[PDF] Suites arithmétiques et géométriques

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Suites arithmétiques et géométriques

1 Suites numériques

Définition 1Une suite numérique est une fonction deNversR

Notations ::NR

7 est le terme de rang;( )est la suite ayant comme terme de rang

En général, une suite est définie :

- Soit de manière explicite : on peut calculer directement en fonction de

Exemple :

=(1)

Cas particulier :

=()oùest une fonction d'un type connu. Exemple : - Soit par récurrence :

On calcule

de proche en proche à l'aide d'une relation de récurrence+1

Exemple(

)suite de premier terme 1 =1et telle que +1 =2 +3Onadoncdeprocheen proche : 2 =2×1+3=5; 3 =2×5+3=13; 4 =2×

13 + 3 = 29etc2 Suites arithmétiques

2.1 Définition

Cesontdessuitesdéfinies par la relation de récurrence +1 +uest la raison. Une suite arithmétique est caractérisée par son premier terme et sa raison.

Exemple 1La suite des nombres impairs est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.

Remarque 1Pour montrer qu'une suite(

que pour tout entier: +1

2.2 Expression de

en fonction deet de

Si le premier terme est

0 et la raison: 1 0 2 1 1 1 2 0 1 1 0

Si le premier terme est

1 et la raison: 2 1 3 2 1 2 3 =1 2 1 +(1) 1 +(1)

Remarque 2

=(premier terme)+(nombre de termes avant )×(raison)

Suites arithmétiques et géométriques 2

2.3 Somme des termes d'une suite arithmétique

Théorème 11+2+3+···+=(+1)

2

Démonstration.Posons

=1+2+3+···+

Ecrivonslestermescomposant

de gauche à droite puis de droite à gauche et additionnons : =1+2+···+(1) + =+(1) +···+2+1 2 =(+1) + (+1) +···+(+1) + (+1)d'où le théorème.

Calculons maintenant=

0 1 2 X =0

Ecrivons chaque terme en fonction de

0 et deet ajoutons les égalités obtenues 0 0 1 0 2 0 +2 0

V=(+1)

0 +(1+2+3+···+)=(+1) 0 +(+1)

2=(+1)³

0 2´ =(+1)µ2 0 =(+1)µ 0 0 =(+1)µ 0

Si on veut calculer=

1 2 X =1 dans le cas où le premier terme est 1 la même méthode conduit à= 1 2

Remarque 3

=(nombre de termes)µpremier terme + dernier terme premier terme et dernier terme désignant respectivement le premier terme de la somme et le dernier terme de la somme

3 Suites géométriques

3.1 Définition

Cesontdessuitesdéfinies par la relation de récurrence +1 est la raison. Une suite géométrique est caractérisée par son premier terme et sa raison. Nous supposerons dans la suite que le premier terme ainsi que la raison sont non nuls.

DoncN:

6 =0

Exemple 2Lasuitedetermegénéral

=2 est une suite géométrique de raison2

Remarque 4Pour montrer qu'une suite(

)est une suite géométrique de raison,ilsutdemontrer que pour tout entier: +1

3.2 Expression de

en fonction deet de

Si le premier terme est

0 et la raison: 1 0 2 1 1 1 2 0 1 1 0

Suites arithmétiques et géométriques 3

Si le premier terme est

1 et la raison: 2 1 3 2 1 2 3 1 1 2 1 1 1

Remarque 5

=(premier terme)×(raison) nombre de termes avant

3.3 Somme des termes d'une suite géométrique

Théorème 2Si6=1:1++

2 =1 +1 1

Démonstration.SoitS

=1++ 2 S =¡1++ 2 2 3 +1

DoùS

S =1 +1 puisS =1 +1 1

Calculons maintenantS=

0 1 2 X =0 S= 0 0 0 2 0 0

¡1++

2 D'après le théorème précédent, on en déduit :S= 0 1 +1 1

Si on veut calculerS=

1 2 X =1 dans le cas où le premier terme est 1 la même méthode conduit àS= 1 1 1

Remarque 6

S=(premier terme)×1(raison)

nombre de termes

1(raison)

premier terme et dernier terme dési- gnant respectivement le premier terme de la somme et le dernier terme de la sommequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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