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THÈSEPour obtenir le grade deDOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE GRENOBLESpécialité :Mathématiques

Arrêté ministérial :

Présentée par

Nicolas Giroud

Thèse dirigée parSylvain Gravier

et codirigée parDenise Grenier préparée au seinde l'Institut Fourier et del'école doctorale MSTII

Étude de la démarche expérimen-

tale dans les situations de re- cherche pour la classe

à soutenir publiquement le28 octobre 2011,

devant le jury composé de :

Mme Viviane Durand-Guerrier

Professeur à l'Université de Montpellier 2, Rapporteur

M. Michel Rigo

Professeur à l'Université de Liège, Rapporteur

M. Frédéric Mouton

Maître de conférences à l'Université Joseph Fourier à Grenoble, Examinateur

M. Denis Tanguay

Professeur à l'Université du Québec à Montréal, Examinateur

M. Sylvain Gravier

Directeur de recherche à l'Institut Fourier à Grenoble, Directeur de thèse

Mme Denise Grenier

Maître de conférences à l'Univesité Joseph Fourier à Grenoble, Co-Directeur de thèse

Étude de la démarche expérimentale dans

les situations de recherche pour la classe

Ici, c"est Grenoble...

Remerciements

Je voudrais commencer par remercier les membres de l"institut Fourier, aussi bien le personnel administratif et technique que les enseignants, cher- cheurs et doctorants, pour m"avoir accueilli durant mes années de thèse ainsi que durant mes études antérieures. Je tiens à remercier mes directeurs de thèse, Sylvain Gravier et Denise Grenier, pour avoir accepté d"encadrer ce travail ainsi quepour leur dispo- nibilité et leur soutien durant ces années. Ce travail doit beaucoup à leurs idées et à la complémentarité de leurs apports. Je remercie Michel Rigo et Viviane Durand-Guerrier, qui ontaccepté d"être rapporteurs de cette thèse. Leurs lectures attentives et leurs remarques me seront précieuses. Merci à Frédéric Mouton et Denis Tanguay d"avoir accepté d"être examinateur lors de la soutenance. Je tiens aussi à remercier Michèle et Évelyne pour m"avoir laisser faire mes expérimentations dans leurs classes. Mes remerciements vont également à l"ensemble de Maths à Modeler, les discussions que j"ai pues avoir avec ses membres m"ont beaucoup ap- pris. Je tiens, en particulier, à remercier Charles dont le point de vue est toujours pertinent et original; Sylvain pour m"avoir permis d"aller dans des conférences parfois éloignées; Cécile, Éric, Julien, Léa et Paul avec qui nous avons essayé de faire un " putsch » qui a, malheureusement, échoué mais qui m"a permis d"apprendre beaucoup de choses; Michèle et Karine avec qui travailler est très sympa; Laurent pour m"avoir " converti »à Linux et enfin la nouvelle génération : Aline, Aline Mex, Élise, Marion, Simon et Ximena, pour les différentes discussions que nous avons pues avoir sur " les chefs » et l"aide qu"ils ont pue m"apporter. Merci également à Robert pour son soutien moral et technique. Merci aussi aux membres de l"IREM de Grenoble de m"avoir si bien acceuilli. Merci à Hervé et Simon d"avoir accepté que j"occupe une partie de mes journées à fouiner dans leur bureau. En particulier, soutenir en ce jour béni, date de naissance du grand "mamon», est une grande fierté pour moi. Merci aussi aux différents doctorants et post-docs de l"institut Fourier que j"ai pu cotôyer durant mes années de thèse, en particulier à Éléonora, Antoine, Bashar, Camille, Clélia, Damien, Delphine, Hernan, Jeff, Johanna, Jorge Marianne, Mathieu, Maxime, Mickaël, Nicolas, Olivier, Samuel, Syl- vain.... La bonne ambiance ainsi que la solidarité qui règneentre les thé- sards est à préserver. Je voudrai aussi remercier plus particulièrement certainsthésards, mes ex-voisins de bureau : Jean, Max et Vincent. Même s"ils m"ontcontaminé i iiREMERCIEMENTS avec la " loose » du 112, les nombreuses discussions absurdesainsi que les bières que nous avons partagées resteront de très bons moments. Par rapport aux services que Jean m"a rendu notamment lorsqu"il a guetté le " chef », jour et nuit, afin d"obtenir sa signature etlorsqu"il a servi d"interface entre l"école doctorale et moi, je lui dois ce paragraphe (et plus). Alors merci à lui d"avoir pris sur son temps pour accomplir, avec brio et sans bavures, les quêtes que je lui avais confiées (finalementtu n"auras pas à te servir de ton fusil à cartouches soporifiques...). Mes remerciements vont également à Aline Mex et Simon pour leur aide précieuse dans les tâches administratives de ma soutenanceet à Sébastien sans qui ce manuscript n"aurait pas de page de couverture. Passons maintenant aux personnes avec qui j"ai partagé un bureau, merci à Nico " le ouf » pour ses conseils et ses chansons et à Thomas pour ses conseils en décoration de bureau. Je voudrais aussi remercier spécialement Alvaro et Ximena qui sont de- venus plus que des co-bureaux et qui ont rendu ces années de thèse beaucoup plus sympas à passer! Enfin je voudrais remercier tous ceux qui se reconnaîtront dans cette phrase : " Il n"y a que Grenoble », vous voyez que j"ai quand même un peu travaillé durant ces 4 dernières années! Pour finir, je voudrais remercier ma famille pour m"avoir soutenue et en particulier ma mère qui m"a éduqué, poussé à être meilleur, hébergé et nourri durant toutes mes études (et elles ont été longues!),sans elle rien n"aurait été possible.

Sommaire

Remerciementsi

Table des figuresiii

Introductionxiii

Problématique et contexte1

partie 1. Un point de vue épistémologique et didactique sur la démarche expérimentale en mathématiques5 Chapitre I. Un point de vue épistémologique sur la démarche expérimentale7

Chapitre II. La notion de concept-problème 21

Chapitre III. Démarche expérimentale et conception sur un problème 39 Chapitre IV. Quelques différences entre les mathématiques et les sciences expérimentales. 65 Chapitre V. Travaux didactiques autour de la démarche expérimentale 67 Chapitre VI. Les élèves pratiquent-ils la démarche expérimentale? 77

Chapitre VII. Jeu du set105

partie 2. Construction d"un milieu et hypothèses de recherche115 Chapitre VIII. Hypothèses de recherche et de travail 117 Chapitre IX. Éléments constitutifs d"un milieu pour la démarche expérimentale119 partie 3. Analyse deChercher la frontière129

Chapitre X. Analyse mathématique 131

Chapitre XI. Analyse didactique deChercher la frontière199 Chapitre XII. Première situation expérimentale 235 Chapitre XIII. Analyses de la première expérimentation 289 Chapitre XIV. Deuxième situation expérimentale 317 Chapitre XV. Analyse de la deuxième situation expérimentale 337 iii ivSOMMAIRE Chapitre XVI. Conclusion sur les situations expérimentales 347

Conclusion et perspectives de recherche 353

Annexe A. Convexité de Chercher la Frontière 361 Annexe B. Chercher la frontière sur des convexes 375 Annexe C. Fiche descriptive de la première expérimentation413 Annexe D. Fiche descriptive de la deuxième expérimentation419 Annexe E. Transcription de la première expérimentation 425 Annexe F. Transcription de la seconde expérimentation 509

Bibliographie565

Index571

Index571

Table des figures

.1 Extrait du programme de première S de 2002.. . . . . . . . . xii I.1 Exemple de stratégie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I.2 Configuration produite avec la stratégie du cavalier. . .. . . 11 I.3 Une configuration pour un cercle extérieur composé de 3 couleurs. 14 I.4 Une solution avec un cercle extérieur composé de 4 couleurs. 14 I.5 Une solution avec un cercle extérieur composé de 6 couleurs. . 15 I.6 Schéma récapitulatif.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 II.1 Une solution localement maximale. . . . . . . . . . . . . . . 23 II.2 Une carte de coordonnée (1,0,2). . . . . . . . . . . . . . . . 23 II.3 Une représentation géométrique des cartes. . . . . . . . . .. 24 II.4 Représentation par recouvrement. . . . . . . . . . . . . . . . 24 II.5Prec?Pcb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 II.6Pcb?Prec. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 II.7 Bijection entre les solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 II.8 Une conception sur la chasse à la bête. . . . . . . . . . . . . 30 II.9 Carré de côté 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.10 Carré de côté 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.11 Un jardin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 III.1 Une solution admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 III.2 Stratégie de vérification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 III.3 Une solution admissible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 III.4 Technique de maximalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 III.5 Une solution admissible de cardinal 12. . . . . . . . . . . . .42 III.6 Meilleure configuration obtenue avec la stratégie ligne. . . . . 42 III.7 Les diagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 III.8 Les diagonales coins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 III.9 Une solution générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 III.10 Bande de 2 avec 2 colonnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 III.11 Bande de 2 avec 4 colonnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 III.12 Bande de 2 avec 5 colonnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 III.13 Bande de 2 avec 7 colonnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 III.14 Cas à résoudre.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 III.15 En utilisant le résultat de la bande à 7. . . . . . . . . . . . .49 III.16 Cas à résoudre.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 v vi TABLE DES FIGURESIII.17 En utilisant le résultat de la bande à 8. . . . . . . . . . . . .49 III.18 Cas 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 III.19 Cas 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 III.20 Une solution avec un cercle extérieur composé de 4 couleurs. . 54 III.21 Une solution avec un cercle extérieur composé de 6 couleurs. . 55 III.22 Teste de la technique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 III.23x0etxkdoivent faire face à la même séquence de couleur. . . 56 III.24 Première étape.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 III.25 Seconde étape. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 III.26 Résultat final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 III.27 Une solution où les couleurs internes ne sont pas diamétrale- ment opposées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 III.28 Représentation générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 III.29 Les 3 configurations possibles pour la ligne de longueur 2. . . 61 III.30 Une grille 4-connexes ne vérifiant pas la conditionH.. . . . . 63 III.31 Un contre-exemple.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 V.1 Schéma de la phase pré-conjecture deDahan. . . . . . . . . 74 V.2 Schéma de la phase post-conjecture deDahan. . . . . . . . . 74 VI.1 Un exercice de type B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 VI.2 Un exercice de type C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 VI.3 Exercice du type A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 VI.4 Un exercice qui commence par des observations. . . . . . . .90 VI.5 Comment se servir de sa calculatrice. . . . . . . . . . . . . . 91quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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