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Fonctions de Bessel

Les fonctions de Bessel peuvent servir µa illustrer un grand nombre des thµemes qui

1. La fonction de BesselJ0

0essaie de montrer pourquoi les

8(x;y)2R2; f(x;y) =eiy:

et faisons subir µa la fonctionfune rotation (d'angle¡®) pour obtenir la fonctionf®

8M2R2; f®(M) =f(R®M)

oµu R

8(x;y)2R2; f®(x;y) =ei(xsin®+ycos®):

F = Z 2¼ 0 f

®d®

2¼,

c'est-µa-dire

8(x;y)2R2;F(x;y) =Z

2¼ 0 ei(xsin®+ycos®)d®

2¼.

r=p x y=rsinµ, on a

F(x;y) =Z

2¼ 0 eir(cosµsin®+sinµcos®)d®

2¼=Z

2¼ 0 eirsin(µ+®)d® 2¼ =Z 2¼ 0 eirsin(¯)d¯

2¼= J0(r);

J

0(r) =Z

2¼ 0 eirsinudu

2¼.

1

8r >0;J000(r) +1

r

J00(r) =¡J0(r):

surRpar

8t2R;J0(t) =Z

2¼ 0 eitsinµdµ

2¼.

Nous venons d'expliquer que J

de paramµetre 0, (B

0)8t2R; t2y00(t) +ty0(t) +t2y(t) = 0:

0 e itsinµ= exp¡(t=2)(eiµ¡e¡iµ)¢= exp¡seiµ¢exp¡

¡seiµ¢

= exp

¡seiµ¢

exp

¡¡seiµ¢;

de sorte que J

0(t) appara^³t comme le produit scalaire dans L2(0;2¼) des deux fonctions

µ!exp(seiµ) etµ!exp(¡seiµ),

J

0(t) =Z

2¼ 0 eitsinµdµ D +1X k=0s k k!eikµ;+1X k=0(¡s)k k!eikµi=+1X k=0(t=2)k k!(¡t=2)k k!=+1X k=0(¡1)kt2k 4 k(k!)2. rayon de convergence in¯ni (on pourrait facilement calculer ce rayon avec les critµeres sur le plan complexeCtout entier.

Vibrations d'un tambour

D, nulles

des ondes sous la forme

8(x;y)2D;8t¸0; u(x;y;t) =g(x;y) cos(¹t):

2u @t

2= ¢u;

2 oµu le laplacien est pris dans les variables d'espace (x;y). On verra plus loin que la fonction J et introduisons une fonctiongsurR2en posant

8(x;y)2R2; g(x;y) = F(¹x;¹y) = J0(¹r):

(¢g)(x;y) =¹2(¢F)(¹x;¹y) =¡¹2g(x;y); ce qui montre que ¢g=¡¹2g. On trouve unhhmode propreiide vibration pour chaque sont de la forme u k(x;y;t) = J0(¹0;kr) cos(¹0;kt); r=p x 2+y2: tambour, qui est l'analogue du cas oµu une corde de guitare ou de violon vibre en un seul fuseau. En e®et, J

0est>0 sur [0;¹0;0[; la solutionu0ci-dessus est donc>0 µa l'instant

2. Les autres fonctions de Bessel

F n=Z 2¼ 0 f

®e¡in®d®

2¼,

c'est-µa-dire

8(x;y)2R2;Fn(x;y) =Z

2¼ 0 ei(xsin®+ycos®)¡in®d®

2¼.

n=¡Fn. La fonction F nn'est plus une fonction radiale : si on posex=rcosµ,y=rsinµ, on a F n(x;y) =Z 2¼ 0

2¼=Z

2¼ 0 eirsin(µ+®)¡in®d® 2¼ =Z 2¼ 0 eirsin(¯)¡in(¯¡µ)d¯

2¼=einµJn(r);

8t2R;Jn(t) =Z

2¼ 0 eitsinue¡inudu

2¼.

d 2 dr 2+1 r d dr +1 r 2d 2 dµ 2 J

00n(r) +1

r

J0n(r)¡n2

r

2Jn(r) =¡Jn(r):

3

Nous trouvons ainsi que J

paramµetren, (B n)8t2R; t2y00(t) +ty0(t) + (t2¡n2)y(t) = 0: analogue µa ce qu'on a fait pour J

0: il su±t d'y translater denpas vers la droite le

8t2R;Jn(t) =+1X

k=0(¡1)k(t=2)2k+n k!(k+n)!. On voit µa nouveau que le rayon de convergence est in¯ni. On note que J n(0) = 0 pour nobtenue en exprimant (k+n)! comme ¡(k+n+ 1),

8t >0;Jº(t) =+1X

k=0(¡1)k(t=2)2k+º k!¡(k+º+ 1). fonction J ºest solution det2y00+ty0+ (t2¡º2)y= 0 sur (0;+1). Ainsi, Jºet J¡º pournentier<0 on a Jn= (¡1)nJ¡n; les fonctions Jºpermettent aussi de trouver une n). Par exemple, dans le casn= 0, on prendra Y

0= limº!0J

º¡J0

de Bessel BY intervalle.

¡tJ0(t)2'0(t)¢0= 0:

multiples de J 0. 4 L

8x2(0;1];(Tf)(x) = ln(x)Z

x 0 f(t)tdt+Z 1 x ln(t)f(t)tdt: Montrer que T est hermitien, Hilbert-Schmidt, µa image dense donc injectif; montrer que 0). forment, aprµes normalisation, une base hilbertienne de L

2([0;1];¹).

Problµeme de Dirichlet, suite

g(x;y) = Fn(¹x;¹y) = Jn(¹r)einµ de fonctions propres pour le problµeme de Dirichlet dans H J

On remarque que J

j n(s) =+1X k=0(¡1)ksk 2

2k+nk!(k+n)!,

donc F n(x;y) =jn(x2+y2)rneinµ=jn(x2+y2)(x+iy)n 5

8µ;eitsin(µ)=X

n2ZJ n(t)einµ:

G(u;t) = exp³t

2 u¡1 u

G(u;t) =X

n2Za n(t)un

8u2Cn f0g;8t2R;exp³t

2 u¡1 u =X n2ZJ n(t)un: J n(t) =1

2i¼Z

°(½)G(u;t)

u ndu u avec la fonction entiµere J njJn(t)j ·maxfjG(u;t)j:juj=½g: t2C, toutn2Z, R jnjjJn(t)j ·maxfjG(u;t)j: 1=R· juj ·Rg:

Quanduest dans cette couronne, le module de1

2 jG(u;t)j ·eRjtj; on obtient pour toust2C,n2Zet R>1 jJn(t)j ·R¡jnjeRjtj:

8u2Cn f0g;8t2C;exp³t

2 u¡1 u =X n2ZJ n(t)un: 6 g(u;t) =1 2 u¡1 u exp³t 2 u¡1 u

Pbn(t)un; les arguments de

jbn(t)j ·R¡jnjReRjtj t. Ces lignes justi¯ent beaucoup des calculshhformelsiiqu'on peut faire sur la fonction Exercice(facile). Montrer que 2J0n= Jn¡1¡Jn+1. de la fonction ch(t) : elle est paire, croissante sur [0;+1[, tend vers l'in¯ni plus vite que

Exercice.Montrer que pour tout entiern¸0, on a

tJn+1(t) =nJn(t)¡tJ0n(t): coe±cients entierstels que t kJn+k(t) = A(t)Jn(t) +tB(t)J0n(t): J

3. Comportement µa l'in¯ni des fonctions de Bessel

3.1.

Voir Chatterji volume 3, sections 2.6 et 2.7.

On suppose quenest un entier¸0 et queyest solution sur l'intervalle ouvert (B n)8t >0; t2y00(t) +ty0(t) + (t2¡n2)y(t) = 0:

Si on posez(t) =p

(1)z00(t) +³

1¡n2¡1=4

t 2´ z(t) = 0: q(t) = 1¡n2¡1=4 t 2 section. 7 n, qui est {µa un multiple prµes{ quandt!0. tinue sur un intervalle ouvert I½R, six00(t)+q(t)x(t) = 0 pour toutt2I, et si la fonction xn'est pas identiquement nulle sur I, on voit que le vecteur X(t) = (x0(t);x(t))2R2 n'est jamais nul. En e®et, l'ensemble

A =ft2I :x(t) =x0(t) = 0g

q

1etq2surItelles que

q

1·q2;

8t2I; x001(t) +q1(t)x1(t) = 0; x002(t) +q2(t)x2(t) = 0:

Six2ne s'annule pas surIet six1n'est pas identiquement nulle surI, alorsx1possµede la fonctionx2(t) =etest une solution dex00¡x= 0 qui ne s'annule pas surR; la solution x b= infft > a:x1(t) = 0g l'intervalle ouvert (a;b). Elle y a donc un signe constant, par exemplex1>0 sur (a;b). x

01(a) = limh!0;h>0h¡1¡x1(a+h)¡x1(a)¢= limh!0;h>0h¡1x1(a+h)¸0;

garde un signe constant sur (a;b)½I, par exemplex2>0. L'outil de la preuve est le wronskien

W(t) =x01(t)x2(t)¡x1(t)x02(t);

X

1(t) = (x01(t);x1(t)) et X2(t) = (x02(t);x2(t)); en tout pointt0oµux1(t0) = 0, on a

W(t0) =x01(t0)x2(t0). Ainsi

W(a) =x01(a)x2(a)>0;W(b) =x01(b)x2(b)<0:

8

Mais par ailleurs on voit que

8t2(a;b);W0(t) =x001(t)x2(t)¡x1(t)x002(t) = (q2(t)¡q1(t))x1(t)x2(t)¸0;

ce qui contredit le fait que W(b)Corollaire.Soit(a(n)

0< a(n)

k< a(n) k+1etnentier¸0; sin= 0, on aa(n) k+1¡a(n) k< ¼pour toutket sin >0, on aa(n) k+1¡a(n) k> ¼. On a de plus pour toutn¸0, lim k!+1¡a(n) k+1¡a(n) k¢=¼:

0, et posonsak=a(0)

kpour simpli¯er; si z(t) =p tJ0(t), on a z

00(t) +³

1 +1

4t2´

z(t) = 0: Choisissonsbtel queak< b < ak+1(on fera tendrebversak); sur l'intervalle ouvert q

1(t) = 1·q2(t) = 1 +1

4t2, etx2(t) =z(t) est solution dex002+q2x2= 0, ne s'annule pas sur I. Puisquex1s'annule a constante Q trouve alors par le m^eme raisonnement queak+1¡ak·c¡1¼ < ¼. Tous les autres des deux fonctions. x pointst=bett=b+c¡1¼, la fonctionx1s'annule au moins deux fois sur l'intervalle I; si de plusq1=c2minoreq2(t) = 1¡(n¡1=4)=t2sur I, la fonction Jn=x2doit c

2a= 1¡n¡1=4

a 2 9 On va maintenant obtenir un autre type d'information sur le comportement asymp- totique des fonctions de Bessel. Proposition 2.Pour tout entiern¸0, il existe deux constantes¸net'ntelles que J n(t) =¸ncos(t¡'n) p t + O(t¡3=2) lorsquet!+1. Dans la section 2, on calculera les valeurs de¸0et'0par une autre approche. fonction µa valeurs matricielles, qui est hhpetiteii, au sens que E=Z +1 t

0kE(t)kdt <+1:

l'exponentielle t (esA) =estA=e¡sA est bien l'inverse de la matrice A etAV(t) +etAV0(t) = Z0(t) = AZ(t) + E(t)Z(t); ce qui se transforme en V

0(t) =e¡tAE(t)etAV(t):

Posons B(t) =e¡tAE(t)etA; on akB(t)k=kE(t)kpuisque la matriceetAest orthogo- 10 Lemme.Sit!B(t)est continue de[t0;+1)dansMd(R)et si B=Z +1 t

0kB(t)kdt <+1;

vers une limiteV(1)lorsquet!+1, et de plus

8t¸t0;kV(t)¡V(1)k ·eBkV(t0)kZ

+1 t kB(s)kds: N

0(t) = 2tV(t)B(t)V(t)·2kB(t)kkV(t)k2= 2kB(t)kN(t):

veut) : si on poseb(t) =Rt t

0kB(s)kds, on voit que la fonction'(t) =e¡2b(t)N(t) est

0(t) =¡2b0(t)'(t) +e¡2b(t)N0(t)· ¡2kB(t)k'(t) + 2kB(t)ke¡2b(t)N(t) = 0:

8t¸t0;N(t)·e2b(t)'(t0) =e2b(t)N(t0):

D'aprµes l'hypothµese du lemme, la fonction positivebtend en croissant versBµa l'in¯ni,

8t¸t0;kV(t)k ·eb(t)kV(t0)k ·eBkV(t0)k:

Pour terminer, on a pourt0·t1·t2

kV(t2)¡V(t1)k=°°°Z t2 t

1V0(s)ds°°°·³

sup t¸t0kV(t)k´Zt2 t

1kB(s)kds;

kV(1)¡V(t1)k=°°°Z +1 t

1V0(s)ds°°°·eBkV(t0)kZ

+1 t

1kB(s)kds;

11 tions du systµeme sans perturbation. Proposition 3.On suppose quet!E(t)est continue de[t0;+1)dansMd(R), que E=Z +1 t

0kE(t)kdt <+1;

tel que

8t¸t0;kZ(t)¡etAvk ·eEkZ(t0)kZ

+1 t kE(s)kds: V

0(t) = B(t)V(t), avec B(t) =e¡tAE(t)etA, qui a la m^eme norme que E(t); d'aprµes le

lemme, V(t) tend vers un vecteurv= V(1) quandttend vers l'in¯ni, et de plus kV(t)¡vk ·eBkV(t0)kZ +1 t kB(s)kds=eEkZ(t0)kZ +1 t kE(s)kds: Il ne reste plus qu'µa multiplier V(t)¡vpar la matrice orthogonaleetApour terminer la preuve de la proposition 3. une solution du systµeme Z

8t >0;Z(t) =µz0(t)

Z

0(t) =µ0¡1 + (n2¡1=4)t¡2

Z(t): On est dans le cas couvert par la proposition 3, avec A =

µ0¡1

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