[PDF] Devoir maison sur les suites - Exemples dapplication

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Devoir maison sur les suites - Exemples d"application

Voici la liste des exercices corrigés :

Exercice 1 :(niveau 2)

Étudier la suite(??)définie par?0∈ℝet par la relation de récurrence??+1= (??)2.

Exercice 2 :(niveau 1)

Étudier la suite(??)définie par{

0≥0

?+1= ln(1 +??)

Exercice 3 :(niveau 4)

Étudier la suite(??)définie par?0>-1et par la relation de récurrence??+1=1

1 +??.

Exercice 4 :(niveau 4)

Étudier la suite(??)définie par?0∕=-1et par la relation de récurrence??+1=3??+ 2 ??+ 1.

Exercice 5 :(niveau 7)

Étudier la suite(??)définie par?0∈ℝet par la relation de récurrence??+1= 3??2(1-??).

Remarque : pour cet exercice, il est nécessaire d"avoir une calculatrice ou un ordinateur pour visualiser la suite

et des courbes et émettre de bonnes conjectures.

Voici la liste des exercices facultatifs :

Exercice 6 :(niveau 4)

Étudier la suite(??)définie par?0∕=-1

2et par la relation de récurrence??+1=4??2??+ 1.

Exercice 7 :(niveau 1)

Étudier la suite(??)définie par?0∈ℝet par la relation de récurrence??+1=1

2???+ 1.

Exercice 8 :(niveau 3)

Étudier la suite(??)définie par?0∈ℝet par la relation de récurrence??+1= 1 +1 4?2?.

Exercice 9 :(niveau 5)

Étudier la suite(??)définie par?0∕= 1et par la relation de récurrence??+1=??2+ 1 ??-1.

Exercice 10 :(niveau 2)

Étudier la suite(??)définie par?0>0et par la relation de récurrence??+1= 2 + ln(??).

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Exercice 1 :Étudier la suite(??)définie par?0∈ℝet par la relation de récurrence??+1= (??)2.

Solution :

Soit?la fonction définie surℝpar la relation?(?) =?2. ∙Étude de la fonction?:

?est dérivable en tant que fonction polynomiale. Et?′(?) = 2?. Par conséquent, on a le tableau de variations

suivant : signe de?′(?) variations de?-∞ +∞0 0

0+∞

1 2 3-1-2-3

1234
-1 -2 ∙Recherche des points fixes de?: ?(?) =?⇔?2=?⇔?2-?= 0⇔?(?-1) = 0. Les solutions de l"équation?(?) =?sont?= 0et?= 1.

Si jamais la suite(??)converge, sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Donc il y a deux

limites éventuelles :ℓ= 0ouℓ= 1. ∙Recherche des intervalles stables par?:

On a?(0) = 0et?(1) = 1; connaissant les variations de?et les limites aux bornes, on peut conclure que les

intervalles[0;1]et]1;+∞[sont stables par?.

On a?(-1) = 1donc connaissant les variations de?et les limites aux bornes, on peut conclure que l"image de

l"intervalle[-1;0]est l"intervalle[0;1]. Et l"image de l"intervalle]- ∞;-1]est l"intervalle[1;+∞[.

∙Position de la courbe de?par rapport à la première bissectrice : ∙Conséquence sur l"étude de la suite(??): ?∈[0;1]. Par conséquent, la suite récurrente(??)est décroissante.

Il y a alors deux sous-cas :

- Si?0= 1, point fixe de?, la suite(??)est constante.

- Si?0∈[0;1[,(??)est décroissante et minorée par0(puisque pour tout?∈ℕ,??∈[0;1]). Donc elle converge

vers une limiteℓ≥0. Sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Et puisque pour tout?on a

∙Si?0∈]1;+∞[, intervalle stable par?, on a alors pour tout?∈ℕ,??∈]1;+∞[. On a de plus?(?)≥?pour

tout?∈]1;+∞[. Par conséquent, la suite(??)est croissante.

La suite(??)est croissante. Soit elle est majorée et elle converge vers un point fixe de?(car?est continue).

Soit elle est non majorée, et elle tend vers+∞(suite croissante non majorée).

En supposant(??)majorée, on aurait(??)croissante et majorée; donc convergente. Elle convergerait vers un

1< ℓ. Or les deux seuls points fixes de?sont0et1. Contradiction.

Donc(??)est non majorée. C"est une suite croissante non majorée. Elle tend donc vers+∞.

∙Si?0∈]-1;0[alors?1∈]0;1[intervalle stable, et d"après ce qui précède, on peut affirmerque la suite est

décroissante à partir de?1et converge vers0.

∙Si?0=-1alors?1= 1, point fixe, et d"après ce qui précède, on peut affirmer que la suite est stationnaire.

∙Si?0∈]- ∞;-1[alors?1∈]1;+∞[intervalle stable, et d"après ce qui précède, on peut affirmerque la suite

est croissante à partir de?1et tend vers+∞.

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Exercice 2 :Étudier la suite(??)définie par{

0≥0

?+1= ln(1 +??)

Solution :

Soit?la fonction définie sur[0;+∞[par la relation?(?) = ln(?+ 1). ∙Étude de la fonction?:

?est définie et dérivable sur[0;+∞[en tant que composée d"une fonction polynomiale par la fonctionln. Et

′(?) =1 ?+ 1. Par conséquent, on a le tableau de variations suivant : signe de?′(?) variations de?0

0+∞

1 2 3-1

1234
-1 ∙Recherche des points fixes de?:

?(?) =?⇔ln(1 +?) =?⇔ln(1 +?)-?= 0. Équation que l"on ne sait pas résoudre de façon exacte.

On introduit donc la fonction?définie par?(?) =?(?)-?= ln(1 +?)-?. ?est définie et dérivable sur[0;+∞[avec?′(?) =?′(?)-1 =1

1 +?-1 =-?1 +?. On a?′(?)<0pour tout

?∈]0;+∞[. La fonction?est donc strictement décroissante sur[0;+∞[, et puisque?(0) = 0, on a0comme

seul point fixe de?.

L"unique solution de l"équation?(?) =?est?= 0.

Si jamais la suite(??)converge, sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Donc il n"y a qu"une

seule limite éventuelle :ℓ= 0. ∙Recherche des intervalles stables par?:

On a?(0) = 0et?est croissante sur[0;+∞[; connaissant les limites aux bornes, on peut conclure que l"intervalle

[0;+∞[est stable par?. ∙Position de la courbe de?par rapport à la première bissectrice : La courbe de?est toujours située en dessous de la première bissectrice. ∙Conséquence sur l"étude de la suite(??):

∙Si?0∈[0;+∞[, intervalle stable par?, on a alors pour tout?∈ℕ,??∈[0;+∞[. On a vu que pour tout

Ainsi, la suite(??)est décroissante et minorée par0(puisque pour tout?∈ℕ,??∈[0;+∞[). Donc elle

converge vers une limiteℓ≥0. Sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Puisqu"il n"y a qu"un

seul point fixe :?= 0, c"est queℓ= 0. Dans tous les cas, la suite(??)est donc décroissante et converge vers0. ∙Avec le cas particulier?0= 0auquel cas la suite est constante.

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Exercice 3 :Étudier la suite(??)définie par?0>-1et par la relation de récurrence??+1=11 +??.Solution :

Soit?la fonction définie sur]-1;+∞[par la relation?(?) =11 +?. ∙Étude de la fonction?:

?est dérivable en tant que fraction rationnelle qui ne s"annule pas sur l"intervalle]-1;+∞[. Et?′(?) =-1

(1 +?)2. Par conséquent, on a le tableau de variations suivant : signe de?′(?) variations de?-1 0

1 2 3 4-1

1234
-1 -2 ∙Recherche des points fixes de?:

Sur]-1;+∞[,?(?) =?⇔1

5

2car? >-1.

5 2.

Si jamais la suite(??)converge, sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Donc il y a une seule

5

2.∙Recherche des intervalles stables par?:

Au vu des variations de?, on peut affirmer que si?0>-1alors?1∈]0;+∞[et que?2∈]0;1]. Et l"intervalle

[0;1]est stable par?. ∙Conséquence sur l"étude de la suite(??):

L"intervalle[0;1]est stable par?donc la suite(??)définie par?0∈]-1;+∞[et??+1=?(??)est donc définie

et à valeurs dans l"intervalle[0;1], au moins à partir de?2. On supposera par commodité que c"est?0qui

appartient à[0;1].

De plus,?est décroissante sur l"intervalle[0;1]donc la suite des termes d"indice pair(??) = (?2?)et la suite

des termes d"indice impair(??) = (?2?+1)sont monotones, de monotonie contraire. ∙Étude de?=?∘?. 0; 5 2[) 5 2;1] et?(] 5 2;1]) 0; 5 2[

Donc l"intervalle[

0; 5 2[ est stable par?=?∘?; de même l"intervalle] 5 2;1] est stable par?.

Sur[0;1], on a?(?) =1

1 +11 +?=

?+ 1 ?+ 2et?(?)-?=-?2+?-1?+ 2. De sorte que?(?)≥?ssi?∈[ 0; 5 2]

2, point fixe de?alors la suite est constante.

∙Si?0∈[ 0; 2[ , alors?1∈] 5 2;1] La suite(??) = (?2?)est définie par?0=?0∈[ 0; 5 2[ et??+1=?(??), avec?croissante sur l"intervalle stable[ 0; 5 2[ . De plus?(?)≥?sur cet intervalle. Par conséquent la suite(??)est monotone croissante. La suite(??) = (?2?+1)est définie par?0=?1∈] 5 2;1] et??+1=?(??), avec?croissante sur l"intervalle stable] 5 2;1] 5 5 2. 5 5 2.

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Par continuité de?,ℓ1etℓ2dont deux points fixes de?. D"après ce qui précède,?(?) =?⇔?2+?-1 = 0et

5 2. 5 2. 5 2.

Remarque :il existe une autre façon de conclure en utilisant l"inégalité des accroissements finis, mais nous

n"avons pas encore abordé ce théorème.

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Exercice 4 :Étudier la suite(??)définie par?0∕=-1et par la relation de récurrence??+1=3??+ 2??+ 1.Solution :

Soit?la fonction définie sur]- ∞;-1[∪]-1;+∞[par la relation?(?) =3?+ 2?+ 1. ∙Étude de la fonction?:

?est dérivable en tant que fraction rationnelle qui ne s"annule pas sur l"ensemble]- ∞;-1[∪]-1;+∞[. Et

′(?) =1 (1 +?)2. Par conséquent, on a le tableau de variations suivant : signe de?′(?) variations de?-∞ 3 +∞-1 3

1 2 3-1-2-3-4

12345
-1 -2 ∙Recherche des points fixes de?: Sur]- ∞;-1[∪]-1;+∞[,?(?) =?⇔3?+ 2

Si jamais la suite(??)converge, sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Donc il n"y a que deux

∙Recherche des intervalles stables par?:

3;+∞[est lui aussi stable par?.

∙Conséquence sur l"étude de la suite(??): (??)est croissante.

3. Elle est donc convergente vers un point fixeℓde?, car?est

3. décroissante.

3. Elle est donc convergente vers un point fixeℓde?, car?est

3.

∙L"image de l"intervalle]-∞;-1[est l"intervalle]3;+∞[donc si?0∈]-∞;-1[alors?1∈]3;+∞[. Et puisque

3.

si?0=-3/4alors?1=-1et la suite n"est pas définie en "entier"); on suppose donc quepour tout?∈ℕon

a??∕=-1(on reporte à la fin de la question ce problème et la discussioncorrespondante). Montrons par l"absurde qu"il existe un entier?tel qu??<-1.

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3. Au vu des calculs de points

fixes effectués précédemment, ceci est contradictoire.

Ainsi, il existe un entier?tel que??<-1. Et on a alors??+1∈]-∞;-1[et donc??+2∈]3;+∞[. Et d"après

3.

Remarque :Pour savoir quelles valeurs ne permettraient pas de définir proprement la suite(??), il faut savoir

s"il existe un entier?tel que??=-1.

On cherche donc la suite des antécédents de-1: d"après le graphe, on voit qu"il faut retirer une infinité de

3[. Plus précisément, on a?(?) =?ssi?=2-??-3. Il faut donc

retirer de l"ensemble des valeurs de?0toutes les valeurs de la suite(??)définie par?0=-1et??+1=2-??

??-3. auquel cas la suite est constante.

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Exercice 5 :Étudier la suite(??)définie par?0∈ℝet par la relation de récurrence??+1= 3?2?(1-??).

Solution :

Soit?la fonction définie surℝpar la relation?(?) = 3?2(1-?) =-3?3+ 3?2. ∙Étude de la fonction?:

?est définie et dérivable surℝen tant que fonction polynomiale. Et?′(?) =-9?2+ 6?=-3?(3?-2). Par

conséquent, on a le tableau de variations suivant : signe de?′(?) variations de?-∞+∞0 0 02 3 0 4

9+∞

1 2 3-1-2-3

1234
-1 -2 ∙Recherche des points fixes de?: ?(?) =?⇔ -3?3+ 3?2=?⇔?(-3?2+ 3?-1) = 0.

Le discriminant du polynôme-3?2+ 3?-1est strictement négatif donc l"équation-3?2+ 3?-1 = 0n"a pas

de solution réelle. On a donc0comme seul point fixe de?.

L"unique solution de l"équation?(?) =?est?= 0.

Si jamais la suite(??)converge, sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Donc il n"y a qu"une

limite éventuelle :ℓ= 0. ∙Recherche des intervalles stables par?:

On a?(2

3) =49, connaissant les variations de?, on peut conclure que l"intervalle[0;23]est stable par?.

Les autres intervalles où?est monotone n"ont pas la propriété de stabilité. ∙Position de la courbe de?par rapport à la première bissectrice : 3]. La courbe de?est située toujours en dessous de la première bissectrice sur l"intervalle[0;2

3].∙Conséquence sur l"étude de la suite(??):

∙Si?0∈[0;23], intervalle stable par?, on a alors pour tout?∈ℕ,??∈[0;23]. Et on a vu que pour tout

?∈[0;2

Par conséquent, la suite(??)est décroissante et minorée par0(puisque pour tout?∈ℕ,??∈[0;2

3]). Donc

elle converge vers une limiteℓ≥0. Sa limiteℓest un point fixe de?puisque?est continue. Puisqu"il n"y a

qu"un seul point fixe :?= 0, c"est queℓ= 0.

Dans le cas où?0∈[0;2

3], la suite(??)est donc décroissante et converge vers0.∙Avec le cas particulier?0= 0auquel cas la suite est constante.

∙Il reste cependant à étudier le cas où?0∕∈[0;23]. Puisque?ne laisse pas d"intervalles sympathiques stables,

on va étudier?=?∘?. 1 2-1 12 -1 ?(?) = 27?4(?-1)2(1-3?2+ 3?3);?est dérivable et ′(?) = 27?3(?-1)(3?-2)(9?3-9?2+2). De sorte que l"on a le tableau de variations suivant : variations de?-∞ ?(?)0023 ?(2

3)10+∞

?(?)-?= 81?9-243?8+ 243?7-54?6-54?5+ 27?4-?. Une étude de?montre que?admet trois points fixes :?= 0; ?=?1≃ -0,5010752797et?=?2≃1,130653894.

Et on a la propriété suivante :[0;1]est stable par?.[?2;+∞[est stable par?.]- ∞;?1]est stable par?.

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On a de plus?(?1) =?2et?(?2) =?1de telle sorte que l"image de l"intervalle]-∞;?1[est l"intervalle]?2;+∞[.

Par conséquent, si?0=?1ou si?0=?2, alors la suite est périodique de période 2.

∙Si?0∈]-∞;?1[, intervalle stable par?et sur lequel?est croissante et en dessous de la première bissectrice,

alors la suite des termes pairs(??) = (?2?)est décroissante. Ou bien elle est minorée et alors convergevers une

On a alors?1=?(?0)∈]?2;+∞[, intervalle stable par?et sur lequel?est croissante et au dessus de la première

bissectrice, alors la suite des termes impairs(??) = (?2?+1)est croissante. Ou bien elle est majorée et alors

converge vers une limiteℓ≥?0> ?2. Contradiction. La suite(??)est donc non majorée, et étant croissante,

elle tend vers+∞.

∙Si?0∈]?2;+∞[, intervalle stable par?et sur lequel?est croissante et au dessus de la première bissectrice,

alors la suite des termes pairs(??) = (?2?)est croissante. Ou bien elle est majorée et alors converge vers une

limiteℓ≥?0> ?2. Contradiction. La suite(??)est donc non majorée, et étant croissante, elle tend vers+∞.

On a alors?1=?(?0)∈]- ∞;?1[, intervalle stable par?et sur lequel?est croissante et en dessous de la

première bissectrice, alors la suite des termes pairs(??) = (?2?+1)est décroissante. Ou bien elle est minorée

décroissante, elle tend vers-∞. ∙On a alors à étudier le cas où?0∈]?1;?2[. - Si on suppose que?0∈[0;2

3]alors on sait déjà que la suite(??)converge vers0.

- Si on suppose que?0∈[2 aura alors??+1=?(??)∈[0;2

3]et donc d"après ce qui précède, la suite(??)converge vers0.

- Si on suppose que?0∈]?1;0[alors montrons par l"absurde qu"il existe un rang?pour lequel??≥0, et plus

précisément que??∈[0;1]; et donc d"après ce qui précède, la suite(??)converge vers0.

Preuve de ce qui précède :

Si on suppose que?0∈[2

3;?2[, on s"intéresse à la suite des termes pairs(??) = (?2?). D"après ce qui précède,

on peut affirmer que[0;?2[est stable par?. Et donc pour tout?∈ℕon a??∈[0;?2[.

(par récurrence). Mais alors(??)devient décroissante et minorée par 1. Donc elle converge vers un point fixe

de?compris entre 1 et?0< ?2. Contradiction.

3]et donc d"après ca qui

précède, la suite(??)converge vers0.

Si on suppose que?0∈]?1;0[, on s"intéresse à la suite des termes pairs(??) = (?2?). D"après ce qui précède, on

peut affirmer que]?1;?2[est stable par?. Et donc pour tout?∈ℕon a??∈]?1;?2[.

Si on suppose qu"il n"existe aucun rang?pour lequel??≥?, alors cela implique que??∈]?1;?[pour tout

?∈ℕ. Et puisque?est croissante sur]?1;?[et puisque?(?)≥?sur cet intervalle alors(??)est croissante (par

récurrence). Mais alors(??)devient croissante et majorée par?. Donc elle converge vers un point fixeℓde?

Ainsi, il existe un rang?pour lequel??≥?. On aura alors??+1=?(??)∈[0;2

3]et donc d"après ca qui

précède, la suite(??)converge vers0.

Le bilan est donc le suivant :

Si?0∈]- ∞;?1[, alors la suite des termes pairs(??) = (?2?)est décroissante et tend vers-∞; et la suite des

termes impairs(??) = (?2?+1)est croissante et tend vers+∞.

Si?0∈]?2;+∞[, alors la suite des termes pairs(??) = (?2?)est croissante et tend vers+∞; et la suite des

termes impairs(??) = (?2?+1)est décroissante et tend vers-∞.

Si?0∈]?1;?2[, alors la suite converge vers0et est décroissante à partir d"un certain rang (dès que??∈[0;2

3]).

Si?0=?1ou?0=?2[, alors la suite est périodique de période2et prend alternativement les valeurs?1et?2.

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