[PDF] Fonctions de plusieurs variables & géométrie analytique

View - Download Fonctions de plusieurs variables & géométrie analytique

Previous PDF

Next PDF

Analyse

Fonctions

de plusieurs variables & géométrie analytique • Cours complet • f de 1 OO exercices • Tous les corrigés détaillés 'luibert

Bruno Aebischer

Analyse

Fonctions

de plusieurs variables & géométrie analytique

Cours & exercices corrigés

LICENCE 2

MATHÉMATIQUES

Du même auteur chez le même éditeur

Introduction à l'analyse. Cours et exercices corrigés. Licence 1, 288 pages.

Géométrie. Géométrie affine, géométrie euclidienne & introduction à la géométrie projective.

Cours et exercices corrigés. Licence 3, 288 pages environ. et des dizaines d'autres livres de référence, d'étude ou de culture : mathématiques, informatique et autres spécialités scientifiques www.vuibert.fr En couverture: Escalier en double spirale de Giuseppe Momo, Vatican.

© Sylvain Sonnet/Corbis

Maquette intérieure: Sébastien Mengin/Edilibre.net

Composition et mise en page de l'auteur

Couverture:

Linda Skoropad/Prescricom

ISBN 978-2-311-00275-1

Registre de

l'éditeur: 581

La foi du 11 mars 1957 n'autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, d'une part, que les " copies ou reproductions

strictement

réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective» et, d'autre part, que les analyses et les

courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le

consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite» (alinéa 7n de l'article 40). Cette représentation ou

reproduction, par

quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du

Code pénal. Des photocopies payantes peuvent étre réalisées avec l'accord de l'éditeur. S'adresser au Centre français d'exploitation du

droit de copie: 20 rue des Grands Augustins, F-75006 Paris. Tél.: 014407 47 70 © Vuibert -août 2011 -5, allée de la 2• DB 75015 Paris

À Anne-Marie

Table des matières

Avant-propos

1 Notions de topologie dans IR.n

1.1 Introduction générale .

1.2 Qu'est-ce que

IR.n? . . . . . .

1.3 Normes dans IR.n ...... .

1.4 Ouverts, fermés, bornés, voisinages dans IR.n

1.5 Suites de IR.n . . . . . . . .

1.6 Vocabulaire de topologie .

1. 7 Exercices . . . . . . . . .

2 Fonctions vectorielles. Courbes paramétrées.

2.1 Introduction .................. .

2.2 Différents points de vue

2.3 Limite, continuité, dérivabilité des fonctions vectorielles

2.4 Étude des courbes paramétrées

du plan

2.5 Étude des points stationnaires .

2.6 Exercices

3 Fonctions de JR.P vers IR.n

3.1 Introduction . . . . . .

vii 1 1 2 3 10 17 23
25
29
29
29
31
35
54
60
63
63
3.2 3.3 3.4 3.5

3.6 Limites des fonctions de

JR.P vers IR.n 63

Limites et fonctions coordonnées . . 69

Étude pratique des limites de fonctions réelles de plusieurs variables 76 Dérivation partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Extrema des fonctions de plusieurs variables . . . . .

3. 7 Différentiabilité d'une fonction de plusieurs variables

3.8 Différentiation des fonctions de

JR.P vers IR.n

3.9 Opérateurs différentiels

3.10 Exercices .................. .

109
117
132
148
156

VI TABLE DES MATIÈRES

4 Intégrale curviligne. Longueur d'une courbe 163

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . 163

4.2 Intégrale d'une fonction vectorielle 165

4.3 Arcs paramétrés orientés . . . . . . 168

4.4 Intégrale curviligne . . . . . . . . . 1

76

4.5 Propriétés de l'intégrale curviligne 180

4.6 Étude d'exemples . . . . . . . . . . 185

4. 7 Utilisation des intégrales curvilignes pour des calculs d'aires 190

4.8 Quelques propriétés métriques des arcs . 195

4.9 Exercices .

208

5 Calculs d'intégrales doubles, triples et de surface 211

5.1 Introduction . . . . 211

5.2 Intégrale double . . . . 216

5.3 Intégrales triples . . . 230

5.4 Intégrales de surface . 236

5.5 Exercices . . . . . . . 257

Indications pour la résolution des exercices 263

Solutions des exercices 291

1. Solutions des exercices sur la topologie dans !Rn ........... 291

2. Solutions des exercices sur fonctions vectorielles et courbes para-

métrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

3. Solutions des exercices sur les fonctions de JRP vers !Rn . . . . . . . 330

4. Solutions des exercices sur l'intégrale curviligne . . . . . . . . . . . 383

5. Solutions des exercices sur intégrales doubles, triples et de surface . 397

Avant-propos

C ET OUVRAGE est destiné à tous les étudiants qui peuvent avoir besoin d'étudier les fonctions de plusieurs variables, les courbes paramétrées, les intégrales doubles ou triples, curvilignes ou de surface, et les opérateurs différentiels.

Bien sûr, les

étudiants en deuxième année de licence de mathématiques sont les premiers concernés, mais il ne fait aucun doute qu'un étudiant scientifique curieux d'avoir des explications rigoureuses sur les outils qu'il est obligé de manipuler quotidiennement, pourra lui aussi être intéressé par le contenu de ce manuel.

Les candidats

aux concours de l'enseignement (CAPES et Agrégation de mathé matiques), quant à eux, doivent avoir vu et compris les notions développées dans cet ouvrage, qui leur sera donc d'un grand secours. La particularité de cet ouvrage est qu'il essaie de ne jamais faire de raccourci et que tous les raisonnements sont parfaitement détaillés. Il apparaît ainsi comme un outil idéal pour tout étudiant isolé qui voudrait acquérir, comprendre et dominer par lui-même toutes les notions abordées.

Dans ce manuel, on

trouvera d'abord 5 chapitres de cours très détaillés, rédigés dans un style clair et accessible :

1. un chapitre sur l'introduction à la topologie de IR.n dans lequel sont présentés

tout le vocabulaire de topologie utile dans cet ouvrage ainsi que l'étude générale de la topologie ;

2. un chapitre sur les études des courbes paramétrées (ou fonctions vectorielles)

qui expose de manière exhaustive toutes les particularités classiques de ce type de courbes ;

3. un gros chapitre sur les fonctions de plusieurs variables (de JR.P vers IR.n)

qui constitue le coeur de cet ouvrage et dans lequel sont introduites les notions de continuité, de limites, de dérivées partielles, de différentiabilité pour toutes ces fonctions et étudiés les opérateurs différentiels classiques ;

4. un chapitre sur les intégrales curvilignes qui propose une introduction

rigoureuse de la notion d'arc paramétré, avant d'étudier différents aspects possibles de l'intégration sur un arc paramétré, de l'intégration d'une forme différentielle ou d'un champ de vecteurs, mais aussi l'intégration d'une

VIII AVANT-PROPOS

fonction scalaire, avec le calcul de la longueur d'une courbe. On y montre également comment utiliser l'intégrale curviligne pour calculer des aires ;

5. un dernier chapitre traite des différents aspects des intégrales multiples,

dans lequel toutes les démonstrations ne sont pas faites. Cependant,

à partir

de quelques propriétés admises, tous les résultats utiles pour calculer les intégrales doubles et triples, et faire des calculs d'aires ou de volumes, sont prouvés. Il s'agit ensuite de s'intéresser aux intégrales de surface et, après une introduction rapide de la notion de nappe paramétrée (introduction aux variétés différentiables), les calculs de flux d'un champ de vecteurs, d'aire d'une nappe, et d'intégrale d'une fonction scalaire sur une nappe sont expliqués. Enfin, le chapitre se termine sur les grands théorèmes liant les intégrales multiples entre elles : Green-Riemann, Ampère-Stokes, Ostrograd ski, avec pour chacun de ces théorèmes une démonstration élémentaire et convaincante. À la fin de chaque chapitre, est proposée une liste d'exercices dont la difficulté est très progressive. Pour chaque exercice, on trouve d'abord des "indications » pour les résolutions, puis un corrigé détaillé, regroupés dans deux chapitres distincts, situés en fin d'ouvrage. Le lecteur est invité à commencer par essayer de résoudre seul les exercices proposés, et à ne consulter les indications que s'il ne voit pas comment commencer. Enfin, il pourra vérifier sa solution en la comparant avec celle de l'ouvrage, qui est toujours très détaillée et dont la rédaction se veut pouvoir servir de modèle. C'est à partir d'un cours par correspondance qui a fait la preuve de son efficacité avec des générations d'étudiants, que ce livre a été réalisé.

Nous souhaitons une bonne réussite

à tous nos lecteurs.

CHAPITRE 1

Notions de topologie dans :!Rn

1.1 Introduction générale

La notion la plus utilisée en analyse mathématique a longtemps été tout simplement la notion de nombre réel. Pour apprécier la proximité de deux nombres réels a et b, on utilise la valeur absolue la -bl, qui mesure la distance entre ces deux nombres. Cette notion de proximité des nombres est essentielle pour toutes les questions d'analyse. Elle sert pour : • le calcul de l'erreur dans un calcul approché; • la définition de la limite d'une fonction f : lf(x) -RI doit pouvoir devenir arbitrairement petit lorsque lx -xol est petit; • la définition de la continuité d'une fonction f : = lf(x + -f(x)I doit

être aussi petit qu'on le désire

à condition que soit suffisamment petit;

• la définition de la dérivabilité d'une fonction f en x : 1 -J'(x)I doit tendre vers zéro lorsque --+ 0 ; Une première généralisation de cette notion est classiquement faite à l'ensemble Cet outil est la norme.

2 CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS !Rn

1.2 Qu'est-ce que

1.2.1 Définition abstraite

Mathématiquement,

n étant dans tout ce chapitre un entier non nul (et si possible au moins égal à 2) on définit lîn comme le produit cartésien de lî par lui-même n fois : lîn est l'ensemble des n-uples de réels. Par exemple, lî 2 est l'ensemble des couples de réels, Jî 3 l'ensemble des triplets ... Un n-uple est une suite ordonnée den éléments, à ne pas confondre avec l'ensemble {x1, x2, ... , Xn}· Par exemple, on doit distinguer un couple (a, b) de la paire de ses

éléments

{a, b}, car (a, b) =/= (b, a) alors que {a, b} et { b, a} sont deux ensembles

égaux.

Pour X E lîn, on appelle x1, x2, ... , Xn les composantes de X.

1.2.2 Structure de lî-espace vectoriel

On munit :lîn d'une structure d'espace vectoriel sur lî, en définissant la somme de deux n-uples de réels et le produit d'un nombre réel (un scalaire) par un n-uple de réels : pour X et Y deux éléments quelconques de :lîn, de composantes respectives (x1,x2, ... ,xn) et (y1,y2, ... ,yn), et pour À un scalaire quelconque, on pose

X+ Y= (x1 +Yi. X2 + Y2, · · ·, Xn + Yn)

Il est classique que ces deux opérations confèrent à lîn une structure d'espace vectoriel. On notera OJRn = (0, 0, ... , 0) le vecteur nul de :lîn et parfois simplement 0 ou O. Les n vecteurs ei = (1, 0, ... , 0), e2 = (0, 1, 0, ... , 0), ... , en= (0, ... , 0, 1) forment une base de :lîn appelée base canonique.

1.2.3 Universalité de ce point de vue

Soit E un lî-espace vectoriel de dimension n. Il existe donc une base B de E

possédant n éléments. Alors tout élément x de E est caractérisé par ses coordonnées

(x1,x2, ... ,xn) dans la base B. Ces coordonnées sont en fait un élément de :lîn. Ce procédé définit un isomorphisme entre un espace vectoriel de dimension n et :lîn qui est en fait le modèle des espaces vectoriels de dimension n. De même, l'ensemble des points du plan [de l'espace] peut être modélisé à l'aide de Jî 2 [de Jî 3] : dès qu'on a fixé un repère (O,i,J) [(O,i,J,k)], tout point est caractérisé par le couple [le triplet] de ses coordonnées qui est un élément de Jî 2 [de Jî 3 ]. Par analogie, on appellera souvent "points» des éléments de :lîn, alors

1.3 NORMES DANS !Rn 3

que le terme "vecteur» serait plus correct. Il faut accepter ces d'abus de langage en gardant un esprit tolérant.

De la même façon, l'ensemble

C des nombres complexes peut aussi être modélisé comme l'ensemble chaque complexez= x + iy étant associé au couple (x, y) de JR. 2.

1.2.4 Notation

En général, on note en ligne les éléments de JR.n, c'est-à-dire, qu'on écrit, pour un vecteur X de JR.n, X= (x1, x2, ... , Xn)· Mais dans certaines situations, il est plus pratique d'utiliser une notation de vecteur-colonne : en particulier en algèbre linéaire, lorsqu'on doit multiplier par une matrice un élément de JR.n, il vaudra mieux noter X= (J:J, la base canonique étant dans ce cas formée des vecteUT'3 1 0 0 0 0 0 , ... ,en= 0 1 . Nous serons amenés à utiliser ce type de notation lorsqu'on manipulera les matrices jacobiennes.

1.3 Normes dans Rn

1.3.1 Définition

Définition 1.1 Soit (E, +,.)un JR.-espace vectoriel, on appelle norme sur E toute application

N de E dans JR.+ telle que :

(i) VX E E, N(X) = 0 -Ç:::::::? X= ÜE; (ii) V>. E lR. VX E E N(>.X) = l>.IN(X); (iii) VX E E VY E E N(X +Y) ::::; N(X) + N(Y); (cette dernière propriété est connue sous le nom d'inégalité triangulaire).

1.3.2 Propriétés immédiates

Proposition 1.2 Pour établir qu'une application N définie sur un JR.-espace vectoriel E est une norme, il suffit d'établir que N est à valeurs dans JR.+ (c'est-à dire que

N(X) 0 VX E E) et

(i)' VX E E, N(X) = 0 ===>X= ÜE; (ii) V>. E lR. VX E E N(>.X) = l>.IN(X); (iii) VX E E VY E E N(X +Y)::::; N(X) + N(Y).

4 CHAPITRE 1. NOTIONS DE TOPOLOGIE DANS Rn

Preuve La seule différence avec la définition étant le remplacement dans (i) de {::::::::} par ==>, pour. établir cette proposition, il suffit de remarquer que (ii)==> N(OE) = 0 En effet, on a N(OE) = N(O.OE) = IOIN(OE) = 0 en utilisant (ii). D Proposition 1.3 Si N est une norme sur E, alors pour tous X et Y de E, on a (ii)'

N(-X) = N(X);

(ii)" N(X -Y)= N(Y -X); (iii)' N(X -N(X) + N(Y). Preuve Pour (ii)', il suffit de remarquer que -X= (-l)X et d'utiliser (ii) :

N(-X) = N((-l)X) = 1-llN(X) = N(X).

Pour (ii)", on applique (ii)' à Y -X= -(X -Y).

Puis pour (iii)', on écrit X -Y = X + (-Y) et on applique (iii) puis (ii)' :

N(X -Y)= N(X +(-Y)) N(X) + N(-Y) = N(X) + N(Y)

Proposition 1.4 (Deuxième inégalité triangulaire) Si N est une norme sur un espace vectoriel E, alors on a : (iv) \::/XE E \::/Y E E IN(X) -N(Y)I N(X +Y) et (iv)' \::/XE E \::/Y E E IN(X) -N(Y)I N(X -Y) Preuve En écrivant X= (X+ Y) -Y, et en utilisant (iii)', on a D N(X) = N((X+Y)-Y) N(X+Y)+N(Y) donc N(X)-N(Y) N(X+Y) de même en échangeant le rôle de X et Y, on obtient

N(Y) = N((Y +X) -X) N(Y +X)+ N(X)

donc N(Y) -N(X) N(Y +X) = N(X +Y) En remarquant que pour tout réel A, on a IAI = max(A, -A), et puisque l'opposé de A= N(X) -N(Y) est -A= N(Y) -N(X), puisque ces deux nombres sont tous deux inférieurs ou égaux à N(X +Y), le plus grand des deux est aussi majoré par ce nombre, c'est-à-dire qu'on a IN(X) -N(Y)I =max( N(X) -N(Y), N(Y) -N(X)) N(X +Y) (iv)' se démontre comme (iii)', en utilisant (ii)' et (iv). D

1.3 NORMES DANS ]Rn

1.3.3 Les normes usuelles de ]Rn

La Norme Euclidienne

Pour tout (x1,x2, ... ,x.) ER•, on pose N,(X) llXll2 ~~x1.

Proposition 1.5 N2 est une norme sur ]Rn

5 Preuve La démonstration des points (i)' et (ii) ne pose aucune difficulté. Pour montrer l'inégalité triangulaire, on élève au carré puis on simplifie :

N2(X +Y) N2(X) + N2(Y)

iJxi + Yi) 2) ~ (txr) + (tyr) i=l i=l i=l n n (n )~ n ~ ~x;+2 ~x; ~YT + Cette dernière inégalité est donc équivalente à l'inégalité triangulaire Or, cette dernière inégalité est vraie, car, comme nous allons le voir, c'est une conséquence du

§ qui suit.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz

quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] exo7 fonction a plusieurs variables cours

[PDF] continuité d'une fonction ? deux variables exercices corrigés

[PDF] exercice dérivée partielle corrigé

[PDF] multiple et diviseur 4eme controle

[PDF] detection de contours traitement d'image

[PDF] filtre moyenneur traitement dimage

[PDF] filtre gaussien matlab traitement d'image

[PDF] moteur de recherche internet

[PDF] moteur de recherche francais

[PDF] francis ponge le parti pris des choses pdf

[PDF] les moteurs de recherche les plus utilisés

[PDF] francis ponge mouvement

[PDF] moteur de recherche définition

[PDF] francis ponge biographie

[PDF] moteurs de recherche gratuits