[PDF] Suites - Exo7 - Cours de mathématiques
Suites récurrentes · Fiche d'exercices · Suites Introduction L'étude des suites numériques a pour objet la compréhension de l'évolution de séquences de
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Suites récurrentes » Lisez bien les pré-requis dans les questions R O C on peut vous demander une autre preuve que celle vue en cours Toutes les preuves
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[PDF] SUR LES SUITES R´ECURRENTES
On consid`ere une suite donnée par une valeur initiale u0 et une relation de récurrence un+1 = f(un) On suppose la fonction f au moins de classe C1 pour être
[PDF] Convergence de suites Suites récurrentes
Notons (un) la suite définie par la donnée de u0 ? I et la relation de récurrence un+1 = f(un) Si la fonction f est strictement décroissante sur I alors les
[PDF] Suites Récurrentes
la droite engendrée par la suite (an) Les suites arithmétiques un+1 = un +a se résolvent en un = u0 +na Ce n'est pas un ev (puisque la suite nulle
[PDF] ETUDE des SUITES RECURRENTES 1 Intervalle stable par f
ETUDE des SUITES RECURRENTES On appelle suite récurrente toute suite (un)n?N telle qu'il existe une fonction réelle f : I ? R telle que : ? n ? N
[PDF] Suites récurrentes
Suites récurrentes 1 Position du problème On considère une suite (un)n?Æ d'éléments d'un espace vecto- riel normé E définie par la donnée d'un terme
[PDF] V Suites récurrentes
V Suites récurrentes Exercice 1 Soit E l'espace vectoriel des suites numériques réelles On consid`ere E ? E l'ensemble des suites
Suites récurrentes
1. Position du problème
On considère une suite(un)n?
?d"éléments d"un espace vecto- riel norméE, définie par la donnée d"un terme initialu0et par une relation de récurrence de la forme ?n? ?,un+1=f(un) oùfest une fonction définie sur une partieΩdeEet à valeurs dansE.1.1Les exemples les plus simples sont les suitesarithmé-
tiques, oùfest une translation : ?x?E,f(x) =x+a pour lesquelles ?n?n0,un=un0+ (n-n0)a et les suitesgéométriques, oùfest une homothétie : ?x?E,f(x) =qx pour lesquelles ?n?n0,un=qn-n0un0.1.2Nous allons d"abord vérifier qu"une telle suite est bien
définie [2]. L"étude des fonctionsfetg=[x?→f(x)-x]peut ensuite indiquer la limite éventuelle de la suite [4] et son sens de variation [7] : il importe de raisonner sur une figure faisant apparaître le graphe defet celui deg.1.3Si une telle suite converge, il est important d"estimer sa
vitesse de convergence ([9], [11], [13]) : cela permet de savoir combien de termes il faut calculer pour obtenir une valeur ap- prochée de la limite avec une précision donnée.2.1✍Une partie I de E eststablepar f lorsqu"elle est contenue
dans l"ensemble de définition de f et que ?x?I,f(x)?I.2.2Soitf, une fonction de
?dans?. Le segment[a,b]est stable parfsi, et seulement si, le graphe de la restriction def à[a,b]est contenu dans le carré qui admet(a,a)et(b,b)pour sommets opposés.2.3➙Soit I, une partie de E stable par f. Pour tout x?I, il existe
une, et une seule, suite(un)n? ?telle que u0=x et que ?n? ?,un+1=f(un).3. Exemples
3.1On suppose que
?x? ?,f(x) =1-x23.Le segment[0,1]est stable parf.→[5.1]
3.2On suppose que
?x?0,f(x) =⎷ 3x+4. Les intervalles[0,4]et[4,+∞[sont stables parf.→[8.2]3.3On suppose que
?x? ?,f(x) =x+x2. Les intervalles[-1,0]et[0,+∞[sont stables parf.→[5.2]3.4On considère une suite(un)n? ?définie par la donnée de u 0? ?et la relation de récurrence suivante : ?n? ?,un+1=cosun. Il existe un segment[0,α]?[0,π/2]qui est stable par cos et qui contientu2, quelle que soit la valeur deu0.→[6.3]3.5On suppose que
?x? ?,f(x) =1-x2ex. Le segment[0,1/2]est stable parfet contientu2, quelle que soit la valeur deu0.→[6.4]3.6On suppose que
?x? ?,f(x) =?n(1+e-x). Le segment[0,?n2]est stable parfet contientu2, quelle que soit la valeur deu0.→[5.3]3.7On suppose que
?x>0,f(x) =1 3?2x+a3x2?
oùa>0. Les intervalles]0,+∞[et[a,+∞[sont stables parfet u1appartient à[a,+∞[, quelle que soit la valeur deu0.→[8.6]
3.8On suppose que
?x?=-1,f(x) =x2+3 2x+2.Les intervalles
]-∞,-3]et[1,+∞[sont stables parf.Siu0<-1, alorsun?-3 pour toutn?1.→[8.4]
Siu0>-1, alorsun?1 pour toutn?1.→[8.5]
3.9On suppose que
?x? ?,f(x) =1-x22. Le segment[1/2,7/8]et l"intervalle ouvert]-∞,-1-⎷3[sont
stables parf.→[5.4]3.10On suppose que
?00?]0,1[.→[8.7]
3.11On suppose que
?x>0,f(x) =?n?e 2? x+1x??L"intervalle
]1,+∞[est stable parfet contientu1, quel que soit u0>0.→[8.9]
4. Condition nécessaire de convergence
4.1✍Un point x est unpoint fixede f lorsque f(x) =x.
4.2➙Si la suite(un)n?
?converge vers??E et si f est continue en?, alors?est un point fixe de f.5. Exemples
5.1Si la suite(un)n?
?converge, alors elle tend vers→[8.1]α=-3-⎷
212ou versβ=-3+⎷
212.
5.2Suite de[3.3] - Si la suite(un)n?
?converge, alors elle tend vers 0.→[8.3]16Suites récurrentes
5.3Suite de[3.6] - La fonctionfadmet
?=?n1+⎷ 5 2 pour unique point fixe.→[12.5]5.4Suite de[3.9] - Si la suite(un)n?
?converge, alors elle tend versα=-1-⎷3 ou versβ=-1+⎷3.→[8.8]
5.5Si la suite(un)n?
?définie paru0>1 et la relation ?n? ?,un+1=un?u2n-1 converge, alors elle tend vers2. Commeun+2=unpour tout
n? ?, cette suite converge si, et seulement si,u0=⎷2.6. Autres exemples
Lorsqu"on ne peut expliciter les points fixes def, on peut essayer d"appliquer le théorème d"inversion à la fonction g=[t?→f(t)-t].6.1➙Théorème d"inversion
Si g est une fonction continue et strictement monotone d"un intervalleI dans
?, alors elle réalise une bijection de I sur l"intervalle g?(I).6.2?Si g est continue et strictement monotone du segment[a,b]
dans ?et si g(a)et g(b)sont de signes opposés, alors l"équation g(x) =0admet une, et une seule, solution dans[a,b].6.3Suite de[3.4] - L"équation cosx=xadmet une, et une
seule, solution réelle?. Cette solution appartient à[0,α].→[12.3]6.4Suite de[3.5] - La fonctionfadmet un unique point fixe
?, qui appartient à[0,1/2].→[12.4]7. Sens de variation
On suppose quex0est pris dansI, intervalle stable parf. On considère aussi la fonctiong=[t?→f(t)-t].7.1Sifest croissante, alors la suite(un)n?
?est monotone.7.2Sifest décroissante, alors les suites extraites(u2n)n?
?et(u2n+1)n? ?sont monotones et varient en sens contraires.7.3Sigest positive, alors la suite(un)n?
?est croissante.7.4Sigest négative, alors la suite(un)n?
?est décroissante.8. Exemples
8.1Suite de[5.1] - Siu0=0, alors 0?un?1 pour tout
n? ?, la suite(u2n)n? ?est croissante et la suite(u2n+1)n? ?est décroissante.→[12.1]8.2Suite de[3.2] - Siu0=0, alors la suite(un)n?
?est crois- sante et tend vers 4.→[12.2]8.3Suite de[3.3] - Quel que soitu0, la suite(un)n?
?est crois- sante. Si-1?u0?0, alors [5.2] elle tend vers 0.→[10.1]Sinon, elle diverge vers+∞.→[18]
8.4Suite de[3.8] - Siu0<-1, alors la suite(un)n?1est crois-
sante et converge vers-3.→[12.6]8.5Suite de[3.8] - Siu0>-1, alors la suite(un)n?1est dé-
croissante et converge vers 1.→[12.6]8.6Suite de[3.7] - La suite extraite(un)n?1est décroissante
et minorée para.→[12.7]8.7Suite de[3.10] - La suite extraite(un)n?1est croissante et
tend vers1/e.→[14.1]
8.8Suite de[5.4] - Si|u0|>α, alors la suite(un)n?
?est décroissante et tend vers-∞. Sinon, il existen0tel queun0?[1/2,7/8].→[12.8]8.9Suite de[3.11] - La suite extraite(un)n?1est décroissante
et tend vers 1.→[14.2]Estimation asymptotique par le théorème de Cesaro9.S"il existeα>0 tel que la suite de terme général
1 (un+1-?)α-1(un-?)α converge vers une limite finie non nulleλ, alors u n=?+1α⎷λn+O?1α⎷n?
quandntend vers+∞.→[25]10. Exemples
10.1Suite de[8.3] - Si-1 10.2On considère la suite définie par la donnée deu0et la
relation ?n? ?,un+1=sin(un). Quel que soitu0, la suite extraite(un)n?1est monotone. La suite (un)n? ?converge vers 0 etun≂⎷3/nlorsquentend vers+∞. 10.3La suite définie par la donnée deu0>0 et la relation
?n? ?,un+1=un+1un tend vers+∞etun≂⎷ 2nlorsquentend vers+∞.
10.4La suite définie par la donnée deu0>0 et la relation
?n? ?,un+1=?1+u2n tend vers+∞etun≂⎷ nlorsquentend vers+∞. Convergence géométrique
11.On suppose ici que la fonctionfest de classeC1et que
la suite(un)n? ?converge vers un point fixe?deftel que??f?(?)??<1. 11.1Il existe un voisinageI0de?tel queun?I0à partir d"un
certain rang et il existeK<1 tel que ?t?I0,??f?(t)???K donc |un+1-?|?K|un-?| pour toutnassez grand. 11.2Lorsquentend vers+∞,
u n=?+O(Kn). 12. Exemples
12.1Suite de[8.1] - La fonctionfest2/3-lipschitzienne sur le
segment[0,1]et la suite(un)n? ?converge versβ.→[19] 12.2Suite de[8.2] - La fonctionfest1/2-lipschitzienne sur
?+et la série∑(4-un)est absolument convergente. 12.3Suite de[6.3] - Il existe 0 lorsquentend vers+∞. 12.4Suite de[6.4] - Il existe 0 lorsquentend vers+∞. 12.5Suite de[5.3] - Lorsquentend vers+∞,
u n=?n1+⎷ 5 2+O?12n?
12.6Suite de[3.8] - Soitk>0.
Siu0<-1, alorsun=-3+O(kn)par [8.4].
Siu0>-1, alorsun=1+O(kn)par [8.5].→[13]
12.7Suite de[8.6] - Pour toutk>0,→[13]
u n=a+O(kn). 12.8Suite de[8.8] - Si|u0|<α, alors
?n?n0,|un-β|??7 8? n|un0-β| et un+1-β un-β----→n→+∞-β. Questions,exercices&problèmes
Convergence exponentielle
13.On suppose ici que la fonctionfest de classeC2et que
la suite(un)n? ?converge vers un point fixe?deftel que f ?(?) =0. 13.1Par [11], pour toutq<0, la différence(un-?)est né-
gligeable devantqn. Cette comparaison ne donne pas une bonne idée de l"ordre de grandeur de(un-?). 13.2Il existeα>0 tel que
quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
10.2On considère la suite définie par la donnée deu0et la
relation ?n? ?,un+1=sin(un). Quel que soitu0, la suite extraite(un)n?1est monotone. La suite (un)n? ?converge vers 0 etun≂⎷3/nlorsquentend vers+∞.10.3La suite définie par la donnée deu0>0 et la relation
?n? ?,un+1=un+1un tend vers+∞etun≂⎷2nlorsquentend vers+∞.
10.4La suite définie par la donnée deu0>0 et la relation
?n? ?,un+1=?1+u2n tend vers+∞etun≂⎷ nlorsquentend vers+∞.Convergence géométrique
11.On suppose ici que la fonctionfest de classeC1et que
la suite(un)n? ?converge vers un point fixe?deftel que??f?(?)??<1.11.1Il existe un voisinageI0de?tel queun?I0à partir d"un
certain rang et il existeK<1 tel que ?t?I0,??f?(t)???K donc |un+1-?|?K|un-?| pour toutnassez grand.11.2Lorsquentend vers+∞,
u n=?+O(Kn).12. Exemples
12.1Suite de[8.1] - La fonctionfest2/3-lipschitzienne sur le
segment[0,1]et la suite(un)n? ?converge versβ.→[19]12.2Suite de[8.2] - La fonctionfest1/2-lipschitzienne sur
?+et la série∑(4-un)est absolument convergente.12.3Suite de[6.3] - Il existe 0 lorsquentend vers+∞. 12.4Suite de[6.4] - Il existe 0 lorsquentend vers+∞. 12.5Suite de[5.3] - Lorsquentend vers+∞,
u n=?n1+⎷ 5 2+O?12n?
12.6Suite de[3.8] - Soitk>0.
Siu0<-1, alorsun=-3+O(kn)par [8.4].
Siu0>-1, alorsun=1+O(kn)par [8.5].→[13]
12.7Suite de[8.6] - Pour toutk>0,→[13]
u n=a+O(kn). 12.8Suite de[8.8] - Si|u0|<α, alors
?n?n0,|un-β|??7 8? n|un0-β| et un+1-β un-β----→n→+∞-β. Questions,exercices&problèmes
Convergence exponentielle
13.On suppose ici que la fonctionfest de classeC2et que
la suite(un)n? ?converge vers un point fixe?deftel que f ?(?) =0. 13.1Par [11], pour toutq<0, la différence(un-?)est né-
gligeable devantqn. Cette comparaison ne donne pas une bonne idée de l"ordre de grandeur de(un-?). 13.2Il existeα>0 tel que
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12.4Suite de[6.4] - Il existe 0 lorsquentend vers+∞. 12.5Suite de[5.3] - Lorsquentend vers+∞,
u n=?n1+⎷ 5 2+O?12n?
12.6Suite de[3.8] - Soitk>0.
Siu0<-1, alorsun=-3+O(kn)par [8.4].
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12.7Suite de[8.6] - Pour toutk>0,→[13]
u n=a+O(kn). 12.8Suite de[8.8] - Si|u0|<α, alors
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13.On suppose ici que la fonctionfest de classeC2et que
la suite(un)n? ?converge vers un point fixe?deftel que f ?(?) =0. 13.1Par [11], pour toutq<0, la différence(un-?)est né-
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12.5Suite de[5.3] - Lorsquentend vers+∞,
u n=?n1+⎷ 52+O?12n?
12.6Suite de[3.8] - Soitk>0.
Siu0<-1, alorsun=-3+O(kn)par [8.4].
Siu0>-1, alorsun=1+O(kn)par [8.5].→[13]
12.7Suite de[8.6] - Pour toutk>0,→[13]
u n=a+O(kn).12.8Suite de[8.8] - Si|u0|<α, alors
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