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Fonctions de Bessel

Les fonctions de Bessel peuvent servir µa illustrer un grand nombre des thµemes qui

1. La fonction de BesselJ0

0essaie de montrer pourquoi les

8(x;y)2R2; f(x;y) =eiy:

et faisons subir µa la fonctionfune rotation (d'angle¡®) pour obtenir la fonctionf®

8M2R2; f®(M) =f(R®M)

oµu R

8(x;y)2R2; f®(x;y) =ei(xsin®+ycos®):

F = Z 2¼ 0 f

®d®

2¼,

c'est-µa-dire

8(x;y)2R2;F(x;y) =Z

2¼ 0 ei(xsin®+ycos®)d®

2¼.

r=p x y=rsinµ, on a

F(x;y) =Z

2¼ 0 eir(cosµsin®+sinµcos®)d®

2¼=Z

2¼ 0 eirsin(µ+®)d® 2¼ =Z 2¼ 0 eirsin(¯)d¯

2¼= J0(r);

J

0(r) =Z

2¼ 0 eirsinudu

2¼.

1

8r >0;J000(r) +1

r

J00(r) =¡J0(r):

surRpar

8t2R;J0(t) =Z

2¼ 0 eitsinµdµ

2¼.

Nous venons d'expliquer que J

de paramµetre 0, (B

0)8t2R; t2y00(t) +ty0(t) +t2y(t) = 0:

0 e itsinµ= exp¡(t=2)(eiµ¡e¡iµ)¢= exp¡seiµ¢exp¡

¡seiµ¢

= exp

¡seiµ¢

exp

¡¡seiµ¢;

de sorte que J

0(t) appara^³t comme le produit scalaire dans L2(0;2¼) des deux fonctions

µ!exp(seiµ) etµ!exp(¡seiµ),

J

0(t) =Z

2¼ 0 eitsinµdµ D +1X k=0s k k!eikµ;+1X k=0(¡s)k k!eikµi=+1X k=0(t=2)k k!(¡t=2)k k!=+1X k=0(¡1)kt2k 4 k(k!)2. rayon de convergence in¯ni (on pourrait facilement calculer ce rayon avec les critµeres sur le plan complexeCtout entier.

Vibrations d'un tambour

D, nulles

des ondes sous la forme

8(x;y)2D;8t¸0; u(x;y;t) =g(x;y) cos(¹t):

2u @t

2= ¢u;

2 oµu le laplacien est pris dans les variables d'espace (x;y). On verra plus loin que la fonction J et introduisons une fonctiongsurR2en posant

8(x;y)2R2; g(x;y) = F(¹x;¹y) = J0(¹r):

(¢g)(x;y) =¹2(¢F)(¹x;¹y) =¡¹2g(x;y); ce qui montre que ¢g=¡¹2g. On trouve unhhmode propreiide vibration pour chaque sont de la forme u k(x;y;t) = J0(¹0;kr) cos(¹0;kt); r=p x 2+y2: tambour, qui est l'analogue du cas oµu une corde de guitare ou de violon vibre en un seul fuseau. En e®et, J

0est>0 sur [0;¹0;0[; la solutionu0ci-dessus est donc>0 µa l'instant

2. Les autres fonctions de Bessel

F n=Z 2¼ 0 f

®e¡in®d®

2¼,

c'est-µa-dire

8(x;y)2R2;Fn(x;y) =Z

2¼ 0 ei(xsin®+ycos®)¡in®d®

2¼.

n=¡Fn. La fonction F nn'est plus une fonction radiale : si on posex=rcosµ,y=rsinµ, on a F n(x;y) =Z 2¼ 0

2¼=Z

2¼ 0 eirsin(µ+®)¡in®d® 2¼ =Z 2¼ 0 eirsin(¯)¡in(¯¡µ)d¯

2¼=einµJn(r);

8t2R;Jn(t) =Z

2¼ 0 eitsinue¡inudu

2¼.

d 2 dr 2+1 r d dr +1 r 2d 2 dµ 2 J

00n(r) +1

r

J0n(r)¡n2

r

2Jn(r) =¡Jn(r):

3

Nous trouvons ainsi que J

paramµetren, (B n)8t2R; t2y00(t) +ty0(t) + (t2¡n2)y(t) = 0: analogue µa ce qu'on a fait pour J

0: il su±t d'y translater denpas vers la droite le

8t2R;Jn(t) =+1X

k=0(¡1)k(t=2)2k+n k!(k+n)!. On voit µa nouveau que le rayon de convergence est in¯ni. On note que J n(0) = 0 pour nobtenue en exprimant (k+n)! comme ¡(k+n+ 1),

8t >0;Jº(t) =+1X

k=0(¡1)k(t=2)2k+º k!¡(k+º+ 1). fonction J ºest solution det2y00+ty0+ (t2¡º2)y= 0 sur (0;+1). Ainsi, Jºet J¡º pournentier<0 on a Jn= (¡1)nJ¡n; les fonctions Jºpermettent aussi de trouver une n). Par exemple, dans le casn= 0, on prendra Y

0= limº!0J

º¡J0

de Bessel BY intervalle.

¡tJ0(t)2'0(t)¢0= 0:

multiples de J 0. 4 L

8x2(0;1];(Tf)(x) = ln(x)Z

x 0 f(t)tdt+Z 1 xquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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