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JEAN-HUGH THOMASDétection de contours

Table des matières

Table des matières3

I - Cours5 A. Utilisation de l'opérateur Gradient.........................................................................................................................................

6 1. Principes..........................................................................................................................................................................

6 2. Quelques opérateurs gradient............................................................................................................................................

7 B. Méthodes de seuillage.............................................................................................................................................................

20 1. Seuillage global...............................................................................................................................................................

21 2. Seuillage global par histogramme....................................................................................................................................

21 3. Amincissement...............................................................................................................................................................

21 4. Seuillage local par hystérésis...........................................................................................................................................

23 5. Seuillage local par extraction des maxima du gradient dans une direction.......................................................................

23 C. Utilisation du calcul du Laplacien........................................................................................................................................

25 1. L'opérateur Laplacien....................................................................................................................................................

26 2. Remède contre la sensibilité au bruit...............................................................................................................................

33 3. Le filtre de Marr ou Laplacien de Gaussienne ou chapeau mexicain..............................................................................

33

II - Etude de cas45 A. Association opérateur gradient-type de seuillage...............................................................................................................

45 1. Récapitulatif : quelques modules de gradient...................................................................................................................

45 2. Seuillage par histogramme du module du gradient...........................................................................................................

46 3. Amincissement de contours.............................................................................................................................................

46 4. Seuillage par hystérésis...................................................................................................................................................

46 5. Seuillage des non maxima du gradient............................................................................................................................

46 6. Détection de contours par l'association filtrage de Canny-seuillage des maxima locaux....................................................

47 B. Association opérateur Laplacien-seuillage..........................................................................................................................

47 1. Seuillage des passages par zéro du Laplacien..................................................................................................................

47 2. Calcul du Laplacien par chapeau mexicain....................................................................................................................

47 C. Comparaison de contours.....................................................................................................................................................

47 1. Une association réussie...................................................................................................................................................

47

III - Exercices49 A. Critère de Canny de bonne décision....................................................................................................................................

49 B. Critère de Canny de bonne localisation...............................................................................................................................

50 C. Critère de Canny d'unicité de la réponse.............................................................................................................................

51 D. Filtre différence de Gaussiennes..........................................................................................................................................

52

Solution des exercices de TD553

Bibliographie63

4

I - CoursI

Utilisation de l'opérateur Gradient6

Méthodes de seuillage20

Utilisation du calcul du Laplacien25

La mise en évidence des points représentant les contours d'objets dans une image peut servir à reconnaître

des objets présents dans une scène, à différencier des zones de l'image, à faire de la segmentation d'images, à

extraire une information réduite souvent pertinente pour caractériser l'image.

Un contour se matérialise par une rupture d'intensité dans l'image suivant une direction donnée. Plusieurs

méthodes existent pour détecter cette rupture, les unes plus ou moins complexes, les autres plus ou moins

gourmandes en calculs. Dans la plupart des cas et en particulier pour ceux présentées ici, la même

méthodologie est employée. Elle s'applique en deux étapes : la première permet de localiser les contours à

partir d'un calcul de Gradient ou de Laplacien dans des directions privilégiées tout en quantifiant

l'importance du contour (voir figure ci-après). La seconde étape va permettre d'isoler les contours du reste de

l'image à partir d'un seuillage judicieux. Plusieurs méthodes permettent de déterminer le Gradient ou le

Laplacien d'une image. Il en est de même des techniques de seuillage. Ces deux étapes sont indépendantes, il

existe donc un grand nombre de combinaisons calcul de Gradient-opération de seuillage conduisant à la

mise en évidence des contours. Le rôle de l'ingénieur est souvent de choisir les opérateurs les mieux à même

de satisfaire les exigences associées à l'image à traiter. 5 Cours

L'objectif du cours est justement de permettre au lecteur de connaître plusieurs méthodes et de

savoir agir sur les paramètres de ces méthodes. Dans ce but, la première partie décrit des techniques de

calcul du Gradient (détecteurs par masques de Roberts, Prewitt, Sobel, Gradient boussole, filtrage de Canny).

La seconde partie focalise sur les types de seuillage pouvant être appliqués sur le module du gradient de

l'image. La troisième partie aborde les calculs de Laplacien (filtre laplacien, filtre " chapeau mexicain », filtre

différence de gaussiennes).

A. Utilisation de l'opérateur Gradient

1. Principes

En considérant l'image dans un repère orthogonal (Oxy) tel que (Ox) désigne l'axe horizontal et (Oy) l'axe

vertical, le Gradient de l'image (ou plutôt de la luminance f ) en tout point ou pixel de coordonnées (x,y)

est désigné par :

Le module du gradient permet de quantifier l'importance du contour mis en évidence, c'est-à-dire

l'amplitude du saut d'intensité relevé dans l'image : Principe de la détection de contour par gradient ou laplacien Gradf=∇f= ∂f ∂x ∂f ∂y6 Cours

La direction du gradient permet de déterminer l'arête présente dans l'image. En effet, la direction du

gradient est orthogonale à celle du contour :

Le principe de la détection de contours par l'utilisation du gradient consiste à calculer d'abord le gradient

de l'image dans deux directions orthogonales puis le module du gradient. Il s'agira ensuite d'effectuer une

sélection des contours les plus marqués, c'est-à-dire les points de plus fort contraste par un seuillage adéquat,

les directions des contours étant orthogonales à la direction α0 déterminée en tout pixel de l'image (voir ci-

dessous).

2. Quelques opérateurs gradient

a) Introduction

Ces opérateurs sont à considérer comme des filtres qui vont être corrélés à l'image. Les réponses

impulsionnelles de ces filtres peuvent se présenter sous la forme de fonctions analytiques souvent d'une seule

variable ou bien sous la forme de masques bi-dimensionnels. Dans les deux cas le filtrage a lieu en deux

étapes : un filtrage suivant les lignes de l'image puis suivant les colonnes dans le cas d'une expression

monodimensionnelle de la réponse impulsionnelle du filtre, une corrélation bi-dimensionnelle de l'image avec

deux masques modélisant deux contours dans des directions orthogonales dans l'autre cas. b) Opérateurs de gradient par masques i Introduction

Pour chaque opérateur, deux masques sont utilisés de façon à déterminer le gradient de l'image dans deux

directions orthogonales. Synoptique d'une détection de contours par gradient. Les contours sont finalement représentés par des pixels blancs sur fond noir. ∥∇f∥=∂f

∂x 2 ∂f ∂y 2 0=arctan∂f/∂y ∂f/∂x7 Cours ii Approximation de base Le masque le plus intuitif à mettre en oeuvre est un masque à deux éléments :

L'origine du masque est le point -1.

Dans le repère ci-dessus, la réponse impulsionnelle h(m,n) du masque est définie par : h(0,0) = -1 h(1,0) = 1 La corrélation de ce masque avec une image de luminance f(i,j) s'écrit :

Il s'agit bien d'un calcul de gradient suivant l'axe horizontal. En faisant subir une rotation de /2 au premier

masque, il apparaît le filtre suivant dont l'origine est le point 1 :

La réponse impulsionnelle est telle que :

h(0,0) = 1 h(0,-1) = -1

La corrélation de ce masque avec l'image f(i,j) permet bien d'implanter un gradient dans la direction verticale :

La figure suivante propose une illustration de l'application de ces masques. 1 -1 ∑m=0 1 ∑n=0 ∑m=0 ∑n=-1 0 Cours iii Opérateur de Roberts Ce masque proposé en 1965 permet de calculer un gradient le long des diagonales de l'image : L'origine est le point 1 tandis que la réponse impulsionnelle s'écrit : h(0,0) = 1 h(-1,-1) = -1

La sortie obtenue après filtrage est :

Le deuxième masque se déduit du premier par rotation de /2 : L'origine est le point du haut à droite si bien que la réponse impulsionnelle est telle que : h(-1,0) = 1 h(0,-1) = -1

La sortie obtenue après filtrage est :

La figure suivante propose une illustration de l'application de ces masques.

Exemple d'application de l'approximation de base

01 -10 10 0-1 ∑m=-1 0 ∑n=-1 0 Cours

Le majeur inconvénient de ces masques réside dans leur forte sensibilité au bruit du fait de l'implantation de la

dérivation qui se traduit par un filtrage passe-haut. D'autres masques ont ainsi été proposés afin de rendre le

filtrage moins sensible au bruit. iv Opérateurs de Prewitt et Sobel

Le calcul de gradient est mené par l'intermédiaire de deux masques, le premier effectuant un gradient

horizontal, le second un gradient vertical. Là encore, le deuxième masque se déduit du premier par une

rotation de /2 . Les masques sont donnés ci-dessous pour les contours horizontaux puis verticaux.

Chaque pixel des masques est normalisé par

Lorsque c=1, il s'agit des opérateurs de Prewitt, lorsque c=2, de ceux de Sobel. Par rapport aux précedents,

ces masques ont l'avantage de produire deux effets. Outre le calcul du gradient dans une direction, ces

masques effectuent un lissage dans la direction orthogonale. Ce lissage rend ces masques un peu moins

sensibles au bruit que les précédents.

L'origine de ces masques est toujours le pixel central. La réponse impulsionnelle h(m,n) des filtres de Prewitt

et Sobel pour la mise en évidence des contours horizontaux est telle que : h(-1,1) = h(1,1) = 1 h(-1,-1) = h(1,-1) = -1 h(0,1) = c h(0,-1) = -c

La sortie obtenue après filtrage est :

Exemple d'application de l'opérateur de Roberts

1c1-101

000-c0c

-1-c-1-101 1 c210 Cours

L'équation laisse apparaître la double action avec un moyennage horizontal sur trois pixels sur les lignes au

dessus et au dessous du pixel central et un calcul de gradient vertical entre les deux lignes.

Pour la mise en évidence des contours verticaux, c'est l'autre masque qui est utilisé. La sortie obtenue après

filtrage peut se mettre sous la forme :

Cette écriture permet elle aussi de mettre en évidence la double action : un gradient horizontal est en effet

calculé sur trois lignes puis un lissage vertical est opéré.

Les deux écritures employées montrent bien que les deux actions, lissage et dérivation, du filtrage de Prewitt

ou de Sobel sont séparables. La figure suivante propose une illustration de l'application des masques de Sobel.

Il existe bien sûr beaucoup d'autres masques utilisés pour déterminer le gradient d'une image (Frei-Chen, ...). Exemple d'application de l'opérateur de Sobel ∑m=-1

1 ∑n=-1 1 1 1 ∑m=-1 1 ∑n=-1 1 -1 ∑m=-1 1 ∑n=-1 1 1 1 Cours

Le lecteur intéressé pourra consulter l'ouvrage [3] [1] qui entreprend des études comparatives de plusieurs

masques à partir d'images de test.

Le principal intérêt de ces masques est leur facilité de mise en oeuvre ainsi que la rapidité de leur traitement.

Leur inconvénient est leur grande sensibilité au bruit. De plus les contours obtenus sont souvent assez larges.

D'après l'ouvrage [2] [2] [2] , le filtre de Sobel est le plus utilisé dans les applications industrielles nécessitant

des contraintes temps-réel. v Opérateur gradient boussole

Les opérateurs dits boussole mesurent le gradient dans des directions sélectionnées. L'image est

successivement filtrée par un ensemble de masques mk(i,j) dont chacun représente une approximation discrète

d'un contour idéal dans une orientation spécifique (voir figure ci-après). Le résultat du filtrage de l'image f(i,j)

avec le kième masque est gk(i,j).

Il s'agit alors de garder les contours correspondant à l'orientation du masque ayant conduit au maximum des

fonctions gk(i,j) avec k allant de 0 à 7, représentatif des huit principales directions d'une boussole. Un autre

critère possible revient à chercher le masque correspondant à la direction du contour dont le coefficient de

corrélation avec l'image initiale est le plus fort. Il s'agit de minimiser rk(i,j) l'inverse du coefficient de

corrélation. critère 1 : critère 2 : avec

Plusieurs masques peuvent être utilisés. La démarche consiste à choisir un type de masque puis à effectuer des

permutations circulaires dans les huit directions possibles du gradient. Des exemples d'opérateurs gradient

boussole dans la direction Nord sont présentés ci-dessous en recourant aux masques de Prewitt, de Kirsch, de

Robinson de niveau 3 ou 5. Le terme de niveau désigne le nombre de valeurs différentes présentes dans le

masque. -101555111121 -c0c-30-3000000quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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