[PDF] [PDF] L3 Chimie et Physique fonctions de Bessel dans le

View - Download [PDF] L3 Chimie et Physique

Previous PDF

Next PDF

Math ´ematiques pour les licences de chimie et de physique

Tewfik Sari

L3 Chimie et Physique

Avertissement:ces notes sont la r´edaction provisoire du cours de math´ematiques pour les licences de chimie et de

physique. Dans les deux premiers chapitres on montre comment utiliser l"analyse de Fourier pour r

´esoudre l"´equation de

la chaleur et l"

´equation des ondes. Certains probl`emes li´es`a ces deux´equations conduisent`a la r´esolution d"´equations

diff

´erentielles lin´eaires`a coefficients non constants, dont les solutions ne s"expriment pas`a l"aide des fonctions

el´ementaires. Les solutions de ces´equations sont appel´ees desfonctions sp´eciales. On en´etudie un specimen, les

fonctions de Bessel, dans le chapitre trois. Le dernier chapitre est consacr

´e`a une br`eve introduction au calcul des

probabilit

´es sur un ensemble fini.

Chapitre 1

S

´eries de Fourier

1.1 S

´eries de Fourier ensinus

1.1.1 Propagation de la chaleur dans une tige de longueur finie

On se propose de r

´esoudre le probl`eme suivant

8< :u t=a2uxx, t >0,0< x < l u(0,t) =u(l,t) = 0, t≥0 qui mod

´elise la propagation de la chaleur dans une tige de longueur finieldont les extr´emit´es sont mainte-

nues

`a la temp´erature 0. Iciu(x,t)d´esigne la temp´erature de la tige au pointx`a l"instantt. Les relations de

compatibilit ´e entre les conditions initialesu(0,t) =u(l,t) = 0et la condition initialeu(x,0) =?(x)sont ?(0) =?(l) = 0. M

´ethode de s´eparation des variables

On oublie momentan

´ement la condition initialeu(x,0) =?(x)et on cherche les solutions du probl`eme

½ut=a2uxx, t >0,0< x < l

u(0,t) =u(l,t) = 0, t≥0(1.2) qui se mettent sous la formeu(x,t) =X(x)T(t). On obtient : u t=a2uxx??XT?=a2X??T??T? a

2T=X??

X =-λ?R. u(0,t) = 0??X(0) = 0, u(l,t) = 0??X(l) = 0.

Par cons

´equent le probl`eme (1.2) est´equivalent aux deux probl`emes suivants

½X??+λX= 0,0< x < l

X(0) =X(l) = 0.(1.3)

T ?+a2λT= 0, t >0(1.4) o

`uλest un param`etre r´eel. Le probl`eme (1.3) est appel´e un probl`eme de Sturm-Liouville : Il s"agit de trouver

les valeurs deλqui seront appel´ees lesvaleurs proprespour lesquelles le probl`eme (1.3) admet des solution

non triviales (c"est

`a dire non identiquement nulles), qui seront appel´ees lesfonctions propres. On a le r´esultat

suivant Th ´eor`eme 1Les solutions du probl`eme de Sturm Liouville (1.3) sont k=µkπ l 2 , X k(x) = sinkπx l ;aveck= 1,2,3,···. 2

1.1. S

´ERIES DE FOURIER ENSINUS 3

Les solutions du probl

`eme (1.4) correspondant aux valeurs propresλ=λksont T k(t) =Ake-(kπa l )2t,avecAk?R.

Par cons

´equent, les solutions de la formeu(x,t) =T(t)X(x)du probl`eme (1.2) sont u k(x,t) =Ake-(kπa l )2tsinkπx l ;aveck= 1,2,3,···.(1.5)

Principe de superposition

Comme le probl

`eme (1.2) est lin´eaire on a le r´esultat suivant

Proposition 1Siu1etu2sont des solutions du probl`eme (1.2) alors leur sommeu1+u2est aussi une solution

de ce probl `eme. Plus g´en´eralement siuk,k= 1,2,···sont des solutions alors la s´erie u=+∞X k=1u k=u1+u2+···+uk+··· est une solution (pourvu qu"elle converge comme il faut).

Comme on connait les solutions (1.5) du probl

`eme (1.2), on en d´eduit que les s´eries u(x,t) =+∞X k=1A ke-(kπa l )2tsinkπx l (1.6) sont des solutions du probl `eme (1.2). Une telle fonction v´erifie aussi la condition initialeu(x,0) =?(x)si et seulement si on a ?(x) =u(x,0) =+∞X k=1A ksinkπx l D ´eveloppements en s´eries de Fourier ensinus Soit?: [0,l]→Rune fonction continue et de classeC1. Alors, pour toutx?]0,l[, on a ?(x) =+∞X k=1A ksinkπx l ;(1.7) avec A k=2 l Z l 0 ?(x)sinkπx l dx; k= 1,2,···.(1.8) Si la fonction?est seulement de classeC1par morceaux, alors en un point de discontinuit´exon a +∞X k=1A ksinkπx l =?(x+ 0) +?(x-0) 2 o

`u?(x+0)et?(x-0)d´esignent les limites`a droite et`a gauche de la fonction?au pointx. Les formules qui

donnent les constantesAks"obtiennent imm´ediatement en utilisant lesrelations d"orthogonalit´esuivantes

2 l Z l 0 sinkπx l sinnπx l dx=½0sik?=n

1sik=n.

Il suffit de multiplier les deux membres de l"

´egalit´e (1.7) parsinnπx

l puis d"int´egrer entre 0 etl. En effet on a Z l 0 ?(x)sinnπx l dx=Z l

0+∞X

k=1A ksinkπx l sinnπx l dx=+∞X k=1A kZ l 0 sinkπx l sinnπx l dx=l 2 An.

En conclusion on a le r

´esultat suivant (`a ne pas apprendre par coeur!)

Proposition 2La solution du probl`eme (1.1) est donn´ee par (1.6) o`u les constantesAksont d´efinies par les

formules (1.8)

4CHAPITRE 1. S´ERIES DE FOURIER

1.1.2 Propagation des ondes dans une corde de longueur finie

On se propose de r

´esoudre le probl`eme suivant

8< :u tt=a2uxx, t >0,0< x < l u(0,t) =u(l,t) = 0, t≥0 qui mod

´elise la propagation d"une onde dans corde de longueur finieldont les extr´emit´es sont maintenues

immobiles. Iciu(x,t)d´esigne l"´ecart par rapport`a la position au repos de la corde au pointx`a l"instantt.

M

´ethode de s´eparation des variables

On oublie momentan

´ement les conditions initialesu(x,0) =?(x)etut(x,0) =ψ(x)et on cherche les solutions du probl `eme½utt=a2uxx, t >0,0< x < l u(0,t) =u(l,t) = 0, t≥0(1.10) qui se mettent sous la formeu(x,t) =X(x)T(t). On obtient : u tt=a2uxx??XT??=a2X??T??T?? a

2T=X??

X =-λ?R. u(0,t) = 0??X(0) = 0, u(l,t) = 0??X(l) = 0.

Par cons

´equent le probl`eme (1.10) est´equivalent aux deux probl`emes suivants

½X??+λX= 0,0< x < l

X(0) =X(l) = 0.(1.11)

T ??+a2λT= 0, t >0(1.12) o

`uλest un param`etre r´eel. On sait (Th´eor`eme 1) que les solutions du probl`eme de Sturm Liouville (1.11) sont

k=µkπ l 2 , X k(x) = sinkπx l ;aveck= 1,2,3,···

Les solutions du probl

`eme (1.12) correspondant aux valeurs propresλksont T k(t) =Akcoskπat l +Bksinkπat l ;avecAk,Bk?R.

Par cons

´equent, les solutions de la formeu(x,t) =T(t)X(x)du probl`eme (1.10) sont u k(x,t) =µ A kcoskπat l +Bksinkπat l sinkπx l ; k= 1,2,3,···.(1.13)

Principe de superposition

Comme le probl

`eme (1.10) est lin´eaire et que l"on dispose de ses solutions (1.13), les s´eries u(x,t) =+∞X k=1µ A kcoskπat l +Bksinkπat l sinkπx l (1.14) sont des solutions du probl `eme (1.10). Une telle fonction v´erifie aussi les conditions initialesu(x,0) =?(x) etut(x,0) =ψ(x)si et seulement si on a ?(x) =u(x,0) =+∞X k=1A ksinkπx l etψ(x) =ut(x,0) =+∞X k=1kπa l

Bksinkπx

l

1.1. S

´ERIES DE FOURIER ENSINUS 5

En ´ecrivant les d´eveloppements en s´eries de Fourier des fonction?etψon obtient A k=2 l Z l 0 ?(x)sinkπx l dx; Bk=2 kπa Z l 0

ψ(x)sinkπx

l dx(1.15)

En conclusion on a le r

´esultat suivant (`a ne pas apprendre par coeur!)

Proposition 3La solution du probl`eme (1.9) est donn´ee par (1.14) o`u les constantesAketBksont d´efinies

par les formules (1.15).

1.1.3 Unicit

´e des solutions des probl`emes (1.1) et (1.9)

Unicit

´e des solutions du probl`eme (1.1)

Dans cette section nous allons montrer que le probl `eme (1.1) n"a qu"une solution, de sorte que la solution obtenue dans la proposition 2 est bien l"unique solution de ce probl `eme. Soientu1etu2des solutions du probl `eme (1.1). Alorsu=u1-u2est solution du probl`eme 8< :u t=a2uxx, t >0,0< x < l u(0,t) =u(l,t) = 0, t≥0

Montrons que l"unique solution de ce probl

`eme est la solution nulleu(x,t)≡0. Multiplions l"´equationut= a

2uxxparuon obtient

uu t=a2uuxx.

Une int

´egration par parties par rapport`axentre 0 etlnous donne Z l 0 uu tdx=a2Zl 0 uu xxdx=a2[uux]x=lx=0-a2Zl 0 u2xdx. Des conditions aux limitesu(0,t) =u(l,t) = 0on d´eduit que[uux]x=lx=0= 0. Posons

G(t) =1

2 Z l 0 u2(x,t)dx Commeu(x,0) = 0on aG(0) = 0. De plus, pour toutt≥0,G(t)≥0et G ?(t) =Z l 0 uu tdx=-a2Zl 0

Par cons

´equentG(t) = 0pour toutt≥0et doncu(x,t) = 0pour toutt≥0et toutx?[0,l].

Unicit

´e des solutions du probl`eme (1.1)

Nous allons montrer que le probl

`eme (1.9) n"a qu"une solution, de sorte que la solution obtenue dans la proposition 3 est bien l"unique solution de ce probl `eme. Soientu1etu2des solutions du probl`eme (1.9). Alors u=u1-u2est solution du probl`eme 8< :u tt=a2uxx, t >0,0< x < l u(0,t) =u(l,t) = 0, t≥0

Montrons que l"unique solution de ce probl

`eme est la solution nulleu(x,t)≡0. Consid´erons la fonction

E(t) =1

2 Z l

6CHAPITRE 1. S´ERIES DE FOURIER

Une int

´egration par parties par rapport`axnous donne

E ?(t) =Z l l 0 u tuttdx+a2[uxut]x=lx=0-a2Zl 0 u tuxxdx Z l 0 u t[utt-a2uxx]dx+a2[uxut]x=lx=0=a2[uxut]x=lx=0= 0.

Laderni

`ere´egalit´eprovientdesconditionsauxlimitesu(0,t) =u(l,t) = 0quiimpliquentut(0,t) =ut(l,t) =

0. AinsiE(t)reste constant pour toutt≥0. Or

E(0) =1

2 Z l carut(x,0) = 0pourx?[0,l]etu(x,0) = 0pourx?[0,l]impliqueux(x,0) = 0pourx?[0,l]. Par cons ´equentE(t) = 0pour toutt >0. On en d´eduit que pour toutt >0et toutx?[0,l]on aut(x,t) = 0, u

x(x,t) = 0, c"est`a dire queu(x,t)reste constante. Commeu(x,0) = 0on a bienu(x,t) = 0pour toutt≥0

et toutx?[0,l]. 1.2 S

´eries de Fourier

1.2.1 S

´eries de Fourier encosinus

On se propose de r

´esoudre le probl`eme suivant

8< :u t=a2uxx, t >0,0< x < l u x(0,t) =ux(l,t) = 0, t≥0 qui mod

´elise la propagation de la chaleur dans une tige de longueur finieldont les extr´emit´es sont isol´ees.

M

´ethode de s´eparation des variables

On oublie momentan

´ement la condition initialeu(x,0) =?(x)et on cherche les solutions du probl`eme

½ut=a2uxx, t >0,0< x < l

u x(0,t) =ux(l,t) = 0, t≥0(1.17) qui se mettent sous la formeu(x,t) =X(x)T(t). On obtient : u t=a2uxx??XT?=a2X??T??T? a

2T=X??

X =-λ?R. u x(0,t) = 0??X?(0) = 0, ux(l,t) = 0??X?(l) = 0,

Par cons

´equent le probl`eme (1.17) est´equivalent aux deux probl`emes suivants

½X??+λX= 0,0< x < l

X ?(0) =X?(l) = 0.(1.18) T ?+a2λT= 0, t >0(1.19) o

`uλest un param`etre r´eel. On ne peut pas appliquer le r´esultat du th´eor`eme 1 car les conditions aux limites du

probl

`eme de Sturm Liouville (1.18) sont diff´erentes des conditions aux limites du probl`eme de Sturm Liouville

(1.3). On a le r

´esultat suivant

Th ´eor`eme 2Les solutions du probl`eme de Sturm Liouville (1.18) sont k=µkπ l 2 , X k(x) = coskπx l ;aveck= 0,1,2,···

1.2. S

´ERIES DE FOURIER7

Les solutions du probl

`eme (1.19) correspondant aux valeurs propresλ=λksont T k(t) =Ake-(kπa l )2t,avecAk?R.

Par cons

´equent, les solutions de la formeu(x,t) =T(t)X(x)du probl`eme (1.17) sont u k(x,t) =Ake-(kπa l )2tcoskπx l ;aveck= 0,1,2,···(1.20)

Principe de superposition

Comme le probl

`eme (1.17) est lin´eaire et que l"on connait ses solutions (1.20), les s´eries u(x,t) =+∞X k=0A ke-(kπa l )2tcoskπx l (1.21) sont des solutions du probl `eme (1.17). Une telle fonction v´erifie aussi la condition initialeu(x,0) =?(x)si et seulement si on a ?(x) =u(x,0) =+∞X k=0A kcoskπx l D ´eveloppements en s´eries de Fourier encosinus Soit?: [0,l]→Rune fonction continue et de classeC1. Alors, pour toutx?]0,l[, on a ?(x) =+∞X k=0A kcoskπx l (1.22) avec A 0=1 l Z l 0 ?(x)dx, Ak=2 lquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] fonction de bessel modifiée

[PDF] introduction ? la microéconomie varian pdf

[PDF] cours microeconomie 1 pdf

[PDF] cours de microéconomie licence 1 pdf

[PDF] corrélation multiple

[PDF] correlation multiple r

[PDF] exercice fonction cout de production

[PDF] corrélation multiple définition

[PDF] corrélation multiple spss

[PDF] coefficient de détermination multiple excel

[PDF] definition fonction de cout total

[PDF] corrélation entre plusieurs variables excel

[PDF] corrélation multiple excel

[PDF] fonction de cout marginal

[PDF] régression multiple excel