[PDF] Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites

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Université de Cergy-Pontoise

Département de MathématiquesL1 MIPI - S2Cours de Mathématiques :

Polynômes et Suites

2

Table des matières

1 Nombres complexes5

1.1 Le corpsCdes nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Forme algébrique d"un nombre complexe

5

1.1.2 Forme trigonométrique d"un nombre complexe

6

1.2 Exponentielle complexe

7

1.2.1 Exponentielle d"un nombre complexe

7

1.2.2 Forme exponentielle d"un nombre complexe

7

1.2.3 Linéarisation et opération inverse

8

1.3 Équations à coefficients complexes

8

1.3.1 Equation du second degré

8

1.3.2 Calcul des racines carrées d"un complexe sous forme algébrique

9

1.3.3 Racinesn-ième d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Appendice : construction deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2 Polynômes à coefficients réels ou complexes

13

2.1 Définitions et opérations sur les polynômes

13

2.2 Divisibilité et division euclidienne

14

2.3 Racines d"un polynôme

15

2.3.1 Application polynôme et racines

15

2.3.2 Polynôme dérivé

17

2.4 Polynômes irréductibles

19

2.5 Compléments

20

2.5.1 Construction deK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

2.5.2 PGCD

21

2.5.3 Décomposition en éléments simples d"une fraction rationnelle

23

3 Suites de nombres réels

27

3.1 Généralités sur les suites

27

3.1.1 Définitions

27

3.1.2 Suites arithmétiques et géométriques

27

3.1.3 Suites croissantes, suites décroissantes

30

3.1.4 Suites majorées, minorées, bornées

30

3.2 Limites de suites

31

3.2.1 Suites convergentes

31

3.2.2 Opérations sur les limites

33

3.2.3 Limites usuelles

35

3.2.4 Propriétés d"ordre des suites réelles convergentes

35

3.2.5 Suites et continuité

37

3.2.6 Remarque sur les suites de nombres complexes

38

3.3 Suites monotones, suites adjacentes

38

3.3.1 Borne supérieure, borne inférieure dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

3.3.2 Théorème des suites monotones

39

3.3.3 Suites adjacentes

40

3.4 Suites définies par récurrence

42

3.4.1 Suites récurrentes d"ordre 1

42

3.4.2 Suites récurrentes linéaires d"ordre 2

44

4 TABLE DES MATIÈRES

3.5 Suites extraites (Sous-suites)

46

3.5.1 Suites extraites et convergence

46

3.5.2 Théorème de Bolzano-Weierstrass

47

3.6 Suites de Cauchy

48

4 Séries numériques à termes positifs

51

4.1 Définition, convergence et opérations sur les séries

51

4.1.1 Définition

51

4.1.2 Nature d"une série

51

4.1.3 Opérations sur les séries

52

4.2 Convergence des séries à termes positifs

54

4.2.1 Théorème de comparaison

54

4.2.2 Séries de termes généraux équivalents

55

4.2.3 Séries de Riemann

57

4.2.4 Règles de D"Alembert et Cauchy

58

A Alphabet grec61

B Notations63

C Trigonométrie circulaire

6 5

Chapitre 1

Nombres complexes

1.1 Le corpsCdes nombres complexes

1.1.1 Forme algébrique d"un nombre complexe

Définition 1.1(Forme algébrique des nombres complexes).Un nombre complexe est un nombre de la forme

z=x+iyoù(x;y)2R2etiest un nombre tel quei2=1.xest lapartie réelledez, notée Re(z), ety est lapartie imaginairedez, notée Im(z).

Remarque 1.1.Re(z)et Im(z)sont des nombres réels. Si Im(z) = 0on dit quezest réel et si Re(z) = 0

on dit quezest imaginaire pur.

Remarque 1.2.Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ontmêmepartie réelle etmême

partie imaginaire. On noteCl"ensemble des nombres complexes. On définit alors la somme et le produit de deux nombres complexesz=x+iyetz0=x0+iy0par z+z0= (x+x0) +i(y+y0); zz0= (xx0yy0) +i(xy0+x0y):(1.1)

On vérifie alors facilement que la somme et le produit dansCvérifient les même propriétés que dansR:

commutativité, associativité, distributivité. Remarque 1.3.Une construction effective deCest donnée dans la Section1.4 . Définition 1.2.Le nombrez=xiys"appelle leconjuguédez=x+iy.

On vérifie facilement que

z+z0=z+z 0, zz 0=zz 0, z=z, z n=z n;8n2N, z=z,

Re(z) =z+z

2

Im(z) =zz

2i. Définition 1.3.Lemoduledezest le réel positif notéjzjet défini par jzj=px

2+y2=pzz:

Remarque 1.4.Sixest un réel, le module dexest la valeur absolue dex. ?Attention !On ne peut pas comparer deux nombres complexes avec<;>;;(en particulier un nombre complexe n"est ni positif ni négatif). Mais on peut comparer le module de deux nombres complexes. Exercice 1.1.Vérifier que pour tous complexesz;z0on a a)zz 0+zz

0= 2Re(zz).

6 Nombres complexes

b)Re(z) jRe(z)j jzjet Im(z) jIm(z)j jzj. c)jzz0j=jzj jz0j. Lemme 1.1(Inégalité triangulaire).Soientz;z0deux nombres complexes. On a

1.jz+z0j jzj+jz0j;

2.jjzj jz0jj jzz0j:

Démonstration.1. Soientz;z02C. On a alors

jz+z0j2= (z+z0)(z+z0) = (z+z0)(z+z

0) =jzj2+ 2Re(zz

0) +jz0j2:

En utilisant le b) de l"Exercice

1.1 on en déduit que jz+z0j2 jzj2+ 2jzz

0j+jz0j2=jzj2+ 2jzjjz0j+jz0j2= (jzj+jz0j)2:

On conclut en utilisant le fait quejz+z0jetjzj+jz0jsont positifs et que la fonctionx7!pxest croissante

surR+.

2. On écritjzj=j(zz0)+z0j jzz0j+jz0jd"oùjzjjz0j jzz0j. De même on ajz0jjzj jz0zj.

En combinant les deux on obtient le résultat.

Exercice 1.2.Donner une interprétation géométrique de Re(z), Im(z),jzj,z,z7!z+aoùa2Cest donné.

1.1.2 Forme trigonométrique d"un nombre complexe

Proposition 1.1(Forme trigonométrique d"un nombre complexe).Soitz2Cnon nul. Il exister >0(en particulierrest réel) et2Rtels que z=r(cos() +isin()):(1.2) Le nombres"appelle un argument du nombre complexezet on le note arg(z).

Idée de démonstration.Au nombre complexezon associe le pointMdu plan de coordonnées(x;y). Or tout

point du plan est aussi uniquement défini par sa distance à l"origine (qui est le nombrer) et l"angle entre le

demi-axe[0x)et le vecteur~0M. r M x=rcosy=rsin O

Remarque 1.5.On ar=jzj.

Exercice 1.3.Mettrez= 2 + 2isous forme trigonométrique. Proposition 1.2.Deux complexesz=r(cos() +isin())etz0=r0(cos(0) +isin(0))sont égaux si et seulement sir=r0et=0+ 2k; k2Z:

Remarque 1.6.La proposition précédente montre que l"argument d"un nombre complexe n"est pas unique.

1.2 Exponentielle complexe 7

Proposition 1.3.Soitz2C.zadmet un unique argument dans l"intervalle];]. Celui-ci est appelé argument principal dezet est notéArg(z). Proposition 1.4.Soientz;z02Cet;0des arguments dezetz0respectivement. Alors+0est un argument dezz0. Exercice 1.4.Démontrer la proposition précédente. Proposition 1.5(Formule de De Moivre).Pour toutn2Zet2R, (cos+isin)n= cos(n) +isin(n):

Démonstration.Pourn2N, elle se fait par récurrence en utilisant la Proposition1.4 . Pournnégatif, on

note que(cos+isin)1= cosisin= cos() +isin()et on applique ce qui précède àet n2N.

1.2 Exponentielle complexe

1.2.1 Exponentielle d"un nombre complexe

Définition 1.4.Siz=x+iyest un nombre complexe, on définit l"exponentielle dez, notéeexpzouezpar

expz= ex(cos(y) +isin(y)); oùexest l"exponentielle usuelle du nombre réelx.

L"une des raisons de cette définition est qu"elle préserve les "propriétés algébriques" de l"exponentielle usuelle.

Proposition 1.6.Soientz;z0deux nombres complexes. Alors

1.ez+z0= ezez0:

2. p ourtout n2Z,(ez)n= enz:

3.ez6= 0et1e

z= ez. Exercice 1.5.Démontrer la proposition précédente.

Exercice 1.6.Soitz2C. Montrer que

a)jezj= eRe(z). b)e z= ez

Remarque 1.7.On a défini l"exponentielle complexe à l"aide decosetsin, qui peuvent être définies de façon

géométrique. De même les identités pourcos(a+b)etsin(a+b)peuvent être montrées de façon géométrique,

et on peut retrouver toutes les formules à partir de celles-ci. Il existe une définition de l"exponentielle complexe sous la forme de "série entière" : e z=1X n=0z nn!;

qui sera étudiée dans un cours d"analyse plus avancé (voir aussi l"Exercice 33 du chapitre sur les suites dans

le polycopié d"exercices). Le cosinus et le sinus sont alors définis à partir de cette dernière comme la partie

réelle et la partie imaginaire de l"exponentielle complexe du nombrei.

1.2.2 Forme exponentielle d"un nombre complexe

Dans le cas oùz=iest imaginaire pur, la Définition1.4 donne e i= cos() +isin(): Ceci permet de réécrire un nombre complexe mis sous forme trigonométrique comme z=r(cos+isin) =rei:On l"appelle la forme exponentielle du nombre complexez.

8 Nombres complexes

Remarque 1.8.Deux complexesreietr0ei0sont égaux si et seulement sir=r0et=0+ 2k; k2Z:

Cas particuliers importants :

e i2 =i;ei=1;e2i= 1: ?Attention !Ne pas confondreexlorsquex2Reteiy= cos(y) +isin(y)!

Exercice 1.7.Montrer que1e

i=ei=e i.

Proposition 1.7.[Formules d"Euler] Soit2R, on a

cos=ei+ei2 ;sin=eiei2i:

1.2.3 Linéarisation et opération inverse

On donne ici deux applications des formule d"Euler de De Moivre. Linéarisation: il s"agit d"écrirecosn()ousinp()comme une somme de termes de la formesin(k)ou cos(k), aveckentier. On utilise pour cela la formule d"Euler et la formule du binôme de Newton (a+b)n=nX k=0 n k a kbnk:

Il s"agit ensuite de regrouper deux à deux les termes dont les puissances sont opposées l"une de l"autre. Cette

procédure sera très utile dans le cours d"intégration.

Exemple 1.1.Pour tout2Ron a

cos

3=ei+ei2

3 18 (ei)3+ 3(ei)2(ei) + 3(ei)(ei)2+ (ei)3 18 e3i+e3i+ 3(ei+ei) 14 cos(3) +34 cos(): Opération inverse: on veut cette fois exprimercos(n)ousin(p)en fonction de puissances decosetsin.

On utilise cette fois la formule de De Moivre.

Exemple 1.2.Pour tout2Ron a

cos(3) =Recos(3) +isin(3) =Re(cos+isin)3 = cos

3()3cos()sin2():

1.3 Équations à coefficients complexes

1.3.1 Equation du second degré

L"une des raisons pour lesquelles on a souhaité introduire les nombres complexes est que certaines équa-

tions du second degré n"avaient pas de solutions réelles, par exemple l"équationx2+1 = 0n"a pas de solution

dansR. Elle en a cependant deux dansC:ieti. Qu"en est-il d"une équation du second degré générale

dont les coefficients sont eux aussi des nombres complexes : az

2+bz+c= 0; a;b;c2C; a6= 0?

La méthode est essentiellement la même que dansR.

1.3 Équations à coefficients complexes 9

Lemme 1.2.SoitZ2C. L"équationz2=Zpossède exactement deux solutions qui sont appelées racines

carrées du nombreZ. Siz0est l"une d"entre elles alors l"autre estz0.

?Attention !Lorsquexest un réel positif le nombrepxdésigne l"unique racine carrée positive dex. Pour

un nombre complexeZ, qui n"est pas réel positif, ses deux racines carrées seront des nombres complexes et

n"auront donc pas de signe. La notationpZserait donc ambiguë et on ne l"utilisera jamais!! Démonstration.SoitZ2C. On écritZsous forme exponentielle,Z=ReiavecR >0, et on cherche une solution de l"équationz2=Zsous la formez=rei. Sizest solution alors

Rei=r2e2i;

avecr2>0. On en déduit donc, cf Remarque1.8 , queR=r2et2=+ 2kpour un certaink2Z. Ainsi r=pRet=2 +kpour un certaink2Z, et donc z=pRei2 eik= (1)kpRei2 =pRei2 Réciproquement, on vérifie que ces deux nombres sont bien solutions de l"équationz2=Z. Proposition 1.8.Soit(a;b;c)2CCC. L"équationaz2+bz+c= 0possède exactement deux solutions lorsque =b24ac6= 0et une seule solution lorsque = 0. Siest une racine carrée dealors les solutions sont z

1=b2aetz2=b+2a:

Tout comme pour les équations à coefficients réels,est appelé lediscriminantde l"équationaz2+bz+c= 0.

Démonstration.L"équationaz2+bz+c= 0est équivalente à l"équation a z+b2a 2 +cb24a= 0() z+b2a 2 =4a2: En notantune racine carrée deon en déduit quezest solution si et seulement siz+b2a=2aet donc si et seulement siz=z1ouz=z2. Exemple 1.3.Résoudre dansCl"équation4z28z+ 4i= 0.

On calcule = (8)244(4i) = 16i= 16ei2

. Une racine carrée deest=p16e i4 = 2p2(1+i).

Les solutions de l"équation sont donc

z

1=b2a=82p2(1 +i)24= 1p2

4 ip2 4 et z

2=b+2a=8 + 2p2(1 +i)24= 1 +p2

4 +ip2 4

1.3.2 Calcul des racines carrées d"un complexe sous forme algébrique

Dans la pratique, la méthode utilisée dans la section précédente pour la recherche d"une racine carrée

nécessite de savoir mettre un nombre complexe donné (le discriminant) sous forme exponentielle.

Exemple 1.4.On souhaite résoudre l"équationz23z+ 3i= 0:On calcule = (3)241(3i) =3 + 4i: Si on veut mettresous forme exponentielle, on calculejj=p(3)2+ 42= 5et il faut ensuite trouver tel quecos() =35 etsin() =45

10 Nombres complexes

On va chercher à calculer une racine carrée d"un nombre complexe directement sous forme algébrique.

SoitZ=a+ib2Con cherchez=x+iytel quez2=Z. En développant(x+iy)2et en identifiant partie réelle et partie imaginaire on obtient les deux équations suivantes : x

2y2=aet2xy=b:

Ces deux équations suffisent pour trouverxetymais il est plus commode d"ajouter une troisième équation

en remarquant que siZ=z2alorsjZj=jzj2, ce qui se réécritpa

2+b2=x2+y2:

On va résoudre ces équations pour l"exemple ci-dessus. Exemple 1.5.On cherche une racine carrée de =3 + 4i. Les équations ci-dessus deviennent ainsi x

2y2=3;2xy= 4etx2+y2= 5:

En utilisant la première et la dernière équation on trouve facilement x

2= 1ety2= 4;

d"oùx=1ety=2. Enfin, en utilisant la deuxième équation on en déduit quexetydoivent avoir le

même signe (xy= 2>0!). On trouve ainsi les deux racines carrées de:1 + 2iet12i. On prend ensuite, par exemple,= 1+2i(que se passerait-il si on choisissait=12i?) et on trouve que les deux racines de l"équationz23z+ 3i= 0sont z

1=b2a= 1ietz2=b+2a= 2 +i:

1.3.3 Racinesn-ième d"un nombre complexe

Nous reviendrons dans le chapitre suivant, voir le Théorème 2.9 , sur les équations de degrénde la forme a nzn+an1zn1++a1z+a0= 0;

oùn2Netan6= 0. Nous verrons en particulier qu"une telle équation admet toujours une solution complexe.

Notez que ce n"est pas vrai dansR: l"équationz2+ 1 = 0n"a aucune solution réelle.

Parmi les équations de degrén, il est facile de trouver les solutions de celles de la formezn=ZoùZest

un nombre complexe fixé. Définition 1.5.SoitZ2C:Les nombres complexesztels quezn=Zsont appelésracinesn-ièmesdeZ. Pour les calculer, la méthode est similaire à celle utilisée dans la Section 1.3.1 p ourle calcul des racines

carrées. Elle consiste à écrireZsous forme exponentielle,Z=Rei, et on cherche alorszégalement sous

forme trigonométrique :z=rei. Le nombrezvérifiezn=Zsi et seulement si (rei)n=Rei; ce qui est équivalent à r n=R; r0;etn=+ 2k; k2Z:

Ainsi, on a

r=R1n et=n +2kn oùk= 0;:::;n1 (pourk=non retrouve le même résultat que pourk= 0, pourk=n+ 1le même que pourk= 1,...). Définition 1.6.Lesracinesn-ièmes de l"unitésont les nombres complexes tels quezn= 1.

En appliquant ce qui précède àZ= 1, on en déduit que les racinesn-ièmes de l"unité sont lesnnombres

complexes z k= e2ikn ; k= 0;1;:::;n1:

Géométriquement, ce sont les sommets du polygone régulier àncôtés inscrit dans le cercle de centre l"origine

et de rayon1(cercle trigonométrique) et ayant le point d"affixe1pour sommet. Par exemple, les racines

cubiques de l"unité sont1,j= e2i3 etj2=j.

Exercice 1.8.Résoudrez3= 4p2 + 4ip2.

Exercice 1.9.Montrer que la somme desnracinesn-ièmes de l"unité vaut0.

1.4 Appendice : construction deC111.4 Appendice : construction deC

Les nombres complexes sont, par définition, les éléments(x;y)2R2pour lesquels on définit (x;y) + (x0;y0) = (x+x0;y+y0);(x;y)(x0;y0) = (xx0yy0;xy0+yx0):(1.3)

On note aussi

(x;y) = (x;y):

L"ensemble des nombres complexes (c"est-à-direR2muni de ces opérations) est notéC. On va considérer les

éléments deCcomme des "nombres"zplutôt que comme des couples(x;y). On notera :

0 = (0;0)et1 = (1;0):

Tout commeQetR,Ca une structure de corps commutatif, c"est-à-dire qu"il vérifie les propriétés suivantes.

Proposition 1.9.Siz;z0;z00sont trois nombres complexes, alors i)z+ 0 = 0 +z=z, ii)z+z0=z0+z, iii)z+ (z0+z00) = (z+z0) +z00, iv)z+ (z) = (z) +z= 0, v)z1 = 1z=z, vi)zz0=z0z, vii)( zz0)z00=z(z0z00), viii)z(z0+z00) =zz0+zz00, ix)Siz6= 0alors il existe un unique nombre complexe, noté1z , tel quez1z =1z z= 1.

Exercice 1.10.Démontrer cette Proposition.

Exercice 1.11.Siz= (x;y), montrer que1z

=xx

2+y2;yx

2+y2

On noteile nombre complexe

i= (0;1); et on a donc ii= (0;1)(0;1) = (0011;01 + 10) = (1;0); ce qui s"écrit i 2=1: La multiplication et l"addition de(x;0)et(x0;0)coincident avec celles pourxetx0, c"est-à-dire que (x;0) + (x0;0) = (x+x0;0)et(x;0)(x0;0) = (xx0;0): On peut donc identifierRavec l"ensemble des nombres complexes de la forme(x;0), et on aRC.

Les nombres complexes de la forme(0;y)sont appelés lesimaginaires purs. L"ensemble des imaginaires

purs est notéiR.

Proposition 1.10(Forme algébrique des nombres complexes).Tout nombre complexezs"écrit de façon

unique sous la forme z=x+iy; x2R; y2R:

Démonstration.On az= (x;y) = (x;0)+(0;1)(y;0), d"où le résultat d"après les conventions de notation

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