Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence
démonstrations : le raisonnement par récurrence. Celui-ci peut être illustré de manière très simple en pensant à une suite de domino dans.
LES SUITES (Partie 1)
Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation). - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité)
La démonstration par récurrence
Dans toute la suite n appartient à N . La démonstration par récurrence sert lorsqu'on veut démontrer qu'une propriété dépendant de.
Chapitre 1. Raisonnement par récurrence
récurrence pour démontrer des propriétés sur des suites ? Coach : Le raisonnement par récurrence a de très belles applications comme de.
Chapitre2 : Suites réelles
D) Convergence et suite extraite. Lemme : Soit ? une application strictement croissante de N dans N. Alors @k P N?(k) ? k. Démonstration (par récurrence) :.
Sommes produits
https://www.normalesup.org/~glafon/carnot10/recurrence.pdf
LES SUITES (Partie 2)
Démontrer par récurrence que la suite (un) est majorée par 3. Page 4. 4. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et
Récurrence ; Sommes produits
Sep 27 2011 être devrais-je dire plutôt pour les suites
FICHE DE RÉVISION DU BAC
Raisonnement par récurrence. 6. Limites de suites. 1. Etude de suites. Définition : Une suite numérique est une fonction définie sur N (l'ensemble des
Complément sur les suites. Suites adjacentes - Lycée dAdultes
Feb 27 2017 Puis définies par les relations de récurrence : qn+1 = ... Démonstration : Soit (un) et (vn) deux suites adjacentes telles que (un) est.
Année 2007-20081èreSSVT
La démonstration par récurrence
Dans toute la suitenappartientàN.
La démonstrationparrécurrencesertlorsqu"onveut démontrerqu"une propriété,dépendantde n, est vraie pour toutes les valeurs den. On appelle dans ce casPnla propriétéen question. On est ainsi amené à montrer que la propriétéPnest vraiepour toutesles valeursden. P1?P0?P2?P3?P4?······
Exemple :Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer par récurrence la propriété : ??pour tout entiernon a : 0+1+2+···+n=n(n+1) 2.??Pour n"importe quel entiernon appellePnla propriété (à démontrer):??1+2+···+n=n(n+1)
2??. On peut à présent démontrer par récurrence que :??0+1+2+···+n=n(n+1)2pour tout entiern??.
La démonstration par récurrencese fait en trois étapes : •Initialisation: on vérifie que la propriété est vraie pour la première valeur den(souvent n=0).On vérifie donc queP0est vraie.
P 1?P0vraieP2?P3?P4?······
Exemple :
•Initialisation: icin=0 doncn(n+1)2=0×(0+1)2=0 et ainsi la propriétéP0est vraie. •Hérédité:on démontre la propriété suivante :??si la propriété est vraie pour un certain rangk(n"importe lequel)
alors la propriété est vraie pour le rang juste après c"est-à-dire pour le rangk+1??.PkvraiePk+1?transmission
La propriété se transmet de la valeur de l"indicekà la valeur de l"indicek+1.On dit que la propriété est
héréditaire.Page 1/2
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Exemple :•Transmission:
Sila propriétéPkest vraie(pour un certain k)montrons qu"alorsPk+1est vraie aussi . On sait (par hypothèse de récurrence) : 0+1+2+···+k=k(k+1) 2. On veut démontrer que : 0+1+2+···+(k+1)=(k+1)?(k+1)+1?2=(k+1)(k+2)2.
On a 0+1+2+···+(k+1)=0+1+2+···+k+(k+1) . Par ailleurs d"après l"hypothèse de récurrence 0+1+2+···+k=k(k+1)2donc 0+1+2+···+(k+1)=k(k+1)2+(k+1) .
On a ensuite
k(k+1)2+(k+1)=k(k+1)2+2(k+1)2=(k+1)(k+2)2et donc il suit que
0+1+2+···+(k+1)=(k+1)(k+2)
2.La propriétéPk+1est ainsi vraie.
On a donc bien montré que si
Pkest vraie alorsPk+1l"est aussi.
•Conclusion:les deux étapes précédentes permettent de conclure que la propriété est vraie pour tous les entiersn.
En effet la propriétéest vraie au rang 0 donc avec l"étape d"hérédité elle devient vraie au rang 1. On peut
alors réappliquer l"étape d"hérédité au rang 1 et la propriété devient vraie au rang 2.
En réappliquant l"étape d"hérédité de proche de proche, il suit que la propriété est vraie pour tous les
entiersn.P1vraieP0vraieP2?transmission
P3?P4?······
P1vraieP0vraieP2vraieP3vraie
P4?transmission
Exemple :
•Conclusion: On a ainsi pour tout entiernl"égalité : 0+1+2+···+n=n(n+1)2.Page 2/2
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