TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles
TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles. Exercice 1. Étudier la continuité qui conduisent à deux valeurs différentes de la limite.
Fonctions de plusieurs variables limites et continuité Correction de
Feuille d'exercices numéro 2 : Fonctions de plusieurs variables limites et continuité. Correction de quelques exercices non traités en TD. Exercice 1.
Fonctions de plusieurs variables
Exercice 2 ***. On pose fxy : [?1
Chapitre 2 - Continuité dune fonction de plusieurs variables
Exercice 1. 1. Montrer qu'une fonction constante est continue. 2. Montrer que l'application (x1x2) ?? x1 est continue
Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R
y3. (x ? 1)2 + y2 ? Exercice 9. Donner le domaine de définition des fonctions suivantes puis déterminer si elles sont prolongeables par continuité sur R2 : f1
TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice
Calculer avec une calculatrice la valeur exacte de f(1.1?0.1). 1. Page 2. Exercice 3. Soit f : R2 ?? R définie par :.
Fonctions de plusieurs variables
xy2 dy sur (]0+?[)2 (trouver un facteur intégrant non nul ne dépendant que de x2 +y2). Correction ?. [005897]. Exercice 12 *** I. Résoudre les équations aux
Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes
Exercices corrigés. Fonctions de deux variables. Fonctions convexes et extrema libres. Exercice 1.62. Soit la fonction f définie par f(x y) = x?y?.
MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications
Continuité-propriétés. Exercices : Exercice A.1.7. Exercice A.1.8. Proposition I.1.3 (x0y0) étant donnés
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
fonctions : limite continuité
[PDF] Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles Exercice 1
Agral 3 2016 - 2017 TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles Exercice 1 Étudier la continuité des fonctions suivantes : f(x y) =
[PDF] Fonctions de plusieurs variables limites et - Université de Rennes
Feuille d'exercices numéro 2 : Fonctions de plusieurs variables limites et continuité Correction de quelques exercices non traités en TD Exercice 1
Exercices corrigés -Continuité des fonctions de plusieurs variables
Exercices corrigés - Continuité des fonctions de plusieurs variables Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition [Signaler une erreur] [Ajouter à
[PDF] Fonctions de plusieurs variables - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 2 *** On pose fxy : [?11] ? R t ?? xt2 +yt puis F(xy) = sup t?[?11] fxy(t) Etudier la continuité de F sur R2 Correction ?
[PDF] Feuille 2 – Fonctions de deux variables : limites continuité dérivées
Feuille 2 – Fonctions de deux variables : limites continuité dérivées partielles et extrema locaux Exercice 1 Déterminer si les fonctions suivantes ont
[PDF] ( ) ( ) Exercices avec solutions : LIMITE ET CONTINUITE - AlloSchool
est continue sur : ] ? ??3[ et sur ] ? 31[ et sur ]1 +?[ 3) La fonction t est continue sur tous le intervalles de la forme : ]? /2+ ; /2+
[PDF] Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables Limites dans R
y3 (x ? 1)2 + y2 ? Exercice 9 Donner le domaine de définition des fonctions suivantes puis déterminer si elles sont prolongeables par continuité sur R2 : f1
[PDF] Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes
Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes et extrema libres Exercice 1 62 Soit la fonction f définie par f(x y) = x?y?
[PDF] MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications - UTC - Moodle
Continuité-propriétés Exercices : Exercice A 1 7 Exercice A 1 8 Proposition I 1 3 (x0y0) étant donnés à partir de la fonction f de 2 variables
[PDF] Limite continuité théorème des valeurs intermédiaires dérivabilité
Limites continuité dérivabilité Pascal Lainé 6 ??( ) = ?( ) ?1 + 2 Allez à : Correction exercice 24 : Exercice 25 : Les fonctions :? ? ?
Comment montrer la continuité d'une fonction à 2 variables ?
Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs réelles et soit D un sous ensemble de R2. On dit que f est continue sur (l'ensemble) D si et seulement si elle est continue en chacun des points de D. f + g est continue en (x0, y0). fg est continue en (x0, y0).Comment calculer la continuité ?
Définition : Continuité d'une fonction en un point
Soit ? ? . On dit qu'une fonction à valeur réelle ( ) est continue en = si l i m ? ? ? ( ) = ( ) .Comment Etudier l'existence d'une limite en 0 0 ?
La limite de f f en (0,0,0) ( 0 , 0 , 0 ) ne peut pas exister. Il suffit d'étudier la limite des deux fonctions coordonnées (f1,f2) ( f 1 , f 2 ) . Or, x2+y2?1 x 2 + y 2 ? 1 tend vers -1, et sinxx sin ? x x vers 1 si (x,y) ( x , y ) tend vers (0,0) ( 0 , 0 ) .- Exemple (ultra connu): f(x,y) = xy / (x2 + y2), f(0,0) = 0; montrer que f n'est pas continue en (0,0). L'astuce consiste souvent à trouver deux ensembles A = {(x,h(x))} et B = {(x,k(x))} (h et k fonctions à trouver) tels que lim(x,y)€A-->(0,0) f(x,y) est différent de lim(x,y)€B-->(0,0) f(x,y).
Polytech" Paris - UPMC Agral 3, 2016 - 2017
TD3 - Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice 1.Montrer d"après la definition que la fonction : f(x,y) =x2+y2 est différentiable dansR2. Calculer la différentielle. Solution. La fonctionfest différentiable au point(x0,y0)?R2ssi : lim21+h22= 0.
Dès que :
f(x0+h1,y0+h2) =x20+h21+ 2x0h1+y20+h22+ 2y0h2, ?f(x0,y0) = (2x0,2y0), la limite se réduit à : lim (h1,h2)→(0,0)h21+h22Èh
21+h22= lim(h1,h2)→(0,0)Èh
21+h22= 0.
Cela suffit pour prouver quefest différentiable dansR2.Exercice 2.Soitf:R2?→Rdéfinie par :
f(x,y) =xexy. Est-elle différentiable au point(1,0)? Si oui, linéariserfau voisinage de(1,0)et approcher la valeurf(1.1,-0.1). Solution. La fonctionfest dérivable dansR2car composition de fonctions dérivables. Les dérivées partielles : ?f(x,y) = (∂xf(x,y),∂yf(x,y)) = (exy+xyexy,x2exy) sont elles-mêmes dérivables dansR2car composition de fonctions dérivables. La fonctionfest de classeC1surR2et donc elle est différentiable dansR2. En particulier elle est différentiableau point(1,0). Dès que la fonction est différentiable, elle admet une linéarisation au voisinage
de(1,0): f(x,y) =f(1,0) + (x-1)∂xf(1,0) +y∂yf(1,0) +o(È(x-1)2+y2), f(x,y) = 1 + (x-1) +y+o(È(x-1)2+y2) =x+y+o(È(x-1)2+y2). Cette linéarisation est valide localement, au voisinage du point(1,0), et pas dans toutR2! Pour approcher la valuerf(1.1,-0.1)on calcule : f(1.1,-0.1)≈1.1-0.1≈1 e on sait que l"erreur d"approximation est un petit o deÈ(x-1)2+y2. Plusx,ysont proches
(en terms de distance! ) du point(1,0)plus l"approximation est précise. Calculer avec une calculatrice la valeur exacte def(1.1,-0.1). 1Exercice 3.Soitf:R2?→Rdéfinie par :
f(x,y) =x3-y3.Dire si le graphe def:
G f={(x,y,z)?R3t.q.z=f(x,y)} admet un plan tangent au point(0,1,-1)et, le cas échant, donner l"équation du plan. Solution. Dire que le grapheGfadmet un plan tangent au point(0,1,-1)est équivalent à dire quefest différentiable au point(0,1). Clairement la fonctionfest de classeC1dansR2et donc différentiable dansR2. L"èquation du plan tangent est : t(x,y) =f(0,1) +∂xf(0,1)x+∂yf(0,1)(y-1) =-1-3(y-1) = 2-3yExercice 4.Soitf:R2?→Rdéfinie par :
f(x,y) =( x2y3x2+y2si(x,y)?= (0,0)
0sinon
- Est-elle continue dansR2? - Est-elle dérivable dansR2? - Est-elle de classeC1dansR2? - Est-elle différentiable dansR2?Solution.
•Continuité. La fonction est continue dansR2\ {(0,0)}. Pour étudier la continuité au point(0,0)on utilise les cordonnées polaires de centre(0,0): x=rcosθ y=rsinθ avecr >0etθ?[0,2π[. On veut montrer que : lim r→0f(rcosθ,rsinθ) = 0 et que cette limite ne dépend pas de l"angleθ. En pratique il faut trouver une fonction g(r)de la seule variablertelle que etg(r)→0sir→0. Rappel : ne pas mettre la valuer absolue dans la majoration conduità des résultats faux.
f(rcosθ,rsinθ) =r2cos2θr3sin3θr2(cos2θ+ sin2θ)=r3cos2θsin3θ
etr3→0sir→0. Donc lim (x,y)→(0,0)f(x,y) = 0 =f(0,0).Cela prouve que la fonction est continue dansR2.
2 •Dérivabilité. On se demande si la fonctionfest dérivable. Si(x,y)?= (0,0): ∂f∂x (x,y) =2xy5(x2+y2)2 ∂f∂y (x,y) =x2y2(3x2+y2)(x2+y2)2 Si(x,y) = (0,0)on est obligé de passer par la définition de dérivée partielle. ∂f∂x (0,0) = limh→0f(h,0)-f(0,0)h = limh→00-0h = 0 ∂f∂y (0,0) = limh→0f(0,h)-f(0,0)h = limh→00-0h = 0 Cela prouve quefest dérivable au point(0,0)et∂xf(0,0) =∂yf(0,0) = 0. •ClasseC1. On se demande si les dérivées partielles def: xf(x,y) =(2xy5(x2+y2)2si(x,y)?= (0,0)
0sinon
yf(x,y) =( x2y2(3x2+y2)(x2+y2)2si(x,y)?= (0,0)0sinon
sont fonctions continues dansR2. Elles sont continues dansR2\ {(0,0)}. Pour étudier la continuité au point(0,0)on calcule les limites : lim (x,y)→(0,0)∂xf(x,y) lim(x,y)→(0,0)∂yf(x,y) à l"aide des cordonnées polaires de centre(0,0). xf(rcosθ,rsinθ) =2rcosθr5sin5θr4(cos2θ+ sin2θ)2= 2r2cosθsin5θ.
et2r2→0sir→0. Donc lim (x,y)→(0,0)∂xf(x,y) = 0 =∂xf(0,0).Même chose pour∂yf:
yf(rcosθ,rsinθ) =r2cos2θr2sin2θ(3r2cos2θ+r2sin2θ)r4(cos2θ+ sin2θ)2= cos2θsin2θ(3r2cos2θ+r2sinθ)
et4r2→0sir→0. Donc lim (x,y)→(0,0)∂yf(x,y) = 0 =∂yf(0,0).Cela prouve quef?C1(R2).
3 •Différentiabilité. La fonction est de classeC1donc elle est différentiable dansR2.Exercice 5.Soitf:R2?→Rdéfinie par :
f(x,y) =¨ yx2+y2si(x,y)?= (0,0)
0sinon
- Est-elle continue dansR2? - Est-elle dérivable dansR2? - Est-elle différentiable dansR2?Solution.
•Continuité. La fonction est continue dansR2\ {(0,0)}. Pour étudier la continuité au point(0,0)on considère la restriction defà la droitey=x: f(x,x) =12x qui ne tend pas vers0 =f(0,0)lorsquex→0. Donc la fonction n"est pas continue au point(0,0).•Dérivabilité. On se demande si la fonction admet toutes les dérivées partielles. Si(x,y)?=
(0,0): ∂f∂x (x,y) =-2xy(x2+y2)2 ∂f∂y (x,y) =x2-y2(x2+y2)2Doncfest dérivable dansR2\ {(0,0)}.
Si(x,y) = (0,0)on est obligé de passer par la définition de dérivée partielle. ∂f∂x (0,0) = limh→0f(h,0)-f(0,0)h = limh→00-0h = 0 lim h→0f(0,h)-f(0,0)hLa dérivée partielle par rapport àxexiste dansR2et la dérivée partielle par rapport ày
existe dansR2\ {(0,0)}. Doncfest dérivable dansR2\ {(0,0)}.•Différentiabilité. La fonction est de classeC1dansR2\{(0,0)}car les dérivées partielles
sont quotient de fonctions continues. Donc elle est différentiable dansR2\ {(0,0)}. Elle ne peut pas être différentiable au point(0,0)car pas continue. Exercice 6.Une étude des glaciers a montré que la températureTà l"instantt(mesuré en jours) et à la profondeurx(mesuré en pieds) peut être modélisé parT(x,t) =T0+T1e-λxsin(ωt-λx),
ouω=2π365 etλ >0etT1?= 0. a) Calculer∂xTet∂tT. b) Montrer queTvérifie l"équation de la chaleur∂tT=k∂xxTpour un certaink?R. Solution. Dès queλ,ω,T1,T0sont constantes on a : a) xT=-λT1e-λxsin(ωt-λx) + cos(ωt-λx) tT=ωT1e-λxcos(ωt-λx) 4 b) xxT=∂2T∂2x= 2λ2T1e-λxcos(ωt-λx)
xxT∂ tT=2λ2T1e-λxcos(ωt-λx)ωT1e-λxcos(ωt-λx)=2λ2ω
Donc la fonctionTvérifie l"equation de la chaleur aveck=ω2λ2. Exercice 7.Soitf:R3?→Rla fonction définie par : f(x,y,z) =x3y+x2-y2-x4+z5.Après vérification de la validité du théorème de Schwarz, calculer la matrice hessienne def.
Solution. La fonction admet 3 dérivées d"ordre1par rapport à ses 3 variables : ?f(x,y,z) = (∂xf(x,y,z),∂yf(x,y,z),∂zf(x,y,z)) = (3x2y+ 2x-4x3,x3-2y,5z4)La fonction admet9 = 32dérivées d"ordre2:
2f∂
2x= 6xy+ 2-12x2
2f∂
2y=-22f∂
2z= 20z3
2f∂x∂y
= 3x22f∂x∂z
= 02f∂y∂x
= 3x22f∂y∂z
= 02f∂z∂x
= 02f∂z∂y
= 0Toutes les dérivées croisées sont égales. En fait le théorème de Schwarz dit que sifest de classe
C2dansR3alors la dérivation à l"ordre2ne depend pas de l"ordre dans lequel elle se fait.
Sous les hypothèses du théorème de Schwartz la matrice hessienne est symétrique carHi,jf=
xi,xjf=∂xj,xif=Hj,if. H f(x,y,z) = ∂2f∂x2∂2f∂x∂y
∂2f∂x∂z ∂2f∂y∂x ∂2f∂y2∂2f∂y∂z
∂2f∂z∂x ∂2f∂z∂y ∂2f∂z 2 (0) H f(x,y,z) =...6xy+ 2-12x23x20
3x2-2 0
Exercice 8.Soitf:R2?→Rla fonction définie par : f(x,y) = sinxsiny 5 Ecrire le polynôme de Taylor d"ordre2defau voisinage du point(0,0). Solution. La fonctionfest de classeC2au voisinage de(0,0)et son développement de Taylor d"ordre2est donné par : f(x,y) =f(0,0) +?f(0,0)·(x,y) +12 (x,y)THf(0,0)(x,y) +o(x2+y2)Dès que :
?f(x,y) = (cosxsiny,sinxcosy) et?f(0,0) = (0,0), la partie d"ordre1du développement est nulle. H f(x,y) =-sinxsinycosxcosy cosxcosy-sinxsinyLa partie d"ordre 2 est donnée par :
(x,y)THf(0,0)(x,y) = (x,y)T0 11 0
(x,y) = (x,y)T(yx) = 2xyDonc :
f(x,y) =xy+o(x2+y2). 6quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] multiple et diviseur 4eme controle
[PDF] detection de contours traitement d'image
[PDF] filtre moyenneur traitement dimage
[PDF] filtre gaussien matlab traitement d'image
[PDF] moteur de recherche internet
[PDF] moteur de recherche francais
[PDF] francis ponge le parti pris des choses pdf
[PDF] les moteurs de recherche les plus utilisés
[PDF] francis ponge mouvement
[PDF] moteur de recherche définition
[PDF] francis ponge biographie
[PDF] moteurs de recherche gratuits
[PDF] meilleur moteur de recherche
[PDF] moteur de recherche mozilla