de la suite ( x n n N est x 0 x n n k =0 x k =q n +1 1 q 1 b +a q 1 n + 1)a q 1 36

3.4 Quelques résultats théoriques

3.4.1 Limites classiques

On a les limites classiques :

- Quotient de deux polynômes : lim n a k n k a k 1 n k 1 a 0 b l n l b l 1 n l 1 b 0 0 si k < l a k b k si k l si k > l et a k du même signe que b l si k > l et a k du signe contraire de b l autrement dit la limite du quotient de deux polynômes est celle de la limite du quotient des deux termes de plus haut degré : lim n a k n k a k 1 n k 1 a 0 b l n l b l 1 n l 1 b 0 = lim n a k n k b l n l = lim n a k b l n k l - limites associées aux fonctions ln et exp : lim n ln 1 n ; lim n ln( n ; lim n e n = 0; lim n e n lim n nquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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