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Suites récurrentes » Lisez bien les pré-requis dans les questions R O C on peut vous demander une autre preuve que celle vue en cours Toutes les preuves 



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On consid`ere une suite donnée par une valeur initiale u0 et une relation de récurrence un+1 = f(un) On suppose la fonction f au moins de classe C1 pour être



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Notons (un) la suite définie par la donnée de u0 ? I et la relation de récurrence un+1 = f(un) Si la fonction f est strictement décroissante sur I alors les 



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la droite engendrée par la suite (an) Les suites arithmétiques un+1 = un +a se résolvent en un = u0 +na Ce n'est pas un ev (puisque la suite nulle



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ETUDE des SUITES RECURRENTES On appelle suite récurrente toute suite (un)n?N telle qu'il existe une fonction réelle f : I ? R telle que : ? n ? N



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Suites récurrentes 1 Position du problème On considère une suite (un)n?Æ d'éléments d'un espace vecto- riel normé E définie par la donnée d'un terme 



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V Suites récurrentes Exercice 1 Soit E l'espace vectoriel des suites numériques réelles On consid`ere E ? E l'ensemble des suites

?? ???? ??????? ?? ????? ??un+?un? n?? ???

9A2R;8n2N;un6A:

9B2R;8n2N;un>B:

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8" >?;9N"2N;8n2N;(n>N"=) jun`j< "):

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n2N??=m(un) ????`2R?? ????(un)n2N?(vn)n2N??(wn)n2N????? ?????? ??????? ?????? ???? ?????? ???? ??????? ????un6vn6wn? ????8n2N?un=sinnn ?? ?8n2N??6sinn6?? ?????n

6un6?n

??limn!+1?n =?? ?????limn!+1un=??? ?????8n2N?un= (?)n? ?? ?u?n=? ??u?n+?=?? ????limn!+1u?n=? ??limn!+1u?n+?=?? ?? ?v?n=?+?n ??v?n+?=??n ? ????limn!+1v?n= limn!+1v?n+?=? n!+1(unvn) =?:u 0u 1u 2u

3::::::v

3v 2v 1v 0` ????8n2N?un=nX k=??k!??vn=un+?n:n!? ?? ?8n2N?un+?un=?(n+?)!>? ??vn+?vn=?n(n+?)(n+?)!? ??vn+?vn=?n(n+?)?? ??bn+?bn=?(?n+?)(?n+?)8n2N;un+?=f(un)

u f:x7!qx?????? ??R????R??? ???f(c) =c? ????y=x?xf(x)abcab ????? ?????f??? y=xxf(x)abcab ??? ??????? ?? ?????? ???? ? ?? ????? ?? ????? ???xf(x)abcab y=xxf(x)abcab

8(x;y)2I?;jf(x)f(y)j6kjxyj:

k k2R+??? ???? ???? ????x2]a;b[?f0(x)6k? ?? ???????f0(x) =?px ? ?? ?sup x2[?=?;?]jf0(x)j=??sup x2[?;+1[jf0(x)j=?? ??sup x2]?;?]jf0(x)j=+1? ???? ??? ??????? ?????u?2[a;b]?? ???? ? f(x) =?px+??xy y=f(x)y=x u 0u

1=f(u0)xy

y=f(x)y=x u 0u

1=f(u0)??????? ??u?=?u?=?u?=??u

f(x) =?px+??xy y=f(x)y=x u 0u 1u

1=f(u0)

xy y=f(x)y=x u 0u 1u

1=f(u0)

??????? ??u?=?u?=?u?=??u f(x) =?px+??xy y=f(x)y=x u 0u 1u

1=f(u0)

u 2u

2=f(u1)

xy y=f(x)y=x u 0u 1u

1=f(u0)

u 2u

2=f(u1)

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1=f(u0)

u 2u

2=f(u1)

u 3u

3=f(u2)

xy y=f(x)y=x u 0u 1u

1=f(u0)

u 2u

2=f(u1)

u 3u

3=f(u2)

??????? ??u?=?u?=?u?=??u f(x) =?px+??xy y=f(x)y=x `u

1=f(u0)u

0 u 1 u 2 u 3 u 4 xy y=f(x)y=x `u

1=f(u0)u

0 u 1 u 2 u 3 ??????? ??u?=?u?=?u?=??u f(x) =?? x?xy y=f(x)y=x u 0u

1=f(u0)xy

y=f(x)y=x u 0u

1=f(u0)??????? ??u?=?;?u?=?;?u?=?;??u

f(x) =?? x?xy y=f(x)y=x u 0u 1u

1=f(u0)

xy y=f(x)y=x u 0u 1u

1=f(u0)

??????? ??u?=?;?u?=?;?u?=?;??u f(x) =?? x?xy y=f(x)y=x u 0u 1u

1=f(u0)

u 2u

2=f(u1)

xy y=f(x)y=x u 0u 1u

1=f(u0)

u 2u

2=f(u1)

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