Les triplets pythagoriciens
Le triplet pythagoricien le plus cél`ebre est sans doute (34
Les triplets pythagoriciens - Lycée dAdultes
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Réduction dargument basée sur les triplets pythagoriciens pour l
28 mar. 2015 les triplets pythagoriciens pour l'évaluation de fonctions trigonométriques. ... Mots-clés : réduction d'argument triplet pythagoricien
LES TRIPLETS PYTHAGORICIENS
On dit que trois nombres a b et c entiers naturels forment un triplet pythagoricien s'ils vérifient la relation : a2 + b2 = c2. Rechercher des triplets
Les triplets pythagoriciens - Lycée dAdultes
27 août 2020 Ce sont donc des triplets pythagoriciens. Théorème 2 : Si deux des trois nombres composant un triplet pythagoricien ont un diviseur commun d ...
Les triplets pythagoriciens
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Triplets Pythagoriciens
Triplets Pythagoriciens. Leçons 126142. Théor`eme (Triplets Pythagoriciens). Les triplets d'entiers (x
Triplets pythagoriciens
22 avr. 2009 ? Un triplet pythagoricien est une combinaison de naturels vérifiant la formule a²=b²+c². ? Un triangle pythagoricien est un triangle ...
Le théorème de Pythagore et les triplets Pythagoriciens. Et comment
Lorsqu'un triplet est pythagoricien on peut leur demander de tracer le triangle correspondant sur du papier quadrillé. 5. On peut ensuite leur montrer à tracer
Triplets Pythagoriciens
Exercice 1. 1) Connaissez-vous déjà un triplet pythagoricien ? 2) À quelle situation géométrique correspond le cas b = 0? et
Les triplets pythagoriciens
1 Définition
Définition 1 :On dit que trois nombresa,betcentiers naturels forment un triplet pythagoricien s"ils vérifient la relation :a2+b2=c2.Remarque :Rechercher des triplets pythagoriciens
revient à chercher des triangles rectangles dont les côtés sont des nombres entiers. Le plus connu des tri- plets pythagoriciens est (3; 4; 5), connu depuis l"An- tiquité et utilisé par les architectes égyptiens pour tracer des angles droits. On utilise une corde à noeuds : sur une corde fermée, on place 12 noeuds régulièrement espacés. On peut ainsi reconstituer le triangle rectangle (3; 4; 5), et fa- briquer ainsi une équerre de poche pliable!2 Restriction de la recherche
2.1 Triplets irréductibles
Théorème 1 :Si (a;b;c) est un triplet pythagoricien alors, pour tout entier natureln, (na;nb;nc) est aussi un triplet pythagoricien. Démonstration :Immédiate, cela revient à multiplier l"égalité d"origine parn2 Remarque :(6; 8; 10) et (27; 36; 45) sont obtenus en multipliant (3; 4; 5) respec- tivement par 2 et 9. Ce sont donc des triplets pythagoriciens. Théorème 2 :Si deux des trois nombres composant un triplet pythagoricien ont un diviseur commund, alorsddivise aussi le troisième nombre. Démonstration :En effet, supposons quedsoit un diviseur commun àaetb: il existe alors deux entiers,a?etb?tels quea=da?etb=db?. Alorsc2=a2+b2=d2(a?2+b?2). Doncd2divisec2, et doncddivisec. Par un raisonnement similaire sidest un diviseur commun àaetc, oubetc, on montre queddivise respectivementboua.PAUL MILAN1TERMINALE MATHS EXPERTES
2 RESTRICTION DE LA RECHERCHE
Supposons queaetbsoient premiers entre eux, alorsaetcsont premiers entre eux. Sinon on pourrait trouver un diviseur commund?=1 àaetc, qui diviserait alorsb, ce qui est absurde puisqueaetbsont supposés être premiers entre eux. Théorème 3 :Tout triplet pythagoricien peut se ramener a un triplet pytha- goricien "réduit", oùa,betcsont premiers entre eux deux a deux. Il suffit même que deux d"entre-eux le soient. Remarque :On se limitera donc à l"étude des triplets pythagoriciens (a,b,c), aveca,betcpremiers entre eux deux à deux. Un tel triplet est appelétriplet irréductible.2.2 Étude de la parité
Soit (a,b,c) un triplet pythagoricien irréductible. Étudions d"abord la paritédea, betc. Ces trois nombres ne peuvent pas être tous pairs car ils sont premiers entre eux deux à deux. Pour la même raison, il ne peut pas y avoir deux nombres pairs (et unimpair) : cela est immédiat, puisquea,betcsont premiers entre eux deux à deux.Prouvons que les trois nombres ne peuvent pas être tous impairs :Siaetbsont impairs,a2etb2sont donc impairs, donca2+b2=c2est pair.
Donccest pair.
De même siaetcsont impairs,a2etc2sont impairs, doncb2=c2-a2est pair.Doncbest pair.
Conclusion : deux des nombres sont impairs, et le troisième pair.Prouvons quecest impair.
Supposons queaetbsoient impairs (et donccpair) : il existe donc deux entiers a ?etb?tels quea=2a?+1 etb=2b?+1. Alorsc2=a2+b2= (2a?+1)2+ (2b?+1)2=4(a?2+a?+b?2+b?) +2. Doncc2≡2 mod 4. Orcest pair et doncc2≡0 mod 4, ce qui est contradic- toire. Doncaetbsont de parités différentes, etcest impair. On appelle alorsble nombre pair, etaetcles nombres impairs. Conclusion :On étudie les triplets irréductibles (a,b,c). Ces trois nombres sont premiers deux à deux; si de plusaetcsont impairs etbest pair, on dira que le triplet estirréductible et rangé. Remarque :Cette façon de ranger les trois nombres d"un triplet, au détriment possible de leur ordre relatif, permet de "standardiser" les propriétés à venir : en particulier, nous noterons (15; 8; 17) plutôt que (8; 15; 17)).PAUL MILAN2TERMINALE MATHS EXPERTES
3 Détermination de tous les triplets irréductibles
Théorème 4 :Soita,betctrois nombres entiers. (a;b;c) est un triplet pytha- goricien irréductible rangési, et seulement si,il existe deux nombresuetvavec u>v, de parités différentes et premiers entre eux, tels que : a=u2-v2,b=2uv,c=u2+v2Démonstration :
Dans le sens direct. Soit donc (a;b;c) un triplet pythagoricien irréductible rangé. Dans un tel triplet,best pair : posons alorsb=2p. On a donc : c2-a2=4p2soit(c+a)(c-a) =4p2
aetcétant impairs,c+aetc-asont donc tous les deux pairs.Posons donc :
?c+a=2q c-a=2roùqetrsont des entiers naturels non nuls.De ces égalités, on tire :a=q-retc=q+r.
D"autre part,c2-a2= (c+a)(c-a) =4qr=4p2doncp2=qr.
Montrons queqetrsont des carrés d"entiers naturels.1) Tout d"abord, ils sont premiers entre eux. En effet, tout diviseurpremier
commun àqetrdiviserait leur sommeq+r=c, et leur différence q-r=aqui sont eux-mêmes premiers entre eux.2) Par conséquent, chaque diviseur premier dep2=qrne peut donc diviser
à la foisqetr; commep2est un carré, l"exposant de ce diviseur premier est pair dans celui des deux nombres où ce diviseur premier figure. Il en résulte queqetrsont effectivement des carrés d"entiers naturels, puisque chacun de leurs diviseurs premiers a un exposant pair. medskip Conclusion :On a doncq=u2etr=v2, d"oùa=u2-v2etc=u2+v2. d"autre part, on sait queb=2pavecp2=qr=u2v2, on a alorsb=2uv. Vérifions maintenant que les nombresuetvremplissent les conditions du théorème. Commea=q-r>0, on aq>rdoncu>v.uetvne sont pas de même parité sinonu2-v2=aserait pair, ce qui n"est pas le cas avec un triplet rangé. Commeqetrsont premiers entre eux, il en est de même deuetv. Réciproquement, avec les valeur proposées poura,betc, on a : a2+b2= (u2-v2)2+ (2uv)2=u4-2u2v2+v4+4u2v2
=u4+2u2v2+v4= (u2+v2)2=c2PAUL MILAN3TERMINALE MATHS EXPERTES
4 ALGORITHME : LISTE DES TRIPLETS PYTHAGORICIENS
Commeuetvsont de parité différente, il en est de même de leur carré, ce qui prouve queaetcsont bien impairs. Siaetcavaient un diviseur premier commun, ce diviseur diviserait a+c=2u2etc-a=2v2. Comme ce diviseur premier ne peut pas être 2 (aetcsont impairs), il diviseraitu2etv2et doncuetv, ce qui est impossible puisqueuetvsont premiers entre eux.4 Algorithme : liste des triplets pythagoriciens
permettantdedresseruneliste des triplets pythagoriciens jusqu"à une valeurndeu. Pour une valeur deu, on détermine les valeurs devpossibles, pour queuetvsoient de parités différentes et premiers entre eux. On détermine alors le triplet pythagoricien correspondant.On définit auparavant la fonction pgcd(a,b).
On trouve le tableau pour triplet(9)
uvabc 213453251213
4115817
4372425
52212029
5494041
61351237
6596061
72452853
74335665
76138485
81631665
83554873
85398089
8715112113
92773685
94657297
9817144145
defpgcd(a ,b) : r=a%b whiler !=0: a=b b=r r=a%b returnb deftriplet (n) :L1 =[]; L2 =[]; L3 =[]; L4 =[]; L5=[]
foruin range(2 ,n+1) : ifu%2==0: v=1 else: v=2 whilevL2 . append(v)
L3 . append(u??2-v??2)
L4 . append(2?u?v)
L5 . append(u??2+v??2)
v+=2 else: v+=2 returnL1 ,L2 ,L3 ,L4 , L5PAUL MILAN4TERMINALE MATHS EXPERTES
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