Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
démonstrations : le raisonnement par récurrence. Celui-ci peut être illustré de manière très simple en pensant à une suite de domino dans.
LES SUITES (Partie 1)
Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation). - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité)
La démonstration par récurrence
Dans toute la suite n appartient à N . La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété dépendant de.
Chapitre 1. Raisonnement par récurrence
récurrence pour démontrer des propriétés sur des suites ? Coach : Le raisonnement par récurrence a de très belles applications comme de.
Chapitre2 : Suites réelles
D) Convergence et suite extraite. Lemme : Soit ? une application strictement croissante de N dans N. Alors @k P N?(k) ? k. Démonstration (par récurrence) :.
Sommes produits
https://www.normalesup.org/~glafon/carnot10/recurrence.pdf
LES SUITES (Partie 2)
Démontrer par récurrence que la suite (un) est majorée par 3. Page 4. 4. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et
Récurrence ; Sommes produits
Sep 27 2011 être devrais-je dire plutôt pour les suites
FICHE DE RÉVISION DU BAC
Raisonnement par récurrence. 6. Limites de suites. 1. Etude de suites. Définition : Une suite numérique est une fonction définie sur N (l'ensemble des
Complément sur les suites. Suites adjacentes - Lycée dAdultes
Feb 27 2017 Puis définies par les relations de récurrence : qn+1 = ... Démonstration : Soit (un) et (vn) deux suites adjacentes telles que (un) est.
Complément sur les suites.
Suites adjacentes
Table des matières
1 Le procédé2
2 Suites adjacentes2
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Le théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Exemple3
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE PROCÉDÉ
1 Le procédé
Dans un texte intitulé "De la mesure du cercle», Archimède imagine la première aussi grande qu"on le souhaite. L"exposé suivant suit les idées d"Archimède avec des méthodes modernes.SoitCun cercle de rayon 1 : on
construit, pour toutn?1 deux poly- gones réguliersPn, etQn, ayant 3×2n côtés,Pnétant inscrit dansC, etQn, exinscrit àC(voir la figure ci-contre).Nous admettons que le périmètre du
cercle (égal à 2π) est encadré par ceux des deux polygones. Dans la suite, on notepnetqn, les demi-périmètres res- pectifs dePnetQn. Ainsi,pn<ππ≈3,141 592 654
npnqnqn-pn133,4640,464
23,1063,2150,109
33,1323,1600,027
43,1393,1460,007
p1p2p3p4pnπq1q2q3q4qn......2 Suites adjacentes
2.1 Définition
Définition 1 :Soit deux suites réelles(un)et(vn). On dit que(un)et(vn)sont adjacentes si, et seulement si, (un)est croissante,(vn)est décroissante et limn→+∞(vn-un) =0 Exemple :un=-1netvn=1nsont deux suites adjacentes, car la pre- mière est croissante, la seconde est décroissante et leur différence est nulle.PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
3. EXEMPLE
2.2 Le théorème
Théorème 1 :Soit(un)et(vn)deux suites réelles. Si(un)et(vn)sont adjacentes alors elles convergent en une même limite?telle que : ?n?N,un???vn Démonstration :Soit(un)et(vn)deux suites adjacentes telles que(un)est croissante et(vn)décroissante.Montrons que?n?N,un?vn.
Soit la suitewn=vn-un. Étudions les variations de(wn). w n+1-wn=vn+1-un+1-(vn-un) = (vn+1-vn)-(un+1-un) Or les suites(vn)etunsont respectivement décroissante et croissante donc ?n?N,vn+1-vn?0 etun+1-un>0?(vn+1-vn)-(un+1-un)<0 En conséquence?n?N,wn+1-wn<0, la suite(wn)est décroissante. lim n→+∞(vn-un) =limn→+∞wn=0, donc?n?N,wn?0?un?vn.Montrons que(un)et(vn)convergent.
On sait que les suites(un)et(vn)sont respectivement croissante et décroissante et?n?N,un?vndonc?n?N,un?u0?v0?vn donc la suite(un)est croissante et majorée parv0et la suite(vn)est décrois- sante et minorée paru0, d"après le théorème des suites monotones,(un)et(vn) convergent respectivement vers?et??.Montrons que(un)et(vn)ont même limite.
Par somme lim
n→+∞(vn-un) =limn→+∞vn-limn→+∞un=??-? or lim n→+∞(vn-un) =0 donc?=??3 Exemple
Soit la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0; 2] par :f(x) =2x+1x+1.1) On dit qu"un intervalle I est stable par la fonctionfsi, et seulement si,
?x?I,f(x)?I.Montrer que [1; 2] est stable parf.
2)(un)et(vn)sont deux suites définies surNpar :
?u 0=1 u n+1=f(un)et?v 0=2 v n+1=f(vn) a) Représenter la fonctionfsur l"intervalle [0; 2]. Construire sur l"axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites(un)et(vn)en laissant apparents tous les traits de construction. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sensde variation et la convergence des suites(un)et(vn)?PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
3. EXEMPLE
b) Montrer à l"aide d"un raisonnement par récurrence que les suites(un)et (vn)sont bornées et respectivement croissante et décroissante. c) Calculervn+1-un+1.En déduire que?n?N,|vn+1-un+1|?1
4|vn-un|.
d) Montrer que?n?N,|vn-un|??1 4? n e) Montrer que les suites (un)et(vn)convergent vers un même réelα.Déterminer la valeur exacte deα.
1)fest une fonction rationnelle définie sur [0; 2] donc dérivable sur [0; 2] :
f ?(x) =2(x+1)-(2x+1 (x+1)2=1(x+1)2>0 La fonctionfest croissante sur[0 ; 2]. De la continuité defsur[1 ; 2], on a f([1 ; 2]) = [f(1);f(2)] =?3 2;53? ?[1 ; 2]L"intervalle [1; 2] est donc stable parf.
2) a) On obtient la représentation suivante :
12 12 O v0v1 v 2u0u1 u 2 Cf y=x Les suites(un)et(vn)semblent converger et être respectivement croissante et décroissante. b) Montrons par récurrence que les suites(un)est(vn)sont bornées par [1; 2] et qu"elles sont respectivement croissante et décroissante. Initialisation :L"intervalle [1; 2] est stable parfet commeu0etv0appar- tiennent à cet intervalle, il en est de même pouru1etv1.De plusu1=f(u0) =3
2doncu1?u0etv1=f(v0) =53doncv1?v0
La proposition est initialisée.
PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
3. EXEMPLE
Hérédité :Soitnun entier naturel, supposons que(un)etvnappartiennentà [1; 2] et queun+1?unetvn+1?vn.
L"intervalle [1; 2] est stable parf, commeunetvnappartiennent à cet inter- valle, il en est de même pourun+1etvn+1.La fonctionfest croissante sur[1 ; 2]:
un+1?un?f(un+1)?f(un)?un+2?un+1
vn+1?vn?f(vn+1)?f(vn)?vn+2?vn+1
La proposition est héréditaire.
Par initialisation et hérédité, les suite(un)et(vn)sont bornée par [1; 2] et sont respectivement croissante et décroissante. c) Calculons la différence :vn+1-un+1. v n+1-un+1=2vn+12unvn+2vn+un+1-5unvn-2un-vn-1
(vn+1)(un+1) vn-un (vn+1)(un+1)1?un?2?2?un+1?3?1
3?1un+1?12
De même
13?1vn+1?12par produit19?1(vn+1)(un+1)?14
On en déduit donc que????v
n-un (vn+1)(un+1)???? ?|vn-un|4Conclusion?n?N,|vn+1-un+1|?1
4|vn-un|
d) On posewn=|vn-un|. On a montré à la question précédente que?n?N,wn+1 wn?14, donc : k=0w k+1 k=0w k+1wk??14? n or k=0w k+1 wk=wnw0(produit télescopique) doncwnw0??14? nOn en déduit donc :
w n??1 4? n w0? |vn-un|??14?
n |v0-u0| ? |vn-un|??14? n e) lim n→+∞? 1 4? n =0 car-1<14<1D"après la question précédente, on a-?1
4? n ?vn-un??14? n , donc d"après lethéorème des gendarmeslimn→+∞(vn-un) =0.PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
3. EXEMPLE
Les suites(un)et(vn)sont respectivement croissante et décroissante et limn→+∞(vn-un) =0, elles sont donc adjacentes. D"après lethéorème des suites adjacentes(un)et(vn)convergent vers la même limiteαtelle que : u0?α?v0?1?α?2.
La fonctionfest continue sur l"intervalle [1; 2] et les suites(un)et(vn) convergent vers la même limiteα, d"après lethéorème du point fixe, la limiteαvérifie l"équationf(α) =α f(α) =α?2α+1 Δ=5, on ne retient que la solution positiveα=1+⎷ 5 2. Cette limiteαn"est autre que le nombre d"orφ≈1,618 034. Remarque :Ces suites convergent très vite versφ, en effetu6etv6donne une approximation à 10 -5deφ nunvnvn-un 012111,51,6670,167
21.61,6250,025
31,615 3851,619 0480,004
41,617 6471,618 1825,35.10-4
51,617 9781,618 0567,80.10-5
61,618 0261,618 0371,14.10-5
PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR
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