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DERNIÈRE IMPRESSION LE27 août 2020 à 17:02

Les triplets pythagoriciens

1 Définition

Définition 1 :On dit que trois nombresa,betcentiers naturels forment un triplet pythagoricien s"ils vérifient la relation :a2+b2=c2.

Remarque :Rechercher des triplets pythagoriciens

revient à chercher des triangles rectangles dont les côtés sont des nombres entiers. Le plus connu des tri- plets pythagoriciens est (3; 4; 5), connu depuis l"An- tiquité et utilisé par les architectes égyptiens pour tracer des angles droits. On utilise une corde à noeuds : sur une corde fermée, on place 12 noeuds régulièrement espacés. On peut ainsi reconstituer le triangle rectangle (3; 4; 5), et fa- briquer ainsi une équerre de poche pliable!

2 Restriction de la recherche

2.1 Triplets irréductibles

Théorème 1 :Si (a;b;c) est un triplet pythagoricien alors, pour tout entier natureln, (na;nb;nc) est aussi un triplet pythagoricien. Démonstration :Immédiate, cela revient à multiplier l"égalité d"origine parn2 Remarque :(6; 8; 10) et (27; 36; 45) sont obtenus en multipliant (3; 4; 5) respec- tivement par 2 et 9. Ce sont donc des triplets pythagoriciens. Théorème 2 :Si deux des trois nombres composant un triplet pythagoricien ont un diviseur commund, alorsddivise aussi le troisième nombre. Démonstration :En effet, supposons quedsoit un diviseur commun àaetb: il existe alors deux entiers,a?etb?tels quea=da?etb=db?. Alorsc2=a2+b2=d2(a?2+b?2). Doncd2divisec2, et doncddivisec. Par un raisonnement similaire sidest un diviseur commun àaetc, oubetc, on montre queddivise respectivementboua.

PAUL MILAN1TERMINALE MATHS EXPERTES

2 RESTRICTION DE LA RECHERCHE

Supposons queaetbsoient premiers entre eux, alorsaetcsont premiers entre eux. Sinon on pourrait trouver un diviseur commund?=1 àaetc, qui diviserait alorsb, ce qui est absurde puisqueaetbsont supposés être premiers entre eux. Théorème 3 :Tout triplet pythagoricien peut se ramener a un triplet pytha- goricien "réduit", oùa,betcsont premiers entre eux deux a deux. Il suffit même que deux d"entre-eux le soient. Remarque :On se limitera donc à l"étude des triplets pythagoriciens (a,b,c), aveca,betcpremiers entre eux deux à deux. Un tel triplet est appelétriplet irréductible.

2.2 Étude de la parité

Soit (a,b,c) un triplet pythagoricien irréductible. Étudions d"abord la paritédea, betc. •Ces trois nombres ne peuvent pas être tous pairs car ils sont premiers entre eux deux à deux. •Pour la même raison, il ne peut pas y avoir deux nombres pairs (et unimpair) : cela est immédiat, puisquea,betcsont premiers entre eux deux à deux.

•Prouvons que les trois nombres ne peuvent pas être tous impairs :Siaetbsont impairs,a2etb2sont donc impairs, donca2+b2=c2est pair.

Donccest pair.

De même siaetcsont impairs,a2etc2sont impairs, doncb2=c2-a2est pair.

Doncbest pair.

Conclusion : deux des nombres sont impairs, et le troisième pair.

•Prouvons quecest impair.

Supposons queaetbsoient impairs (et donccpair) : il existe donc deux entiers a ?etb?tels quea=2a?+1 etb=2b?+1. Alorsc2=a2+b2= (2a?+1)2+ (2b?+1)2=4(a?2+a?+b?2+b?) +2. Doncc2≡2 mod 4. Orcest pair et doncc2≡0 mod 4, ce qui est contradic- toire. Doncaetbsont de parités différentes, etcest impair. On appelle alorsble nombre pair, etaetcles nombres impairs. Conclusion :On étudie les triplets irréductibles (a,b,c). Ces trois nombres sont premiers deux à deux; si de plusaetcsont impairs etbest pair, on dira que le triplet estirréductible et rangé. Remarque :Cette façon de ranger les trois nombres d"un triplet, au détriment possible de leur ordre relatif, permet de "standardiser" les propriétés à venir : en particulier, nous noterons (15; 8; 17) plutôt que (8; 15; 17)).

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3 Détermination de tous les triplets irréductibles

Théorème 4 :Soita,betctrois nombres entiers. (a;b;c) est un triplet pytha- goricien irréductible rangési, et seulement si,il existe deux nombresuetvavec u>v, de parités différentes et premiers entre eux, tels que : a=u2-v2,b=2uv,c=u2+v2

Démonstration :

•Dans le sens direct. Soit donc (a;b;c) un triplet pythagoricien irréductible rangé. Dans un tel triplet,best pair : posons alorsb=2p. On a donc : c

2-a2=4p2soit(c+a)(c-a) =4p2

aetcétant impairs,c+aetc-asont donc tous les deux pairs.

Posons donc :

?c+a=2q c-a=2roùqetrsont des entiers naturels non nuls.

De ces égalités, on tire :a=q-retc=q+r.

D"autre part,c2-a2= (c+a)(c-a) =4qr=4p2doncp2=qr.

Montrons queqetrsont des carrés d"entiers naturels.

1) Tout d"abord, ils sont premiers entre eux. En effet, tout diviseurpremier

commun àqetrdiviserait leur sommeq+r=c, et leur différence q-r=aqui sont eux-mêmes premiers entre eux.

2) Par conséquent, chaque diviseur premier dep2=qrne peut donc diviser

à la foisqetr; commep2est un carré, l"exposant de ce diviseur premier est pair dans celui des deux nombres où ce diviseur premier figure. Il en résulte queqetrsont effectivement des carrés d"entiers naturels, puisque chacun de leurs diviseurs premiers a un exposant pair. medskip Conclusion :On a doncq=u2etr=v2, d"oùa=u2-v2etc=u2+v2. d"autre part, on sait queb=2pavecp2=qr=u2v2, on a alorsb=2uv. Vérifions maintenant que les nombresuetvremplissent les conditions du théorème. Commea=q-r>0, on aq>rdoncu>v.uetvne sont pas de même parité sinonu2-v2=aserait pair, ce qui n"est pas le cas avec un triplet rangé. Commeqetrsont premiers entre eux, il en est de même deuetv. •Réciproquement, avec les valeur proposées poura,betc, on a : a

2+b2= (u2-v2)2+ (2uv)2=u4-2u2v2+v4+4u2v2

=u4+2u2v2+v4= (u2+v2)2=c2

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4 ALGORITHME : LISTE DES TRIPLETS PYTHAGORICIENS

Commeuetvsont de parité différente, il en est de même de leur carré, ce qui prouve queaetcsont bien impairs. Siaetcavaient un diviseur premier commun, ce diviseur diviserait a+c=2u2etc-a=2v2. Comme ce diviseur premier ne peut pas être 2 (aetcsont impairs), il diviseraitu2etv2et doncuetv, ce qui est impossible puisqueuetvsont premiers entre eux.

4 Algorithme : liste des triplets pythagoriciens

permettantdedresseruneliste des triplets pythagoriciens jusqu"à une valeurndeu. Pour une valeur deu, on détermine les valeurs devpossibles, pour queuetvsoient de parités différentes et premiers entre eux. On détermine alors le triplet pythagoricien correspondant.

On définit auparavant la fonction pgcd(a,b).

On trouve le tableau pour triplet(9)

uvabc 21345

3251213

4115817

4372425

52212029

5494041

61351237

6596061

72452853

74335665

76138485

81631665

83554873

85398089

8715112113

92773685

94657297

9817144145

defpgcd(a ,b) : r=a%b whiler !=0: a=b b=r r=a%b returnb deftriplet (n) :

L1 =[]; L2 =[]; L3 =[]; L4 =[]; L5=[]

foruin range(2 ,n+1) : ifu%2==0: v=1 else: v=2 whilevL1 . append(u)

L2 . append(v)

L3 . append(u??2-v??2)

L4 . append(2?u?v)

L5 . append(u??2+v??2)

v+=2 else: v+=2 returnL1 ,L2 ,L3 ,L4 , L5

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