[PDF] D.M. 16 : suites complexes fonctions continues dune variable

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D.M. 16 : suites complexes, fonctions continues d'une variable complexe et theoreme fondamental de l'algebre\et] Pour le lundi 15 avril, neanmoins les I, III sont utiles pour reviser le DS du 13 avril! I Introduction a la theorie des suites complexes (complement de cours)\ Si (un)2CNest une suite de nombres complexes, on a la m^eme denition de la convergence que dansRen remplacant la valeur absolue par le module dansC, ce qui ne change rien a l'ecriture : u n!n!+1l2Cdef, 8" >0;9n02N;8nn0;junlj< ":

1. Toutes les proprietes (ou les notions) vues pour les suites reelles qui s'expriment en fait en

terme de (junj)) sont aussi valables pour les suites complexes avec la m^eme demonstration.

A titre d'exemple :

(a) Denir ce que signie, pour (un) et (vn) dansCN, la notationun=O(vn). (b) Demontrer que sivn!02Cetun=O(vn) alorsun!0.

2. Caracterisation de la limite avec Re et Im :

(a) Montrer que si8n2N, on ecritun=an+ibnavec (an;bn)2R2et siun!l2C, alors a n!n!+1l1etbn!n!+1l2avecl1=Re(l) etl2=Im(l). (b) Montrer que reciproquement siun=an+ibnavecan!n!+1l1etbn!n!+1l2alors u n!n!+1l=l1+il2 N.B.Bien comprendre les regles du jeu : il s'agit d'utiliser la def. de la limite donnee ici au debut pour la relier aux limites de parties reelles et imaginaires, et non pas d'invoquer une autre occurrence du cours ou on a pu denir la limite par exemple d'une fonction a valeur complexes a l'aide, par def., des parties reelles et imaginaires. Admis pour la suite :De m^eme tous les theoremes generaux d'operations + et;1= sur les limites sont encore valables pour les suites complexes, avec la m^eme demonstration que dansRou en utilisant la caract. avec partie reelle et imaginaire.

3. Relation d'equivalence :

(a) Si (un) et (vn) sont deux suites complexes, denirunn!+1vn. (b) Siunn!+1vnest-il vrai que Re(un)n!+1Re(vn)?

4. Il faut bien comprendre que si on noteD(z0;r) =fz2C;jzz0j< rgle disque ouvert de

centrez0et de rayonr(pourr >0), la conditionjunlj< ",un2D(l;"), i.e. que la forme des voisinages est un peu dierente... Par exemple, montrer que : siun!ialors9n02N;8nn0;Arg(un)2[=4;3=4].

5. Une suite complexe convergente est bornee (evident). On veut generaliser le theoreme de

Bolzano-Weierstrass pour les suites complexes.

Soit (un)2CNune suite complexe bornee. On note (an) = (Re(un)) et (bn) = (Im(un)). (a) Expliquer pourquoi il ne sut pas d'appliquer le theoreme de Bolzano-Weierstrass reel a (an) et (bn). (b) (Plus astucieux, mais ce sera une astuce a retenir!). Comment contourner la diculte precedente et demontrer le resultat voulu pour (un)? II Exemples des suites geometriques et arithmetico-geometriques\puis] On xe un nombreq2Cet on considere la suite geometrique complexe de raisonq, denie par( z

0= 12C;

8n2N; zn+1=qzn:

1. On supposejqj<1.

(a) Que dire de (zn) quandn!+1? (b) Que dire de la limite de (Re(zn)) ou Im(zn))?MPSI 11D.M. 16

2. On supposejqj>1.

(a) Que dire dejznjquandn!+1? (b) Peut-on conclure quant a la limite de (Re(zn)) ou Im(zn))?

3. On se place maintenant dans le casjqj= 1 et on noteq=ei'.

(a) Que dire de (zn) si'=2pq avec (p;q)2ZN?

On suppose maintenant que'=62Q.

Ce qui suit dans le 3) est]:

On admet le resultat suivant : un sous-groupeGde(R;+)est soit dense, soit de la formeZ (b) Montrer que'Z+ 2Zest dense dansR. (c) () Demontrer que :'N+ 2Zest aussi dense dansR. (d) En deduire que dans ce cas l'ensemblefzn; n2Ngest dense dansU. N.B.Je vous laisse imaginer la def. ici deAUest dense dansU: p.ex. avec les suites.

4.\Avec ce qui precede, l'etude des suites arithmetico-geometriques complexes se fait exacte-

ment comme dans le cas reel. A titre d'exemple : Etudier la suite (zn) denie parz0=4+5i et8n2N; zn+1=12 (1i)zn+ 3 + 2i. III Generalites sur les fonctions d'une partie deCdansC:\ La denition de la limite est la m^eme que celle pour les fonctions d'une variable reelle, sauf que les barres se lisent module au lieu de valeur absolue. On en deduit aussi la notion de fonction continue sur une partieUdeCa valeur dansC.

1) A titre d'exercice, demontrer que siUCetf:U!Cest continue en un pointa2Uet

si (xn)2UNveriexn!n!+1aalorsf(xn)!n!+1f(a).

2) Soita2CetD=D(a;r) =fz2C;jzaj rgle disque ferme de centreaet de rayonr.

Soitf:D!Ccontinue. Montrer quejfjadmet un max. et un min. surD.

IV Application au theoreme de d'Alembert-Gauss :]

1) Une propriete d'analyse :

a) Soitn1 et (a0;:::;an)2Cn1CdenissantP:C!C,z7!nX k=0a kzkune fonction polynomiale non constante. Montrer quejP(z)j !jzj!+1+1. b) Deduire du a) et de l'exercice precedent que la fonctionjPjadmet un minimum global dans C.

2) Un lemme clef():

Soitk2NsoitRfonction de de la formeR:z7!R(z) = 1 +NX i=1r izii.e. de terme constant 1. SoitQ:z7!1 +zkR(z). Montrer qu'il existe unz02Ctel quejQ(z0)j<1.

3) Application a la preuve de d'Alembert-Gauss :soitPun polyn^ome non constant.

Par 1) on peut considerer unz12Ctel quejP(z1)jsoit le minimum dejPjsurC. Pour demontrer le theoreme, on va montrer quejP(z1)j= 0. Par l'absurdesijP(z1)j 6= 0, considerer l'applicationz7!P(z+z1)P(z1).MPSI 12D.M. 16quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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