[PDF] Devoir `a la maison interdisciplinaire 1

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UNIVERSIT

´E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006

Licence de math´ematiques MAT 242

Groupe INMA 03

Devoir `a la maison interdisciplinaire 1

`a rendre le 21 mars 2006

Espace des suitesl2

Notation:Nd´esigne les nombres entiers strictement positifs. On utilisera la notation abr´eg´ee?apour d´esigner une suite (an)n?N. De mˆeme si (ak)nest une suite (avec un param`etrek), on notera?akpour ((ak)n)n?N.

Exemple: pourk?N, soit (ak)n= (1

k )n, alors?a1est la suite constante (a1)n= 1 n= 1 et pourk >1 le symbole?akd´esigne la suite g´eom´etrique de raisonq=1 k (il faut imaginer une suite comme un vecteur de longeur infini). SoitEl"ensemble des suites num´eriques (an)n?N`a valeurs dansR. On munitE de la structure d"un espace vectoriel de la fa¸con habituelle: soit?a= (an)n?Net ?b= (bn)n?Ndeux suites. Alors on d´efinit la somme?a+?bterme par terme (?a+?b)n:=an+bn. La multiplication avec un r´eellλ?Rest ´egalement donn´ee terme par terme (λ·?a)n:=λan. On d´efinit le sous-ensemblel2deE(dite des suitesl2) comme suit l

2:={?a= (an)n?Ntel que∞X

n=1(a2n) converge}.

Exercice 1

a) D´ecider si les suites suivantes sont dansl2. •an=(-1)n n •an=(-1)n n •an=1 n b) Montrer que si?a= (an)n?Nest un ´el´ement del2etλ?R, alorsλ·?aest un

´el´ement del2

c) Soitk?Nfix´e. On consid`ere le sous-ensembleVkdeEdonn´e par V k:={?a= (an)n?Ntel que?n > k an= 0} 1 Montrer queVkest un sous-espace vectoriel deE. Montrer queVk?l2. Pour j?Non d´efinit la suite?sj= ((sj)n)n?Npar (sj)n:=½1 sij=n

0 sinon.

Exemple: (s1)1= 1 et (s1)2= (s1)3= (s1)4=...= 0, de mˆeme (s2)2= 1 et (s2)1= (s2)3= (s2)4=...= 0. Montrer que les suites?s1,..., ?sksont une base deVk. Pour?a= (an)n?Net?b= (bn)n?Ndes ´el´ements deVk, on d´efinit < ?a, ?b >:=kX n=1a nbn. Montrer que< , >est un produit scalaire surVk. Montrer que les suites ?s

1,..., ?sksont une baseorthonorm´eede (Vk,< , >).

d) Soit?a= (an)n?Net?b= (bn)n?Ndes ´el´ements del2. Montrer que la s´erieP∞ n=1(an·bn) converge. Indication: On consid`ere la suite des sommes partiellesSk=Pk n=1anbn. Utiliser la question c) et l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz pour montrer que pour k≥l, on a uut kX n=l+1(a2n)]·v uut kX n=l+1(b2n)]. e) Soit?a= (an)n?Net?b= (bn)n?Ndes ´el´ements del2. Montrer que

X(an+bn)2converge?X(an·bn) converge.

Montrer quel2est un sous-espace vectoriel deE.

f) On consid`ere le syst´eme de vecteurs dansl2donn´e par les suites?sjd´efinies dans la question c). Montrer que c"est un syst`eme libre, mais que ce n"est pas une base del2. Donner une description du sous-espace vectoriel del2engendr´e par les suites?sj Exercice 2cf. devoir `a la maison interdisciplinaire 2. 2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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