VARIATIONS DUNE FONCTION
On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction décroissante renverse l'ordre. Exercice : Déterminer les variations d'une fonction. Vidéo
Fonctions 2-variations
Lorsque le sens de variations d'une fonction est donné par une phrase ou un tableau de variation comparer les images de 2 nombres d'un intervalle.
2020 Variations des Fonctions 2nde Soit f une fonction définie sur
Les variations d'une fonction sont souvent faciles à lire sur la représentation graphique. Elles peuvent aussi être démontrées par un calcul. Exemple 3 : 1.
VARIATIONS DES FONCTIONS
ETUDE QUALITATIVE DES FONCTIONS. I. Variations d'une fonction numérique sur un intervalle: 1) Sens de variation : a) Fonction croissante sur un intervalle :.
Fonctions de référence
Une série de tableaux de variations à connaître pour certaines fonctions usuelles : fonctions affines carré
Variations de fonctions associées
Variations de fonctions associées. I. Rappels : 1. Sens de variations : a. Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
FONCTIONS COSINUS ET SINUS
Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2? . Conséquence : Pour tracer la courbe représentative de la fonction cosinus
Seconde Cours : Sens de variation et fonctions affines
Etudier les variations d'une fonction c'est indiquer les plus grands intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante. On résume ces
FONCTIONS DE REFERENCE
- Dans un repère orthogonal la courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport au centre du repère. Méthode : Etudier le sens de variation d'une
Seconde Cours : variations de fonctions
Cours : variations de fonctions. 1. I. Sens de variation et extremums a) Sens de variation. Fonction croissante. La fonction f est croissante sur
Seconde Cours : variations de fonctions
1I. Sens de variation et extremums
a) Sens de variationFonction croissante
La fonction f est croissante sur l"intervalle I signifie que sur l"intervalle I, si les valeurs de la variable x augmentent, alors les images f(x) augmentent aussi.Pour tout x1 £ x2
Alors f(x
1) £ f(x2)
Autrement dit, une fonction croissante conserve l"ordreFonction décroissante
La fonction f est décroissante sur l"intervalle I signifie que sur l"intervalle I, si les valeurs de la variable x augmentent, alors les images f(x) diminuent.Pour tout x1 £ x2
Alors f(x
1) ³ f(x2)
Autrement dit, une fonction décroissante change l"ordre.Remarque:
On dira d"une fonction qui prend toujours la même valeur qu"elle est constante.Seconde Cours : variations de fonctions
2 b) ExtremumMaximum
Sur un ensemble
D, le maximum est l"image f(x) la plus grande atteinte.Pour tout x de D f(x) £ Max
Graphiquement : le maximum est l"ordonnée du point le plus haut de la courbe C.Minimum
Sur un ensemble
D, le minimum est l"image f(x) la plus petite atteinte.Pour tout x de D f(x) ³Min
Graphiquement : le minimum est l"ordonnée du point le plus bas de la courbe C.Seconde Cours : variations de fonctions
3 b) Tableau de variation Etudier les variations d"une fonction, c"est indiquer les plus grands intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante. On résume ces propriétés dans un tableau de variation.Exemple
La fonction f représentée ci-contre est décroissante sur [-3 ;-1], croissante sur [-1 ;2] et décroissante sur [2 ;5].II Résolution graphique d"inéquations
Cf et Cg sont les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère.Inéquation f(x) > k (avec k réel)
Les solutions sont les abscisses des points de C
f situés au-dessus de la droite d"équation y = k. Inéquation f(x) > g(x)Les solutions sont les abscisses des points de C
f situés au-dessus de la courbe Cg.Seconde Cours : variations de fonctions
4III Fonctions affines
a) Sens de variation d"une fonction affinePropriété :
Si a est positif, la fonction affine x ax + b est croissante sur Y. Si a est négatif, la fonction affine x ax + b est décroissante sur Y.Démonstration
Soit x
1 et x2 deux réels quelconques tels que x1 < x2
Si a ≥ 0, lorsque qu"on multiplie chaque membre d"une inégalité par un nombre positif, l"inégalité obtenue a le même sens.Donc a x
En ajoutant b à chaque membre, on obtient a x
Donc la fonction affine est croissante sur Y.
Exemples :
La fonction x 3x+5
7 est une fonction affine croissante sur Y car a = 3 7 est positif.La fonction x 7 - 8x est une fonction affine décroissante sur Y car a = -8 est négatif.
b) Caractérisation des fonctions affinesPropriété
f est une fonction affine, si et seulement si :L"accroissement
Dy de l"image est proportionnel à l"accroissement Dx de la variable. Autrement dit, x1 et x2 étant deux réels distincts, et f(x1) et f(x2) leurs images : DyDx= f(x2)-f(x1)
x2-x1 = a
Démonstration :
· Si f est une fonction affine, alors f(x) = ax + b Dy = f(x2) - f(x1) = (ax2+b) - (ax1+b) = a(x2-x1) = a Dx Ainsi, pour tous réels distincts x1 et x2, on obtient DyDx = a
Réciproquement, soit f est une fonction telle que, pour 2 réels distincts x1 et x2, on a f(x2)-f(x1)
x2-x1 = a.
En particulier, pour tout réel x et le réel 0, d"image f(0) = b, on obtient :Seconde Cours : variations de fonctions
5 f(x) - f(0) = a(x - 0)Soit f(x) = ax + b
Ainsi la fonction f est affine.
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