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V Suites récurrentes Exercice 1 Soit E l'espace vectoriel des suites numériques réelles On consid`ere E ? E l'ensemble des suites
9A2R;8n2N;un6A:
9B2R;8n2N;un>B:
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??limn!+1?n =?? ?????limn!+1un=??? ?????8n2N?un= (?)n? ?? ?u?n=? ??u?n+?=?? ????limn!+1u?n=? ??limn!+1u?n+?=?? ?? ?v?n=?+?n ??v?n+?=??n ? ????limn!+1v?n= limn!+1v?n+?=? n!+1(unvn) =?:u 0u 1u 2u 3::::::v
3v 2v 1v 0` ????8n2N?un=nX k=??k!??vn=un+?n:n!? ?? ?8n2N?un+?un=?(n+?)!>? ??vn+?vn=?n(n+?)(n+?)!? ?? ?8n2N?vnun=?n:n!? ????limn!+1(vnun) =?? ?????8n2N?un=nX k=??k ++?n ?? ??????vn=un+?n ?? ?8n2N?un+?un=?(n+?)?>? ??vn+?vn=?n(n+?)?? ?? ?8n2N?vnun=?n ? ????limn!+1(vnun) =?? k=?(?)n?k ++(?)n?n ??????an=w?n??bn=w?n+?? ?? ?8n2N?an+?an=?(?n+?)(?n+?)>? ??bn+?bn=?(?n+?)(?n+?)? ?? ?8n2N?bnan=??n+?? ????limn!+1(vnun) =?? u ?2I 8n2N;un+?=f(un)
u f:x7!qx?????? ??R????R??? ???f(c) =c? ????y=x?xf(x)abcab ????? ?????f??? y=xxf(x)abcab ??? ??????? ?? ?????? ???? ? ?? ????? ?? ????? ???xf(x)abcab y=xxf(x)abcab 8(x;y)2I?;jf(x)f(y)j6kjxyj:
k k2R+??? ???? ???? ????x2]a;b[?f0(x)6k? ?? ???????f0(x) =?px ? ?? ?sup x2[?=?;?]jf0(x)j=??sup x2[?;+1[jf0(x)j=?? ??sup x2]?;?]jf0(x)j=+1? ???? ??? ??????? ?????u?2[a;b]?? ???? ? f(x) =?px+??xy y=f(x)y=x u 0u 1=f(u0)xy
y=f(x)y=x u 0u 1=f(u0)??????? ??u?=?u?=?u?=??u
f(x) =?px+??xy y=f(x)y=x u 0u 1u 1=f(u0)
xy y=f(x)y=x u 0u 1u 1=f(u0)
??????? ??u?=?u?=?u?=??u f(x) =?px+??xy y=f(x)y=x u 0u 1u 1=f(u0)
u 2u 2=f(u1)
xy y=f(x)y=x u 0u 1u 1=f(u0)
u 2u 2=f(u1)
??????? ??u?=?u?=?u?=??u f(x) =?px+??xy y=f(x)y=x u 0u 1u 1=f(u0)
u 2u 2=f(u1)
u 3u 3=f(u2)
xy y=f(x)y=x u 0u 1u 1=f(u0)
u 2u 2=f(u1)
u 3u 3=f(u2)
??????? ??u?=?u?=?u?=??u f(x) =?px+??xy y=f(x)y=x `u 1=f(u0)u
0 u 1 u 2 u 3 u 4 xy y=f(x)y=x `u 1=f(u0)u
0 u 1 u 2 u 3 ??????? ??u?=?u?=?u?=??u f(x) =?? x?xy y=f(x)y=x u 0u 1=f(u0)xy
y=f(x)y=x u 0u 1=f(u0)??????? ??u?=?;?u?=?;?u?=?;??u
f(x) =?? x?xy y=f(x)y=x u 0u 1u 1=f(u0)
xy y=f(x)y=x u 0u 1u 1=f(u0)
??????? ??u?=?;?u?=?;?u?=?;??u f(x) =?? x?xy y=f(x)y=x u 0u 1u 1=f(u0)
u 2u 2=f(u1)
xy y=f(x)y=x u 0u 1u 1=f(u0)
u 2u 2=f(u1)
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