[PDF] L2 - cursus prépa Fiche de cours : Suites de fonctions (du 20/01/15

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L2 - cursus pr´epaFiche de cours :Suites de fonctions(du 20/01/15 au 23/01/15)

On s"int´eresse `a des fonctions d"une variable r´eelle `a valeurs dansK=RouC.Dd´esigne une partie

non vide deR.

D´efinition 1

On appelle suite de fonctions deDversKtoute suite(fn)n?N(ou(fn)n≥n0avecn0?N)v´erifiant pour toutn,fn:D?R-→K.

D´efinition 2

On dit que la suite de fonctions(fn)n?Nconverge simplementsurA?Dversf:A-→Ksi pour toutx?A, la suite num´erique(fn(x))nconverge versf(x), c"est-`a-dire ?x?A, fn(x)-→n→+∞f(x) ce qui s"´ecrit encore

D´efinition 3

Si(fn)nconverge simplement surAversf, on dit quefest lalimite simplesurAde la suite(fn).

Proposition 4

Soit(fn)n?Nune suite de fonctions `a valeurs r´eelles convergeant simplement versfsurA?Dversf.

1. Sifnest positive surApour toutn?N, alorsfest positive surA.

2. Sifnest croissante surApour toutn?N, alorsfest croissante surA.

3. Si pour toutn?N,fnest convexe sur un intervalleI?A, alorsfest convexe surI.

D´efinition 5

Soit(fn)n?Nune suite de fonctions deDversK. On dit que(fn)n?Nconverge uniform´ementsur

A?Dversf:A-→Ksi

Th´eor`eme 6

Soient(fn)nune suite de fonctions deDversKetA?D. On a ´equivalence entre :

1.(fn)nconverge uniform´ement surAvers une fonctionf:A-→K,

2. il existeN0?Ntel que, pour toutn≥N0, la fonctionfn-fest born´ee, et

?fn-f?∞,A= sup x?A|fn(x)-f(x)| -→n→+∞n≥N00. Th´eor`eme 7 (Convergence uniforme implique convergence simple) Soient(fn)nune suite de fonctions deDversKetA?D. Si(fn)nconverge uniform´ement versfsur

A, alors elle converge simplement versfsurA.

Techniques d"´etude de la convergence uniforme d"une suitede fonctions(fn)nsurA?D

1. On commence par ´etudier la convergence simple surAde la suite de fonctions (fn)n?Nafin de

d´eterminer un candidatfpour la limite uniforme. S"il n"y a pas convergence simple, il n"y aura en

particulier pas convergence uniforme. 1

2. Premi`ere m´ethode : Pournfix´e, on ´etudie les variations de la fonctionfn-fsurAafin de d´eterminer

le sup et l"inf de la fonction (qui peuvent ˆetre infinis).

•S"il n"est pas possible de trouver un rangN0`a partir duquelfn-fest born´ee surA, il n"y a pas

convergence uniforme.

•Sifn-fest born´ee (au moins `a partir d"un certain rangN0), l"´etude de variation donne le calcul

explicite de?fn-f?∞,A= sup x?A|fn(x)-f(x)|(en n"oubliant pas de remettre la valeur absolue...) : on a alors (fn)nconverge uniform´ement surAsi et seulement si?fn-f?∞,Atend vers 0 lorsque n→+∞.

3. Deuxi`eme m´ethode :

•Si on pense qu"il y a convergence uniforme surA: on essaie de majorer la quantit´e|fn(x)-f(x)|par quelque choseind´ependant dexqui tend vers 0. Si on arrive `a trouver une suite r´eelle (αn)ntelle que alors puisque le sup est le plus petit des majorants, on obtient et on conclut `a l"aide du th´eor`eme des gendarmes.

•Si on pense qu"il n"y a pas convergence uniforme :on cherche une suite (xn)nd"´el´ements deAtelle que|fn(xn)-f(xn)|ne tende pas vers z´ero.

Alors comme chaquexn?A, on a

?n?N,?fn-f?∞,A≥ |fn(xn)-f(xn)| ?-→ n→+∞0 ce qui montre que (fn)nne converge pas uniform´ement surA.

Proposition 8 (Crit`ere de Cauchy uniforme)

Une suite de fonctions(fn)n?NdeDversKconverge uniform´ement surA?Dsi et seulement si i.e.

D´emonstration:

•"?" : Supposons que la suite de fonctions (fn)nconverge uniform´ement surA, alors il existe une

fonctionf:A-→Ktelle que

Soitε >0 fix´e, alors il existeN?Ntel que

2 Ainsi, pour tous entiersp,qtels quep≥q≥N, pour toutx?A, on a 2 L2 - cursus pr´epaFiche de cours :Suites de fonctions(du 20/01/15 au 23/01/15)

•"?" : Supposons que la suite de fonctions (fn)nv´erifie le crit`ere de Cauchy uniforme. Soitx?A,

donc elle converge vers un ´el´ement not´ef(x). Par suite, (fn)nconverge simplement surAvers la

fonctionf. Soitε >0. Il existeN?Ntel que pour toutx?A, pour tousp,q?N,

Soitq≥N, on a alors

ce qui donne en faisant tendrepvers +∞, par convergence simple de (fn)net continuit´e de la valeur

absolue et d´emontre la convergence uniforme de (fn)nversf.

Proposition 9

Si pour toutn,fnest born´ee surA, et la suite de fonctions(fn)nconverge uniform´ement versfsur

A, alorsfest born´ee surA.

Th´eor`eme 10

Soita?A. Si(fn)nconverge uniform´ement versf:A-→KsurA, et pour toutn?N,fnest continue ena, alorsfest continue ena.

Corollaire 11

Si(fn)nconverge uniform´ement versfsurA, et pour toutn?N, la fonctionfnest continue surA, alorsfest continue surA. Th´eor`eme 12 (Th´eor`eme de la double limite)

Soitaun point adh´erent `aA(oua= +∞siAn"est pas major´e,a=-∞siAn"est pas minor´e).

1. Si(fn)nconverge uniform´ement versf:A-→KsurA,

2. si pour toutn≥N0, la fonctionfnadmet une limite?nfinie ena,

alors la suite num´erique(?n)n≥N0converge vers??K, la fonctionfa une limite ena, et ces deux limites sont ´egales : lim x→alimn→+∞fn(x) = limn→+∞limx→afn(x).

D´emonstration:

•Commen¸cons par montrer que la suite (?n)nest de Cauchy. Puisque (fn)nconverge uniform´ement

versfsurA, elle v´erifie le crit`ere de Cauchy uniforme : soitε >0, il existeN?Ntel que

En fixantp≥q≥N, puis en faisant tendrexversa, on obtient par continuit´e de la valeur absolue :

converge vers un certain??K. •Montrons maintenant quef(x)-→x→a?. Pour toutx?A, on a 3

Soitε >0, il existeN?Ntel que

De mˆeme, il existeN??Ntel que

Ainsi, pour toutn= max(N,N?), on a

Exploitons le fait quefn(x)-→x→a?n. Sia?R, alors il existeη >0 tel que ce qui entraˆıne

et d´emontre l"existence de la limite defenaet l"´egalit´e voulue. Sia= +∞, il existeM >0 tel que

et on conclut de la mˆeme mani`ere (cas similaire sia=-∞).

Th´eor`eme 13

Soienta,bdeux r´eels tels quea < bet(fn)n?Nune suite de fonctions de[a;b]versK. Si pour toutn?N,fnest continue et si la suite de fonctions(fn)nconverge uniform´ement sur[a;b]vers f: [a;b]-→K, alors la fonction limitefest continue sur[a;b]et la suite? ?b a f n(x)dx? n?Nconverge vers b a f(x)dx. Autrement dit, lim n→+∞? b a f n(x)dx=? b a f(x)dx.

D´efinition 14

Soitf: [a;b]-→K. On dit quefest continue par morceaux s"il existe une subdivision(ai)i??0;p?de

[a;b](c"est-`a-dire une suite finie(ai)i??0;p?telle quea=a0< a1<···< ai<···< ap=b) telle que,

pour touti??0;p-1?, la restriction def`a]ai,ai+1[admet un prolongement continu sur[ai;ai+1].

Th´eor`eme 15

Soienta,bdeux r´eels tels quea < bet(fn)nune suite de fonctions de[a;b]versK. Si pour toutn?N, f nest continue par morceaux sur[a;b]et si la suite de fonctions(fn)nconverge uniform´ement sur [a;b]vers une fonctionfcontinue par morceaux, alors la suite? ?b a f n(x)dx? nßNconverge vers b a f(x)dx. Th´eor`eme 16 (Th´eor`eme de convergence domin´ee (admis)) SoientIun intervalle deRet(fn)nune suite de fonctions deIversK. (i).Si pour toutn?N, la fonctionfnest continue par morceaux surI, 4 L2 - cursus pr´epaFiche de cours :Suites de fonctions(du 20/01/15 au 23/01/15) (ii).si la suite de fonctions(fn)nconverge simplement surIvers une fonctionfcontinue par morceaux, (iii).s"il existe une fonction?:I-→R+continue par morceaux et int´egrable surIv´erifiant alors les fonctionsfnetfsont (absolument) int´egrables surIet I f n(x)dx-→n→+∞? I f(x)dx.

Lemme 17

SoientIun intervalle deR,(fn)nune suite de fonctions continues deIversKeta?I. Pour tout n?N, on noteFnla primitive defnsurIs"annulant ena, i.e.Fn:x?I?-→? x a f n(t)dt. Si(fn)nconverge uniform´ement sur tout segment deIvers une fonctionf, alors la suite de fonctions (Fn)nconverge uniform´ement sur tout segment deIvers

F:x?I?-→?

x a f(t)dt.

Th´eor`eme 18

SoientIun intervalle deRet(fn)nune suite de fonctions deIversK. On suppose que (i).pour toutn?N,fnest de classeC1surI, (ii).la suite de fonctions(fn)nconverge simplement en un pointa?I, (iii).la suite de fonctions(f?n)nconverge uniform´ement sur tout segment deIvers une fonctiong, alors(fn)nconverge uniform´ement sur tout segment deIvers une fonctionfde classeC1surIet de d´eriv´eef?=g. D´emonstration:Pour toutn?N, posonsgn=f?nde sorte quegest en particulier la limite simple surIde (gn)net notonsf(a) la limite de la suite (fn(a))n. On consid`ere G n:x?I?-→? x a g n(t)dt.

Par le Lemme pr´ec´edent, (Gn)nconverge uniform´ement sur tout segment deIvers la fonctionG:x?

I?-→?

x a g(t)dt. L"applicationGest de classeC1surIet v´erifieG?=g.

D"autre part, on a, pour toutx?I,

G n(x) =? x a g n(t)dt=? x a f?n(t)dt=fn(x)-fn(a). Puisque la suite de fonctions (Gn)nconverge uniform´ement sur tout segment deIversG,Gest en particulier sa limite simple (surItout entier), ce qui entraˆıne f n(x) =Gn(x) +fn(a)-→n→+∞G(x) +f(a). Ainsi (fn)nconverge simplement surIvers la fonctionf:x?I?-→G(x) +f(a) qui est de classeC1sur

Iet v´erifief?=G?=g.

De plus, soit [α;β] un segment inclus dansI. Pour toutx?[α;β], on a f n(x)-f(x) =Gn(x) +fn(a)-(G(x) +f(a)) =Gn(x)-G(x) +fn(a)-f(a) 5 d"o`u

par convergence simple de (fn)nenaet convergence uniforme de (Gn)nsur [α;β], ce qui montre que (fn)n

converge uniform´ement versfsur [α;β].

Th´eor`eme 19

SoientIun intervalle deR,(fn)nune suite de fonctions deIversKetp?N?. On suppose que (i).pour toutn?N,fnest de classeCpsurI, (ii).pour toutk??0;p-1?, la suite de fonctions? f(k)n? n converge simplement surIvers une fonctiongk, (iii).la suite de fonctions? f(p)n? n converge uniform´ement sur tout segment deIvers une fonction g p, alors la limite simplef=g0de(fn)nsurIest de classeCpet pour toutk??0;p?,f(k)=gk(limite simple de la suite? f(k)n? n 6quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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